6.2 二次函数的图象与性质（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.2 二次函数的图象与性质（2） 第2课时 二次函数 y＝ax2 的图象与性质 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 掌握二次函数 y＝ax2 的图象特征：开口方向由 a 的符号决定，顶点在原点，对称轴为 y 轴． 能根据 a 的符号描述函数的变化趋势，并能判断函数是否存在最大值或最小值． 预备练习 2 4 -2 -4 o 2 4 x y 6 -6 8 6 10 y＝2x2 (1) 抛物线y＝2x2的顶点坐标是________，对称轴是____，在______侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小，图象有最____点，当x＝____时，函数 y 的值最小，最小值是____，抛物线y＝2x2在x轴的___方(除顶点外)． (0，0) y轴 y轴右 y轴左 低 0 0 上 填空： 预备练习 (2) 抛物线y＝x2的顶点坐标是_______，对称轴是_____，在______侧，y随着x的增大而增大；在_______侧，y随着x的增大而减小，图象有最____点，当x＝__时，函数 y的值最大，最大值是__，抛物线y＝x2 在x轴的___方(除顶点外)． 填空： y＝－x2 -6 -4 x y 2 4 -2 -4 o 6 -6 -2 -8 -10 (0，0) y轴 y轴左 y轴右 高 0 0 下 图象形状：都是________． 经过定点：四条图象都经过点________． 对称性：图象都关于______对称． 顶点位置：顶点都在______，顶点是抛物线的最高点或最低点． 观察思考 2 4 -2 -4 o 2 4 x y 6 -6 8 6 10 y＝2x2 y＝x2 y＝－x2 -6 -4 -2 -8 -10 y＝－2x2 观察函数 y＝2x2，y＝x2， y＝－2x2、y＝－x2的图象： 抛物线 (0，0) y轴 原点 想一想：开口方向是共同特征吗？ a＞0 开口向上，图象有最低点； a＜0 开口向下，图象有最高点． 观察思考 2 4 -2 -4 o 2 4 x y 6 -6 8 6 10 y＝2x2 y＝x2 y＝－x2 -6 -4 -2 -8 -10 y＝－2x2 观察函数 y＝2x2，y＝x2， y＝－2x2、y＝－x2的图象： 减小 增大 小 0 增大 减小 大 0 ① a＞0（ y＝2x2、y＝x2） 当 x＜0 ( y轴左侧)：y 随 x 的增大而_______； 当 x＞0 ( y轴右侧)：y 随 x 的增大而_______； 当 x＝0 时，y有最____值，值为____． ② a＜0（ y＝－2x2、y＝－x2） 当 x＜0 ( y轴左侧)：y 随 x 的增大而_______； 当 x＞0 ( y轴右侧)：y 随 x 的增大而_______； 当 x＝0 时，y有最____值，值为____． 新知归纳 二次函数 y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象特征和性质如下： 二次项系数 a＞0 a＜0 函数图象 图象开口方向 图象顶点 图象对称轴 函数变化趋势 函数最大(小)值 y O x y O x 向上 向下 顶点在原点，顶点是抛物线的最低点 顶点在原点，顶点是抛物线的最高点 y轴 当 x＜0时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞0时，y 随 x 增大而增大 当 x＜0时，y 随 x 增大而增大； 当 x＞0时，y 随 x 增大而减小 当x＝0时，函数值最小，最小值为0 当x＝0时，函数值最大，最大值为0 例题讲解 例1 根据下列二次函数表达式，写出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数的变化趋势以及函数的最大（小）值． (1) y＝x2； (2) y＝－5x2 ． 解：(1) 函数 y＝x2 的图象开口向上，顶点坐标为 (0，0)，对称轴为y轴． 当x＜0时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大．函 数有最小值，最小值为 0． 例题讲解 例1 根据下列二次函数表达式，写出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数的变化趋势以及函数的最大（小）值． (1) y＝x2； (2) y＝－5x2 ． 解：(2) 函数 y＝－5x2 的图象开口向下，顶点坐标为 (0，0)，对称轴为 y 轴．当x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小． 函数有最大值，最大值为 0． 对于二次函数 y＝x2，当函数值 y 取一个确定的值时，对应的自变量 x 有几个值？这几个值之间有何关系？ 新知探究 解：将确定的 y 值代入 y＝x2，得 x2＝8y． 当 y＞0 时，对应的自变量 x 有 2 个值，这两个值互为相反数； 当 y＝0 时，对应的自变量 x 有 1 个值，为 x＝0； 当 y＜0 时，没有对应的自变量 x 值． 新知巩固 1．分别说出下列二次函数的图象的开口方向、顶点坐标与对称轴，并分别说明函数的变化趋势以及最大（小）值． （1） y＝－3x2 ； （2）y＝x2． 解：(1) 函数 y＝－3x2 的图象开口向下，顶点坐标为 (0，0)，对称轴为 y 轴．当x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小． 函数有最大值，最大值为 0． 新知巩固 1．分别说出下列二次函数的图象的开口方向、顶点坐标与对称轴，并分别说明函数的变化趋势以及最大（小）值． （1） y＝－3x2 ； （2）y＝x2． 解：(2) 函数 y＝x2 的图象开口向上，顶点坐标为 (0，0)，对称轴为y轴． 当x＜0时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大．函 数有最小值，最小值为 0． 新知巩固 2．对于函数 y＝2x2，当自变量 x＝3 时，求出对应的函数值 y；当函数 值 y＝8 时，求出对应的自变量 x 的值． 解：当 x＝3 时， y＝2×32＝2×9＝18； 当 y＝8 时， 2x2＝8， x2＝4， x＝±2． 答：当 x＝3 时，对应的函数值为18；当 y＝8 时，对应的自变量 x 的值为2或－2． 新知巩固 3．已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P (2，3)，求出 a 的值，并指出 图象的开口方向． 解：将点 P (2，3)代入 y＝ax2 ，得 3＝a×22， 3＝4a， a＝． ∵ ＞0 ，∴ 该二次函数图象开口向上． 能力提升 1．如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数① y＝3x2；② y＝x2；③ y＝x2 的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（　 ）A．①②③　　　B．①③② C．②③① D．③②① B 对于抛物线 y = ax 2 ， ｜a｜越大，抛物线的开口越小． 能力提升 2．函数y＝ax2(a＞0)的图像上有A(2，y1)，B(3，y2)，C(－1，y3)三个点，比较 y1，y2，y3 的大小． 解：方法1：由题意知y1＝4a，y2＝9a，y3＝a． 又∵ a＞0，∴ y3＜y1＜y2． 方法2：∵函数y＝ax2(a＞0)的图像是一条抛物线，且关于y轴对称，点C(－1，y3) 在该抛物线上， ∴ 点(1，y3)也在函数y＝ax2(a＞0)的图像上． ∵ a＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大． 又∵ 1＜2＜3，∴ y3＜y1＜y2． 课堂小结 6.2 二次函数的图象与性质（2） 图象特征（图形长什么样）：抛物线→开口方向、顶点、对称轴 函数性质（变量 x，y 之间的变化规律）：函数变化趋势、最大(小)值 感谢聆听！ $