第59课时 抛物线（二）专项训练-2027届高三数学一轮复习

第59课时　抛物线（二） 1．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝，则|PF|＝(　　) A．1　　　　　　　 B． C． D．2 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与C交于两个不同的点A，B，且F为线段AB的一个三等分点，则k2＝(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝9，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝y D．x2＝y 4．(2022·全国乙卷，理)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 5．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的射影为D.若|AB|＝|BD|，则＝(　　) A． B．2 C． D．3 6．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长度为16，MN的中点到y轴的距离为6，则△MON(O为坐标原点)的面积是(　　) A．8 B．8 C．6 D．6 7．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝3|BF|，线段AB的中点到y轴的距离为，则p的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝2x－p与C交于A，B两点，A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，若四边形A1ABB1的面积S＝3，则p＝(　　) A．2 B． C． D．4 9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，PH⊥l于H.若|HF|＝|PF|，O为坐标原点，则△OFH与△OFQ的面积之比为(　　) A．8 B．4 C．3 D．2 10．【多选题】设O为坐标原点，直线x＋y－＝0过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点(M在第四象限)，l为C的准线，则(　　) A．l的方程为x＝－1 B．|MF|＝ C．以MN为直径的圆与l相交 D．△OMN为钝角三角形 11．【多选题】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M射入，经过C上的点A(x1，y1)反射，再经过C上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则(　　) A．C的准线方程为x＝－1 B．y1y2＝－4 C．若点M(2，1)，则|AB|＝ D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线l2上 12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程：________，此时该弦中点到y轴的距离为________． 13．（2026·浙江宁波期中）若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝　　. 14．（2026·陕西安康模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为1，过点（2p，－p）的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则y1y2＋y1＋y2＝　 . 15．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，直线AB必过定点P，则定点P的坐标为________；此时△ABO的面积的最小值是________． 16．【多选题】(2025·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 17．已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 参考答案 1．答案　D 解析　不妨设P在第一象限，如图，设准线l与x轴交于点Q，连接AF，易知|PF|＝|PA|，所以∠PAF＝∠PFA＝，因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝.因为|QF|＝p＝1，所以|AF|＝2，所以在等边△PAF中，|PF|＝2. 2．答案　B 解析　方法一：不妨设A在B右侧，且k>0，如图，设l的倾斜角为α，易知α∈，＝＝2，∴cos α＝，tan α＝2，k2＝tan2α＝8.故选B. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，F(1，0)，不妨设＝，所以令y1＝t，则y2＝－2t，所以x1＝，x2＝t2，故＝1，解得t2＝2，k＝＝＝－，所以k2＝＝8. 3．答案　C 解析　由已知得直线AB的方程为y＝x＋，联立消去x得y2－3py＋＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1＋y2＝3p.因为|AB|＝9，所以y1＋y2＋p＝9，所以4p＝9，即p＝，所以所求抛物线C的方程为x2＝y.故选C. 4．答案　B 解析　方法一：由题意可知F(1，0)，设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2)．不妨取A(1，2)，则|AB|＝＝＝2，故选B. 方法二：由题意可知F(1，0)，|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝＝＝2，故选B. 5．答案　B 解析　易知直线m的斜率存在，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，A在x轴上方，如图，连接AD，过B作BE⊥l，垂足为E，作BH⊥AD，垂足为H.因为AD⊥l，所以四边形BEDH为矩形，所以|BE|＝|DH|.因为|AB|＝|BD|，所以|DH|＝|AH|，所以|AD|＝2|DH|＝2|BE|.由抛物线的定义，可得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，所以|AF|＝2|BF|，即＝2.故选B. 6．答案　B 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线的定义可得|MN|＝x1＋x2＋p＝16.又因为MN的中点到y轴的距离是6，所以x1＋x2＝12，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x.易知直线l不为水平直线，设直线l的方程为x＝my＋2，联立消去x得y2－8my－16＝0，则Δ＝64m2＋64>0，y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4＝12，解得m＝±1，所以l的方程为x＝±y＋2，S△MON＝|OF|·|y1－y2|＝×2×＝＝8. 7．答案　B 解析　方法一：易知直线AB的斜率存在，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l：x＝－，设准线交x轴于点K，由抛物线的对称性，不妨设直线AB斜率大于0，则点A在第一象限，如图，过A，B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，过点B作BG⊥AD于点G，交FK于H，设|BE|＝|BF|＝n(n>0)，则|AD|＝|AF|＝3n，则|AG|＝2n，|FH|＝p－n，由FH∥AG，得＝，即＝，则p＝，设线段AB的中点为M，过点M作MN⊥l于点N，则|MN|＝＝2n＝，由线段AB的中点到y轴的距离为，得|MN|＝＋，因此＝＋，所以p＝3.故选B. 方法二：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，易知直线AB不为水平直线，设直线AB：x＝my＋，由得y2－2mpy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝4p2m2＋4p2>0，y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，又|AF|＝3|BF|，故＝3，所以y1＝－3y2，由消去y1，y2得m2＝.由线段AB的中点到y轴的距离为得＝，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋p＝2m2p＋p＝p＝5，所以p＝3.故选B. 8．答案　B 解析　由题可知直线l过抛物线的焦点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线方程和抛物线方程可得4x2－5px＋p2＝0，则Δ＝25p2－16p2＝9p2>0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝p2， 又A，B到准线的距离分别为x1＋，x2＋，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝p，易知四边形A1ABB1为直角梯形，其高为h＝|AB|＝p，所以S＝×|AB|×h＝p2＝3，故p＝. 9．答案　C 解析　由题意得直线PQ的斜率存在且不为0，抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2， 由抛物线定义知|PF|＝|PH|，而|PF|＝|HF|，故△PHF为正三角形，可得∠FPH＝∠PFx＝60°. 由抛物线的对称性，不妨令直线PQ：y＝(x－2)，如图，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1>0，y2<0. 由消去x得y2－8y－16＝0，Δ>0，解得y1＝4，y2＝－，可得|y1|＝3|y2|. 所以＝＝3. 10．答案　AD 11．答案　ABD 解析　由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F，且不为水平直线，设直线AB：x＝my＋1，联立整理得y2－4my－4＝0，可得Δ＝(－4m)2＋16>0，所以y1y2＝－4，所以B正确；易知M在C的内部，如图，由点M(2，1)，得y1＝1，所以y2＝－4，所以x1＝，x2＝4，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝＋4＋2＝，所以C错误；易知x1≠0，x2≠0，直线OA：y＝x，联立解得yN＝－＝－＝－，由y1y2＝－4，得y2＝，所以yN＝y2，所以点N在直线l2上，所以D正确．故选ABD. 12．答案　y2＝x(满足0<p<1均可)　 解析　抛物线的焦点弦中通径最短，其长度为2p，∴0<2p<2，即0<p<1，不妨令2p＝1，则抛物线方程为y2＝x，此时抛物线的准线方程为x＝－，易知该弦中点到准线的距离为1，则此时该弦中点到y轴的距离为1－＝. 13．答案　 解析　如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H，则｜PH｜＝｜PF｜＝3.又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝8，y＝2，所以S△OPF＝·｜OF｜·｜y｜＝×1×2＝. 14． 答案　－4 解析 由题意有p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x，设过点（2，－1）的直线方程为x＝m（y＋1）＋2，所以⇒y2－2my－2m－4＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2m－4，所以y1y2＋y1＋y2＝－4. 15．答案　(4，0)　16 解析　依题意，直线AB不为水平直线，设直线AB的方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OA⊥OB，所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.由得y2－4my－4n＝0，Δ＝16m2＋16n，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，x1x2＝＝n2，所以n2－4n＝0.解得n＝0或n＝4.当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；当n＝4时，满足Δ>0，直线AB的方程为x＝my＋4，过定点P(4，0)，△ABO的面积为|OP|×|y1－y2|＝2|y1－y2|＝2＝2≥16，即当m＝0时，△ABO的面积取得最小值16. 16．答案　ACD 解析　易知F，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，A正确． 易知直线AB不为水平直线，|AB|≥2p＝6，C正确． 设AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消x可得y2－6my－9＝0，易知Δ>0， 则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3， 故|AB|＝x1＋＋x2＋＝6m2＋6，当m＝0时，E，|AB|＝6，|EF|＝3，则|AE|＝3，故|AE|≠|AB|，B错误． 当m＝0时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18，当m≠0时，EF：x＝－y＋，则E， 故|EF|＝，S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6m2＋6)>9， sin∠AEB∈(0，1]， 则|AE|·|BE|>≥18. 综上，|AE|·|BE|≥18，D正确．故选ACD. 17．答案　(1)证明见解析　(2)3或4 解析　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1，x1≠t. 因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1， 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点. (2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋. 由可得x2－2tx－1＝0，Δ＝4t2＋4>0. 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)． 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离， 则d1＝，d2＝. 因此四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3). 设M为线段AB的中点，则M，连接EM. 因为⊥，而＝(t，t2－2)，直线AB的方向向量为(1，t)， 所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4. 因此四边形ADBE的面积为3或4. 学科网（北京）股份有限公司 $