精品解析：安徽省蚌埠市固镇县第二中学、毛钽厂实验中学2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用截距的概念进行求解即可. 【详解】中令得：， 故直线在轴上的截距为-6. 故选：A 2. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】应用韦达定理结合 等比数列项的性质，最后应用对数运算求解. 【详解】由题意知，等比数列为正项等比数列， 则. 故选：C. 3. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 4. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】B 【解析】 【分析】分析的单调性，即可判断和选择. 【详解】因为，显然随着的增大，是递增的，故是递减的， 则数列是递减数列. 故选：B. 5. 已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由的关系，即可得到结果. 【详解】因为椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2， 即，又，则，所以. 故选：C 6. 已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，依题意可得向量为平面的法向量，利用向量法计算可得. 【详解】由题意，，，，． 所以点到平面的距离为． 故选：B 7. 已知数列满足，在，之间插入n个2，构成数列：，则数列前50项的和为（ ） A. 225 B. 235 C. 245 D. 295 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，数列是等差数列，根据新数列的特征，分析其前50项的构成，利用分组求和法可求得其前50项的和. 【详解】依题意，从开始，到为止，新的数列共有项. 当时，，即新数列中从到共有45项； 当时，，即新数列中从到共有55项. 因为数列是等差数列，且. 故数列前50项的和为 . 故选：B． 8. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算进行代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若与垂直，则，即，故A正确； 对于B，若与平行，则，由，可知不存在使得式子成立，故B错误； 对于C，当时，，， 故C正确； 对于D，当时，，故D正确； 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线为 B. 若，则 C. 若，则 D. 到距离最小为3 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的定义可判断A选项，由焦半径公式可计算点横坐标，代入抛物线方程可计算纵坐标，从而判断B选项，由点的坐标可计算长，可判断C选项，由点点距公式，结合二次函数的性质可判断D. 【详解】抛物线，则准线方程为：，故A正确； 若，则，故，代入抛物线方程可得：，故，故B错误； 由B选项可知，，则，故C正确； 到的距离为，当时，距离有最小值，故D不正确. 故选：AC 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2025项中能被3整除的有506项 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察分析“斐波那契数列”的特点和性质，探索其规律，依次判断各选项的正确性即可. 【详解】对A：因为，即， 所以， 所以A正确； 对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它们除以3所得的余数为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，可以发现余数是以1，1，2，0，2，2，1，0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数. 又，所以该数列的前2025项中能被3整除的有个.故B正确； 对C： ，故C不正确； 对D：因为 因为，所以.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】算出数列的前五项，找到数列的周期为3，则本题即可解决. 【详解】由，得. 因为，所以，，，，…， 所以是以3为周期的数列，则. 故答案为： 13. 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出经过两点，的直线，再根据点到直线的距离公式得到的关系式，结合，化简求得离心率. 【详解】因为经过两点，的直线的方程为，即. 因为原点到直线的距离为，所以，整理得. 所以，所以． 又，所以． 故答案为：. 14. 北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________. 【答案】42 【解析】 【分析】设各层的小球个数构成数列，则由可得，进而可得，得，进而得. 【详解】由题知，各层的小球个数构成数列， 且， 因为，所以， 故， 由题意，即，解得或（舍去）， 所以，故该垛积的第六层的小球个数为， 故答案为：42 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【小问1详解】 设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． 【小问2详解】 由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且 , 所以圆的方程为 . （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且， 在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, ∴或 为所求方程. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量的坐标，根据垂直关系求出平面的法向量，利用法向量的夹角与两平面夹角的关系求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量的坐标，根据垂直关系求出平面的法向量，利用法向量与平面的夹角和向量与平面夹角的关系求解即可. 【小问1详解】 （1）因为平面，，所以，，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为，，分别是棱，，的中点，，， 则，，，，，，. 所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，则，令，则，所以， 又平面，所以即为平面的一个法向量，. 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）可知，平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以1为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式， （3）在（2）条件下进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为①， 当时可得，即. 当时，② 由①-②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相得，， 即， 则， 故. 【小问3详解】 由（2）知， 所以有， 即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着n增大而减小，所以， 即的取值范围为. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 5. 已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 6. 已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，在，之间插入n个2，构成数列：，则数列前50项的和为（ ） A. 225 B. 235 C. 245 D. 295 8. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 准线为 B. 若，则 C. 若，则 D. 到距离最小为3 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2025项中能被3整除的有506项 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则______. 13. 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为_______． 14. 北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求公差； （2）求，并求的最小值． 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为.求. （3）在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $