四川成都市龙泉驿区第七中学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自 测卷

1.一元二次方程x(x-)=0的解是() A.x=0 B. C.x=0,x2=1 D. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法把方程转化为x=0或x-1=0, 【详解】解：.x(x-l)=0, ∴.x=0或x-1=0, .x=0,x2=1. 1.一元二次方程x(x-)=0的解是() A.x=0 B. C.x=0,x2=1 D. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法把方程转化为x=0或x-1=0, 【详解】解：.x(x-l)=0, ∴.x=0或x-1=0, .x=0,x2=1. x=1 x1=0,2=-1 然后解两个一次方程即可. x=1 x1=0,2=-1 然后解两个一次方程即可. 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=2,BD=4,则该菱形的周长是() A A.45 B.8 c.45 D.16 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长、实数的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得AB=√5即可， 【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC=2,BD=4, :.0A-AC1,OB-BD-2,AB-RC-CD-AD,ACLBD, 在RtaA0B中，AB=VOP+OB2=VP+22=V5, ∴.该菱形的周长是4AB=4√5· 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=2,BD=4,则该菱形的周长是() A A.45 B.8 c.45 D.16 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长、实数的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得AB=√5即可， 【详解】解：四边形ABCD是菱形，AC=2,BD=4, :.0A-AC1,OB-BD-2,AB-RC-CD-AD,ACLBD, 在RtaA0B中，AB=VOP+OB2=VP+22=V5, ∴.该菱形的周长是4AB=4√5· 3.下列四条线段是成比例线段的是() A.1,1,2,3 B.1,2,3,4 C.2,3,4,5 D.2,2, 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积， 是成比例线段，据此逐项判断即可. 【详解】解：A、1×3≠1×2，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、1×4≠2×3，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、2×5≠3×4，不是成比例线段，故选项不符合题意. D、2×3=2×3,是成比例线段，故选项符合题意. 3.下列四条线段是成比例线段的是() A.1,1,2,3 B.1,2,3,4 C.2,3,4,5 D.2,2, 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积， 是成比例线段，据此逐项判断即可. 【详解】解：A、1×3≠1×2，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、1×4≠2×3，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、2×5≠3×4，不是成比例线段，故选项不符合题意. D、2×3=2×3,是成比例线段，故选项符合题意. 3,3 则这四条线段 3,3 则这四条线段 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=2,DB=4,DE=3,则BC的长为( D E B A.6 B.9 C.12 D. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据DE∥BC证明△ADE∽△ABC,再运用相似三角形的性质可得结论 【详解】解：DE∥BC, .∴.△ADE∽△ABC, DE AD 2 1 BC AB 2+43’ .∴.BC=3DE=9 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=2,DB=4,DE=3,则BC的长为( D E B A.6 B.9 C.12 D. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据DE∥BC证明△ADE∽△ABC,再运用相似三角形的性质可得结论 【详解】解：DE∥BC, .∴.△ADE∽△ABC, DE AD 2 1 BC AB 2+43’ .∴.BC=3DE=9 G G 5.方程x(x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是() A.x2-9x+10=0 B.x2-x+10=0 C.x2+9x-10=0 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：，x(x-5)=4x-10, .∴.x2-5x=4x-10, .x2-5x-4x+10=0, .x2-9x+10=0. 5.方程x(x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是() A.x2-9x+10=0 B.x2-x+10=0 C.x2+9x-10=0 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：，x(x-5)=4x-10, .∴.x2-5x=4x-10, .x2-5x-4x+10=0, .x2-9x+10=0. D.x2-x-10=0 D.x2-x-10=0 6矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案. 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D. 6矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案. 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D. 7.如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC=I20°，若菱形ABCD的周长为16，则BD的长度为() B A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 8..某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是() A.500(1-c%)2=432 B.5001+%)2=432 C.500(1-2a%)=432 D.5001+2a%)=432 【答案】A 7.如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC=I20°，若菱形ABCD的周长为16，则BD的长度为() B A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 8..某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是() A.500(1-c%)2=432 B.5001+%)2=432 C.500(1-2a%)=432 D.5001+2a%)=432 【答案】A 9.已知 a+2b9 则a:b= 2a-b 【答案】19：13 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得关于α，b的关系式，进而可得答案 【详期】解：去2治-号5a+2沙)=92a-b,整理得：16=1， 故答案为：19：13 9.已知 a+2b9 则a:b= 2a-b 【答案】19：13 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得关于α，b的关系式，进而可得答案 【详期】解：去2治-号5a+2沙)=92a-b,整理得：16=1， 故答案为：19：13 .∴.a:b=19:13. .∴.a:b=19:13. 10.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为 【答案】16 【难度】0.7 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程m'+hx+c=0的两根之和为-b,两根之积为 C)求出m和n的值，再代入计算m"即可得到结果。 【详解】解：.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1， 可得-21-受，（(2x1-号， 解得m=2,n=-4, 将m=2,n=-4代入nm, 得n=(-4)2=16. 10.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为 【答案】16 【难度】0.7 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程m'+hx+c=0的两根之和为-b,两根之积为 C)求出m和n的值，再代入计算m"即可得到结果。 【详解】解：.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1， 可得-21-受，（(2x1-号， 解得m=2,n=-4, 将m=2,n=-4代入nm, 得n=(-4)2=16. 11.已知a、b、b、c是比例线段，其中a=3,c=12,则线段b的长为 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键， 根据成比例线段的定义列式计算即可· 【详解】解：a、b、b、c是比例线段，其中a=3,c=12, -,即2=2，解得：b=6或6=6（不合题意舍弃）. b c b12 故答案为：6. 11.已知a、b、b、c是比例线段，其中a=3,c=12,则线段b的长为 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键， 根据成比例线段的定义列式计算即可· 【详解】解：a、b、b、c是比例线段，其中a=3,c=12, -,即2=2，解得：b=6或6=6（不合题意舍弃）. b c b12 故答案为：6. 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=16,BD=12,DE⊥BC,垂足 为点E.则DE=」 E 夕 【答案】 8 5 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD=BC,AC⊥BD,AO=OC,DO=BO,求出AO和DO,求出AD, 根据菱形的面积公式求出即可· 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC,AC⊥BD,AO=OC,DO=BO, AC=16,BD=12, ∴.A0=8,OD=6, 由勾股定理得，AD=10, .BC=10, S菱w=2AC-BD=BC-DE, .5x16x12=10DE, 解得：DE=48 48 故答案为： 5 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=16,BD=12,DE⊥BC,垂足 为点E.则DE=」 E 夕 【答案】 8 5 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD=BC,AC⊥BD,AO=OC,DO=BO,求出AO和DO,求出AD, 根据菱形的面积公式求出即可· 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC,AC⊥BD,AO=OC,DO=BO, AC=16,BD=12, ∴.A0=8,OD=6, 由勾股定理得，AD=10, .BC=10, S菱w=2AC-BD=BC-DE, .5x16x12=10DE, 解得：DE=48 48 故答案为： 5 13.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，点A,B,C,D均为格点，连接AC,BD 相交于点E.设小正方形的边长为1，则BE的长为 B 【答案】23 5 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算BD的长，再根据△ABE∽aCDE,对应边成比例，得到 以设BE=x,则DE=√3-x,从而求出BE的长 【详解】解：BD=√AD2+AB2=V32+22=√13， :AB∥DC, ∴.△ABE∽ACDE, BEAB2 DE CD 3 设BE=x,则DE=V3-x, x2 3-x3 解得：x=2 5 故答案为：23 5 13.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，点A,B,C,D均为格点，连接AC,BD 相交于点E.设小正方形的边长为1，则BE的长为 B 【答案】23 5 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算BD的长，再根据△ABE∽aCDE,对应边成比例，得到 以设BE=x,则DE=√3-x,从而求出BE的长 【详解】解：BD=√AD2+AB2=V32+22=√13， :AB∥DC, ∴.△ABE∽ACDE, BEAB2 DE CD 3 设BE=x,则DE=V3-x, x2 3-x3 解得：x=2 5 故答案为：23 5 14.解下列方程： (1)x2-6x-4=0) (2)5x(x-3)+2(x-3)=0. (3)x2-12x+27=0;(4)(2x+1)2=x2+2; 【详解】(1)解：x2-6x-4=0 (2)解：5x(x-3)+2(x x2-6x=4 (x-3)(5x+2)=0 x2-6x+9=4+9 x-3=0或5x+2=0 (x-3)}2=13 x-3=±13 解得x=3,名=-5 2 (3)x=9,x2=3; e52735, 3 14.解下列方程： (1)x2-6x-4=0) (2)5x(x-3)+2(x-3)=0. (3)x2-12x+27=0;(4)(2x+1)2=x2+2; 【详解】(1)解：x2-6x-4=0 (2)解：5x(x-3)+2(x x2-6x=4 (x-3)(5x+2)=0 x2-6x+9=4+9 x-3=0或5x+2=0 (x-3)}2=13 x-3=±13 解得x=3,名=-5 2 (3)x=9,x2=3; e52735, 3 3)=0 3)=0 15.如图，点D,E是△ABC中AB边上的点， A D E B (1)求证：△ADE∽△ABC (2)若AE=5、AC=6,BC=7,求DE的长. 证明：，DE∥BC, .∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED, .∴.△ADE∽△ABC; 35 、之= 15.如图，点D,E是△ABC中AB边上的点， A D E B (1)求证：△ADE∽△ABC (2)若AE=5、AC=6,BC=7,求DE的长. 证明：，DE∥BC, .∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED, .∴.△ADE∽△ABC; 35 、之= DE∥BC· DE∥BC· 16.已知关于x的-元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程的两根的差为3，求k的值· 【答案】(1) 证明：：△=[-(k+5)]-4×1×(6+2k)=k2+2k+1=(k+1)≥0， ∴.此方程总有两个实数根. (2)k=2或k=-4 解：设方程的两个根为x,x2, ∴.x+x2=k+5,xx2=6+2k, (x-x2)=(x+x)2-4xx=(k+5)}2-4(6+2k)=(k+1)2, x-x2=±(k+1), ,此方程的两根的差为3， ∴.k+1=3或-(k+1=3,解得k=2或k=4. 16.已知关于x的-元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程的两根的差为3，求k的值· 【答案】(1) 证明：：△=[-(k+5)]-4×1×(6+2k)=k2+2k+1=(k+1)≥0， ∴.此方程总有两个实数根. (2)k=2或k=-4 解：设方程的两个根为x,x2, ∴.x+x2=k+5,xx2=6+2k, (x-x2)=(x+x)2-4xx=(k+5)}2-4(6+2k)=(k+1)2, x-x2=±(k+1), ,此方程的两根的差为3， ∴.k+1=3或-(k+1=3,解得k=2或k=4. 17如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=AB (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若∠ADC=60°，BE=2,求BD的长. 【小问2详解】 证明：：AE∥BD,BE∥AC, 由(1)得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴.四边形AEBO是平行四边形， OA=BE=2,AC⊥BD,BO=DO,∠ADO=30°， :四边形ABCD是平行四边形， .OD=V50A=25, .DC=AB. .OE=AB, .BD=2OD=45. .∴.平行四边形AEBO是矩形， .∠BOA=90°. .AC⊥BD. .∴.平行四边形ABCD是菱形 17如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=AB (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若∠ADC=60°，BE=2,求BD的长. 【小问2详解】 证明：：AE∥BD,BE∥AC, 由(1)得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴.四边形AEBO是平行四边形， OA=BE=2,AC⊥BD,BO=DO,∠ADO=30°， :四边形ABCD是平行四边形， .OD=V50A=25, .DC=AB. .OE=AB, .BD=2OD=45. .∴.平行四边形AEBO是矩形， .∠BOA=90°. .AC⊥BD. .∴.平行四边形ABCD是菱形 18.如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，点E为边BC中点，F 点，FG⊥AE于H. F K F B B H H E E D C D C G G (1)求证：AE=FG; (2)若点H为AE中点，连接CH并延长交AB于点K,求AK的长. 18.如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，点E为边BC中点，F 点，FG⊥AE于H. F K F B B H H E E D C D C G G (1)求证：AE=FG; (2)若点H为AE中点，连接CH并延长交AB于点K,求AK的长. G分别为边AB,CD上两动 【小问1详解】 在AABE与△FMG中， (1)证明：过点F作FM⊥CD,垂足为点M, ∠AEB=∠FGM .·FG⊥AE, .'{∠B=∠GMF .∴.∠EAF+∠AFG=∠EAF+∠AEB=90°， AB=FM .∴.∠AFG=∠AEB, .△ABE≌△FMG(AAS), ,四边形ABCD为正方形， ∴.AE=FG. .ABCD, F B .∴.∠AFG=∠FGM, H .∴∠AEB=∠FGM· E .四边形ABCD为正方形，FM⊥CD, D C ∴.∠B=∠C=∠FMC=90°， G M ∴.四边形FMCB是矩形， ∴.FM=BC=AB, G分别为边AB,CD上两动 【小问1详解】 在AABE与△FMG中， (1)证明：过点F作FM⊥CD,垂足为点M, ∠AEB=∠FGM .·FG⊥AE, .'{∠B=∠GMF .∴.∠EAF+∠AFG=∠EAF+∠AEB=90°， AB=FM .∴.∠AFG=∠AEB, .△ABE≌△FMG(AAS), ,四边形ABCD为正方形， ∴.AE=FG. .ABCD, F B .∴.∠AFG=∠FGM, H .∴∠AEB=∠FGM· E .四边形ABCD为正方形，FM⊥CD, D C ∴.∠B=∠C=∠FMC=90°， G M ∴.四边形FMCB是矩形， ∴.FM=BC=AB, 18.如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，点E为边BC中点，F 点，FG⊥AE于H. F K F B B H H E E D C D C G G (1)求证：AE=FG; (2)若点H为AE中点，连接CH并延长交AB于点K,求AK的长. 18.如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，点E为边BC中点，F 点，FG⊥AE于H. F K F B B H H E E D C D C G G (1)求证：AE=FG; (2)若点H为AE中点，连接CH并延长交AB于点K,求AK的长. G分别为边AB,CD上两动 【小问2详解】 解：(2)延长AE交DC的延长线于点N, .点E为BC中点且AB∥CD, =1, BE AB AE CE CN EN 又，点H为AE中点， AK AH 1 CN HN3' 8 K A B H E D G C N G分别为边AB,CD上两动 【小问2详解】 解：(2)延长AE交DC的延长线于点N, .点E为BC中点且AB∥CD, =1, BE AB AE CE CN EN 又，点H为AE中点， AK AH 1 CN HN3' 8 K A B H E D G C N 19.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两根，且x+x2=3-2x为2，则k的值为 【答案105 【难度】0.81 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到x+x,和xx,的表达式，代入已知等式求解k· 【详解】解：：x,x是一元二次方程x2-2x+k=0的两根， ∴x+2=2，xx3=k, x+x2=3-2xx2, .2=3-2k, 解得k=2 19.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两根，且x+x2=3-2x为2，则k的值为 【答案105 【难度】0.81 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到x+x,和xx,的表达式，代入已知等式求解k· 【详解】解：：x,x是一元二次方程x2-2x+k=0的两根， ∴x+2=2，xx3=k, x+x2=3-2xx2, .2=3-2k, 解得k=2 20.如图，在线段AB上找到一个点C,且AC<BC,满足AC:CB=CB:AB,设AB=1m,则线 段AC= m」 A C B 【答案】3-V5 2 【解析】 【分析】设AC的长为，则BC=(1-x)m,代入AC:CB=CB:AB求解即可， 【详解】解：设AC的长为m,则BC=(1-x)m, AC:CB=CB:AB, ,x=1-x 1-x1 .(1-x)}=x, 解得：5=3-5，=3+5 2 ’x2= 2 (不合题意，舍去)， 4AC=3-V5 m, 2 故答案为：3-5 2 20.如图，在线段AB上找到一个点C,且AC<BC,满足AC:CB=CB:AB,设AB=1m,则线 段AC= m」 A C B 【答案】3-V5 2 【解析】 【分析】设AC的长为，则BC=(1-x)m,代入AC:CB=CB:AB求解即可， 【详解】解：设AC的长为m,则BC=(1-x)m, AC:CB=CB:AB, ,x=1-x 1-x1 .(1-x)}=x, 解得：5=3-5，=3+5 2 ’x2= 2 (不合题意，舍去)， 4AC=3-V5 m, 2 故答案为：3-5 2 21.如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,AB=3,BC=4, 为 B 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、矩形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：：AB=3,BC=4,∠ABC=90°， AC=VAB2+BC2=5· 21.如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,AB=3,BC=4, 为 B 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、矩形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：：AB=3,BC=4,∠ABC=90°， AC=VAB2+BC2=5· 则AC的长 则AC的长 22.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为CD边上的- BG,点H为BG中点，连结EH,则EH的最小值为 D E G H B C F 22.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为CD边上的- BG,点H为BG中点，连结EH,则EH的最小值为 D E G H B C F 个动点，以CE为边向外作正方形ECFG,连结 |【详解】解：延长GE至K,使得EG=EK, ,'E、H分别是KG、BG的中点， :.EH=KB, 2 .'KE=EC=EG,∠KEC=90° ∴.∠KCE=45°， 四边形ABCD是正方形， ∴.∠ACE=45°， ∴.K必在AC上， ∴.KB⊥AC时，KB取最小， 过B作BK'⊥AC交AC于K', .∠ACB=45°， ..K'B=K'C, .‘KB2+KC2=BC2=4, ∴·KB=2(负值舍去)， “EH的最小值为KB=2. 个动点，以CE为边向外作正方形ECFG,连结 |【详解】解：延长GE至K,使得EG=EK, ,'E、H分别是KG、BG的中点， :.EH=KB, 2 .'KE=EC=EG,∠KEC=90° ∴.∠KCE=45°， 四边形ABCD是正方形， ∴.∠ACE=45°， ∴.K必在AC上， ∴.KB⊥AC时，KB取最小， 过B作BK'⊥AC交AC于K', .∠ACB=45°， ..K'B=K'C, .‘KB2+KC2=BC2=4, ∴·KB=2(负值舍去)， “EH的最小值为KB=2. 连接KC,AC,BK, 连接KC,AC,BK, 23.如图，将一张正方形纸片ABCD折桑，折痕为AE,折桑后，点B的对应点落在正方形内部的点F处， 连接DF并延长交BC于点G.若BG=CG,AD=2√2，则EG的长为 D 【详解】解：过F作FH⊥BC于点H,过A作AM⊥GD于点M, .FH⊥BC,CD⊥BC, ∴.FH∥CD, ∴.aDFH∽aDGC, FH GF GN 1 CD DG CG 5 B E GH .FH=22,GH=5 由题意可知，AD=AF=AB=CD=BC=2√2，∠C=90°， 设EG=x,在Rt EFH中， ∴.DM=FM, BG=CG, EF2=FH+GH,即(2 .BG=CG=√2， 解得：x=」 在RtaDGC中，由勾股定理得：DG=√CD+CG=V10, G= 3 ,AD∥BC, 故答案为： v2 .∴.∠ADM=∠FGH, 3 ∴.△ADM∽△DGC, AD DM 2 ·DGCG5 .DM=FM =3 210 5 GF=DG-DM-FM-10-2V10_210o 55 23.如图，将一张正方形纸片ABCD折桑，折痕为AE,折桑后，点B的对应点落在正方形内部的点F处， 连接DF并延长交BC于点G.若BG=CG,AD=2√2，则EG的长为 D 【详解】解：过F作FH⊥BC于点H,过A作AM⊥GD于点M, .FH⊥BC,CD⊥BC, ∴.FH∥CD, ∴.aDFH∽aDGC, FH GF GN 1 CD DG CG 5 B E GH .FH=22,GH=5 由题意可知，AD=AF=AB=CD=BC=2√2，∠C=90°， 设EG=x,在Rt EFH中， ∴.DM=FM, BG=CG, EF2=FH+GH,即(2 .BG=CG=√2， 解得：x=」 在RtaDGC中，由勾股定理得：DG=√CD+CG=V10, G= 3 ,AD∥BC, 故答案为： v2 .∴.∠ADM=∠FGH, 3 ∴.△ADM∽△DGC, AD DM 2 ·DGCG5 .DM=FM =3 210 5 GF=DG-DM-FM-10-2V10_210o 55 由勾股定理得： -可j++g； 由勾股定理得： -可j++g； 24,我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶 商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒，经市场调查发现，若每 盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.现该茶商计刻降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为 盒，每天盈利 元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【详解】(1)解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴.当销售价为110元盒时，每天的销售量为20+4×[(120-110)÷2]=20+4×5=20+20=40盒，每天盈利 40×(110-100)=40×10=400元； (2)解：设每盒茶叶降价x元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得(120-100-x)(20+x÷2×4)=432, 整理得x2-10x+16=0, 解得x=2,x2=8, ∴当每盒茶叶降价2或8元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 24,我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶 商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒，经市场调查发现，若每 盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.现该茶商计刻降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为 盒，每天盈利 元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【详解】(1)解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴.当销售价为110元盒时，每天的销售量为20+4×[(120-110)÷2]=20+4×5=20+20=40盒，每天盈利 40×(110-100)=40×10=400元； (2)解：设每盒茶叶降价x元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得(120-100-x)(20+x÷2×4)=432, 整理得x2-10x+16=0, 解得x=2,x2=8, ∴当每盒茶叶降价2或8元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 25如图在平面直角坐标系中，已知直线4B:y=乙x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:y= 31 2 (2)直线AB:y=二x+4交x轴于点A,交y轴于点B, 3 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D. 点A(-6,0),点B(0,4), 【详解】(1)~直线CD:y=- 3x-1与直线AB相交于点M, 直线CD:y=3x-1交x轴于点C,交y轴于点D. 2 y= x+4 ∴点C(-3,0),点D0,-); B BD=5, y= x-I 3 ~点P的横坐标是x, x=-5 解得： 2 y= 点P坐标为(x, 3 3-), D .M点的坐标是 如图1，点P当P点在y轴左侧时， (1)直接写出点M的坐标 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,aPBM的面积是S,求S与x之间的函 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. PD 图1 1 aPBM的面积是S=S,D-SPD=)×5x5- 25.5 -×5×(-x)= 2+2x9 25如图在平面直角坐标系中，已知直线4B:y=乙x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:y= 31 2 (2)直线AB:y=二x+4交x轴于点A,交y轴于点B, 3 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D. 点A(-6,0),点B(0,4), 【详解】(1)~直线CD:y=- 3x-1与直线AB相交于点M, 直线CD:y=3x-1交x轴于点C,交y轴于点D. 2 y= x+4 ∴点C(-3,0),点D0,-); B BD=5, y= x-I 3 ~点P的横坐标是x, x=-5 解得： 2 y= 点P坐标为(x, 3 3-), D .M点的坐标是 如图1，点P当P点在y轴左侧时， (1)直接写出点M的坐标 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,aPBM的面积是S,求S与x之间的函 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. PD 图1 1 aPBM的面积是S=S,D-SPD=)×5x5- 25.5 -×5×(-x)= 2+2x9 25如图在平面直角坐标系中，已知直线B:y号x+4交x轴于点A,文y轴于点8.直线CD:y=x- 2 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D· 如图2，当P点在y轴右侧时， B APBM的面积是S M D 图2 (1)直接写出点M的坐标； 综上所述，所求的函数关系式是S=25, 。+。x(x2-5; 22 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,△PBM的面积是S,求S与x之间的函数解析 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由· 25如图在平面直角坐标系中，已知直线B:y号x+4交x轴于点A,文y轴于点8.直线CD:y=x- 2 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D· 如图2，当P点在y轴右侧时， B APBM的面积是S M D 图2 (1)直接写出点M的坐标； 综上所述，所求的函数关系式是S=25, 。+。x(x2-5; 22 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,△PBM的面积是S,求S与x之间的函数解析 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由· S.mm+S.m=x 1 5×5×5+×5×(x)= 255 1 2+29 S.mm+S.m=x 1 5×5×5+×5×(x)= 255 1 2+29 25如图在平面直角坐标系中，已知直线B:y-号x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:y=了x- n 2 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D· B (1)直接写出点M的坐标 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,aPBM的面积是S,求S与x之间的函数解析 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 25如图在平面直角坐标系中，已知直线B:y-号x+4交x轴于点A,交y轴于点B.直线CD:y=了x- n 2 与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D· B (1)直接写出点M的坐标 (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,aPBM的面积是S,求S与x之间的函数解析 式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)存在，设点P(a,b), 若AB,BO为边时， ,四边形ABOP是平行四边形， .BP与AO互相平分， 6+0_0+a0+04+b 22’22’ ∴.a=-6,b=-4, ∴.P点为(6,4)； 若BO,OA为边， :四边形BOAP是平行四边形， ∴.OP与AB互相平分， -6+00+a4+00+b 。。 22’22 .∴a=-6,b=4; 若OA,BA为边， ,四边形PBAO是平行四边形， ∴.BO与PA互相平分， -6+a0+04+00+b 2=2’22 .a=6,b=4, P点为(6,4)； 综上所述：点P的坐标分别是(6,4)、(6,4)、(6，-4). (3)存在，设点P(a,b), 若AB,BO为边时， ,四边形ABOP是平行四边形， .BP与AO互相平分， 6+0_0+a0+04+b 22’22’ ∴.a=-6,b=-4, ∴.P点为(6,4)； 若BO,OA为边， :四边形BOAP是平行四边形， ∴.OP与AB互相平分， -6+00+a4+00+b 。。 22’22 .∴a=-6,b=4; 若OA,BA为边， ,四边形PBAO是平行四边形， ∴.BO与PA互相平分， -6+a0+04+00+b 2=2’22 .a=6,b=4, P点为(6,4)； 综上所述：点P的坐标分别是(6,4)、(6,4)、(6，-4). 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：AOCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=AD.OB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. E M F B A 图1 B 图2 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：AOCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=AD.OB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. E M F B A 图1 B 图2 【详解】解：(1)①如图1，由折桑可得∠APO=∠B=90°， 3 B 图1 .∠1+∠2=90°， “四边形ABCD是矩形， ∴.∠C-∠D=90°， ∴.∠1+∠3=90°， ∴.∠2=∠3， 又.∠D=∠C, ∴.△OCP∽△PDA; 【详解】解：(1)①如图1，由折桑可得∠APO=∠B=90°， 3 B 图1 .∠1+∠2=90°， “四边形ABCD是矩形， ∴.∠C-∠D=90°， ∴.∠1+∠3=90°， ∴.∠2=∠3， 又.∠D=∠C, ∴.△OCP∽△PDA; 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：AOCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=AD.OB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. E M F B A 图1 B 图2 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：AOCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=AD.OB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. E M F B A 图1 B 图2 ②如图1，，△OCP与△PDA的面积比为1：4， OP CP 1 ·PADA2’ ∴CP=)4D=3,设0P=0B,则c06x, 2 在Rt△PC0中，∠C=90°， 由勾股定理得x2=(6-x)2+32, ￥男只 AB=AP-20P-15 :边B的长为23 15 ②如图1，，△OCP与△PDA的面积比为1：4， OP CP 1 ·PADA2’ ∴CP=)4D=3,设0P=0B,则c06x, 2 在Rt△PC0中，∠C=90°， 由勾股定理得x2=(6-x)2+32, ￥男只 AB=AP-20P-15 :边B的长为23 15 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：△OCPOA PDA; ②若aOCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=ADOB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由， P E M F B A 图1 B 图2 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：△OCPOA PDA; ②若aOCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=ADOB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由， P E M F B A 图1 B 图2 (2)点P是CD边的中点， :'.DP=IDC 4P=AB-CD, 2 1 ∴.DP=5AP, 2 ∴.∠DAP=30°， ∴.∠BAP=60°，又∠OAP=∠OAB ∴.∠OAB=30°=∠DAP 又∠PDA=∠ABO=909 .∴.△ADP∽△ABO; AD DP AB OB ,∴.AB·DP=AD.OB,又AB=CD=2DP=2PC ..2PC2 AD.OB (2)点P是CD边的中点， :'.DP=IDC 4P=AB-CD, 2 1 ∴.DP=5AP, 2 ∴.∠DAP=30°， ∴.∠BAP=60°，又∠OAP=∠OAB ∴.∠OAB=30°=∠DAP 又∠PDA=∠ABO=909 .∴.△ADP∽△ABO; AD DP AB OB ,∴.AB·DP=AD.OB,又AB=CD=2DP=2PC ..2PC2 AD.OB 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：△OCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=ADOB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP,动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. M F --B 图1 B ∴Qr=B0, 2 .EF-EO+OF-7P0+ +B0=BP, 1 2 由(1)中的结论可得：PC=3,BC=6,∠C=90°， ∴PB=√32+6=35， .在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度光 26.矩形ABCD一条边AD=6,将矩形ABCD折桑，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：△OCP∽APDA; ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长. (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=ADOB (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP,动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. M F --B 图1 B ∴Qr=B0, 2 .EF-EO+OF-7P0+ +B0=BP, 1 2 由(1)中的结论可得：PC=3,BC=6,∠C=90°， ∴PB=√32+6=35， .在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度光 (3)作MWAN,交PB于点Q,如图2， M B 图2 .'AP=AB,MQ∥AN, ,∴.∠APB=∠ABP=∠MQP .∴.MP=MQ, .∵BN=PM, ∴.B=QM .'MP=MQ,ME⊥Pg, -r0. .∵MQAN, ∴.∠QMF=∠BNF, 在△MFQ和△NFB中， ∠QFME∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN, ∴.△MFQ≌△NFB(AAS) 25 (3)作MWAN,交PB于点Q,如图2， M B 图2 .'AP=AB,MQ∥AN, ,∴.∠APB=∠ABP=∠MQP .∴.MP=MQ, .∵BN=PM, ∴.B=QM .'MP=MQ,ME⊥Pg, -r0. .∵MQAN, ∴.∠QMF=∠BNF, 在△MFQ和△NFB中， ∠QFME∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN, ∴.△MFQ≌△NFB(AAS) 25 2026-2027学年度（上）期九年级月考考试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 2．如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（     ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长、实数的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴该菱形的周长是． 3．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 4．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 5．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A. 对边分别相等 B. 对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案． 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 7.如图， 在菱形中， 已知， 若菱形的周长为16，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 8．. 某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【答案】A 【难度】0.7 9．已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得关于a、b的关系式，进而可得答案. 【详解】解：∵，∴，整理得：，∴. 故答案为： ． 10．关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 【答案】16 【难度】0.7 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程的两根之和为，两根之积为）求出和的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于的方程的两个根是和， 可得，， 解得，， 将，代入， 得． 11．已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为______． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 12. . 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，，垂足为点E．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．解下列方程： (1)； (2)． （3）； （4）； 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． （3），； （4）； 15．如图，点，是中边上的点，． (1)求证： (2)若、，，求的长． 证明：∵， ∴， ∴； (2)． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 16． 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程的两根的差为3，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可得证； （2）根据根与系数的关系可得，，进一步可得，再根据方程的两根差为3列方程，即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴， ∵此方程的两根的差为3， ∴或，解得或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 17 如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ． ， 平行四边形是矩形， ． ． 平行四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，， ， ． 18. 如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于. （1）求证：； （2）若点为中点，连接并延长交于点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，证明即可； （2）延长交的延长线于点，由点为中点且，可得，又由点为中点，得，即． 【小问1详解】 （1）证明：过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：（2）延长交的延长线于点， ∵点为中点且， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，综合运用以上知识是解题的关键． 19．已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】/ 【难度】0.81 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 20． 如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________. 【答案】 【解析】 【分析】设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m，代入求解即可． 【详解】解：设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键． 21．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、矩形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：，，， ． 22．如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：延长至K，使得，连接，，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为． 23．如图，将一张正方形纸片折叠，折痕为，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接并延长交于点G．若，，则的长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，由题意可知，，，证明，，由性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过作于点， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 24．我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 25如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点的坐标______； (2)若点是线段上的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数解析式； (3)平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、、 【难度】0.65 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】（1）联立直线和直线的解析式，解方程组即可． （2）令和，可求点，点，点，点坐标；分当点在轴左侧和当点在轴右侧两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）直线与直线相交于点， ， 解得：， 点的坐标是． （2）直线交轴于点，交轴于点， 点，点， 直线交轴于点，交轴于点． 点，点； ， 点的横坐标是， 点坐标为， 如图1，点当点在轴左侧时，   的面积是； 如图2，当点在轴右侧时，   的面积是； 综上所述，所求的函数关系式是； （3）存在，设点， 若，为边时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，， 点为； 若，为边， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，； 若，为边， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，， 点为； 综上所述：点的坐标分别是、、． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 26．矩形ABCD一条边AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． ①求证：OCP∽PDA； ②若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长． （2）在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证： （3）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析；（3）在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据矩形和折叠的性质可以得到解答；②根据相似三角形相似比与面积比的关系及勾股定理可以得到解答； （2）由已知和矩形的性质可得△ADP∽△ABO，再根据三角形相似的性质可以得到解答； （3）作，交PB于点Q，可以证得△MFQ≌△NFB及EF=，再根据（1）的结论及勾股定理可以得到EF的值 ． 【详解】解：(1)①如图1，由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90∘， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA； ②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴， ∴CP=3，设OP=x=OB，则CO=6−x， 在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(6−x)2+32， 解得：x=， ∴AB=AP=2OP=， ∴边AB的长为； (2)∵点P是CD边的中点， ∴DP，AP=AB=CD， ∴DP， ∴∠DAP=， ∴∠BAP=，又∠OAP=∠OAB ∴∠OAB==∠DAP 又∠PDA=∠ABO= ∴△ADP∽△ABO； ∴ ∴，又AB=CD=2DP=2PC ∴ (3)作，交PB于点Q，如图2， ∵AP=AB，， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP. ∴MP=MQ， ∵BN=PM， ∴BN=QM. ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ. ∵， ∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ和△NFB中， ∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN， ∴△MFQ≌△NFB(AAS). ∴QF， ∴EF=EQ+QF+=， 由(1)中的结论可得：PC=3，BC=6，∠C=90°， ∴PB=， ∴EF==， ∴在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为. 【点睛】本题考查折叠和矩形的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质 、三角形全等的判定和性质、勾股定理及矩形的性质是解题关键 ． 试卷第16页（共20页） 试卷第15页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年10月基于最近发展区错题训练 九年级数学 命题人：王建审题人：李琴 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分：考试时间120分钟， 2.在作答前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卷上，并注意检查条形码。考试结束，只交答题 卷 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂：非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚 4.请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷 上答题均无效， 5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。 的回长君2 A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要 求) 1.一元二次方程x(x-1)=0的解是() A.x=0B.x=1C.x=0,=1D.x=0,为=-l 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=2,BD=4,则该菱 形的周长是() 0,0 D A.4W5 B.8 C.45 D.16 3.下列四条线段是成比例线段的是（) ,计的张， A.1,1,2,3 B.1,2,3,.4、=9:张中00 D C.2,3,4,5D.2,2,3,3.9800 4.如图，在aABC中，DE∥BC,若AD=2,DB=4,DE=3,则BC的长为( A.6 B.91英出头 C.12 D.15 5.方程x(x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是() A.xX2-9x+10=0B.x2-x+10=0 C.x2+9x-10=0 D.x2-x-10=0 6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 7.如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC=120°， 若菱形ABCD的周长为16，A 则BD的长度为() A.4 B.5 C.6 D.7 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP &。某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是（) A.500(1-a%)2=432 B.5001+a%)2=432 C.5001-2a%)=432 D.5001+2a%=432 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9已知+269 =三，则a:b= 2a-b5 10.关于x的方程2x2+x+n=0的两个根是-2和1，则n的值为 题 11.已知a、b、b、c是比例线段，其中a=3,c=12,则线段b的长为 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=16,BD=12, DE⊥BC,垂足为点E.则DE=·入TH)射 13.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，点A,B,C,D均为格点， 连接AC,BD相交于点E.设小正方形的边长为1，则BE的长为 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.(12分)求下列方程的解： (1)x2-6x-4=0: (2)5x(x-3)+2(x-3)=0. (代02共)等8 (3)x2-12x+27=0: 心④(2x+=x+2:商米：空肥 入且·)点个促.处经拉赠时 15.(8分)如图，点D,E是△ABC中AB边上的点，DE∥BC. (I)求证：△4ADE∽△ABC (2)若AE=5、AC=6,BC=7,求DE的长， 16.(8分)己知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0.西头8 (1)求证：此方程总有两个实数根： 交。)儿.数销这提=心，03法湖以， (2)若此方程的两根的差为3，求k的值， 临个一咖以①的比5点世 ,武逊是的图取，国能，动中代 1你动而点迦校M符意，益波，3此成池，过通出计 对的3的，=k.))-09丝十)开文 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(I0分)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=AB. 二、解答题（本大题共3个小是 (1)求证：四边形ABCD是菱形. 24.(8分)我国是世界上最大的 (2)若∠ADC=60°，BE=2,求BD的长. 茶商购进一批进价为100元/盒 盒茶叶每降价2元，那么平均 (1)当销售价为110元/盒时 (2)当每盒茶叶降价多少元 18.(10分)如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，点E为边BC中点，F,G分别为边AB,CD上 两动点，FG⊥AE于H. (1)求证：AE=FG: 25.(10分)如图在平面直 (2)若点H为AE中点，连接CH并延长交AB于点K,求AK的长. -1与直线4B 1 CD:y=- (1)直接写出点M的坐 (2)若点P是线段MD上 求s与x之间的函数解 (3)平面直角坐标系内 G G 是平行四边形？若存 0=-yCC-2(c B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 0=) 19.己知x,五是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两根，且x+x2=3-2x为2，则k的值为 26.(12分)矩形ABC 20如图，在线段AB上找到一个点C,且AC<BC,满足AC:CB=CB:AB,设AB=lm,则线段 (1)如图1，已知 AC= m ①求证：AOCP ②若aOCP与aF (2)在图1中，： ☒ (3)如图2，在 动点N在线段AE N在移动的过程F 20题图 21题图0=0.422题图 23题图 21如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O,AB=3,BC=4,则AC的长为 22.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG,连结BG, 点H为BG中点，连结EH,则EH的最小值为 23如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，折痕为AE,折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连 接DF并延长交BC于点G.若BG=CG,AD=2√2，则EG的长为_， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24.(8分)我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化.某 茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.经市场调查发现，若每 盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为 盒，每天盈利 元： (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 2 25.(10分)如图在平面直角坐标系中，已知直线AB:y= +4交x轴于点小，交y轴于点B.直线 CD:y=了-1与直线AB相交于点M,交x轴于点C,交y轴于点D, (1)直接写出点M的坐标 B (2)若点P是线段MD上的一个动点，设点P的横坐标是x,aPBM的面积是S, 求S与x之间的函数解析式： (3)平面直角坐标系内是否存在点P,使以点A,B,O,P为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. )长面=作江 26.(12分)矩形ABCD一条边AD-6,将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处. (1)如图1，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. ①求证：△OCP∽△PDA; ②若aOCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长 最期边 (2)在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2=AD.OB·S日 (3)如图2，在(1)的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合）， 动点N在线段AB的延长线上，且BW=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由. D 式升周的08 图 图2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2026年10月基于最近发展区错题训练 15(8分) 续17 九年级数学答题卡 考号」 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清 姓名 楚 2选择题必须使用2B铅笔填涂且按正确填涂方式填涂： ■非进择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 班级 字体工整，笔迹清晰。 缺考 贴条形码区 A卷 选择题(32分) 回 18(10分) 234 5676 昌 16(8分) (1) 面 尚 填空题 (20分】 9 10 11 G 13 (2) 三解答题(48分】 14(12分) (1)x2-6x-4=0 (25x(x-3)+2(x-3)=0 17(10分) (3)xX2-12x+27=0 ④2x+12=2+2 10 第1页 第2页 第3页 25(10分) B卷 26(12分) 二填空题20分） (1)M的坐标 (2) 19 20. 21 23 二.解答题(30分) 24(8分) M (1)每天的销售量为 盒，每天盈利元： (2) (3) ■0 第4页 第5页 第6页