精品解析：安徽宣城市泾县中学2026-2027学年高二上学期9月阶段性检测数学试题

泾县中学高二9月阶段性检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第二册第八章至第十章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列情况中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查某产品的市场占有率 B. 调查某地区饮用水的状况 C. 高考考生进入考场前的安检 D. 调查某市市民对中央电视台春节联欢晚会的意见 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查及抽样调查的特征进行逐项分析判断可得. 【详解】全面调查（普查）是对所有调查对象进行调查，它适用于调查范围小、不具有破坏性、且事关重大必须逐一核查的情况. 抽样调查适用于范围广、具有破坏性或不必要全面调查的情况. 选项A：调查产品市场占有率，涉及对象范围极广，全面调查成本极高、可行性差，适合抽样调查； 选项B：调查某地区饮用水状况，逐一检测所有水体不现实，且检测具有一定破坏性，适合抽样调查； 选项C：高考考生安检事关考试公平与考场安全，必须对每一位考生逐一检查，符合全面调查的适用要求； 选项D：调查市民对春晚的意见，涉及的市民数量多、范围广，适合抽样调查. 2. 已知随机事件，互斥，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】先由对立事件的概率关系计算，再利用互斥事件的概率加法公式求结论. 【详解】因为 ， ， 所以. 因为、互斥，， 所以. 3. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 4. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可. 【详解】选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误； 选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若， 则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确； 选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误. 6. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 7. 从编号为，，，，的张卡片中不放回地依次抽出张，每次抽张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从张卡片不放回依次抽2张，考虑抽取顺序， 可能出现的结果有，， ，，， 总结果数为， 满足的有序数对有，共种. 事件“”的概率为 . 8. 一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若取球两次，事件A和事件B相互独立 B. 若取球两次，事件A和事件C相互独立 C. 若取球三次，事件A和事件B相互独立 D. 若取球三次，事件B和事件C相互独立 【答案】C 【解析】 【详解】有放回取次的样本空间共个等可能结果：{红红，红白，白红，白白}， 事件对应{红白，白红}，， 事件对应{红白，白红，白白}，​； 对应{红白，白红}，​， 显然，A错误. 事件对应{红红，红白，白红}，故​； 对应{红白，白红}，， ，B错误； 有放回取次的样本空间共个等可能结果： 事件排除全红、全白种结果，， 事件对应红（全白）、红共种结果，​； 对应红白的种结果，， 恰好满足， 故和相互独立，C正确； 事件对应白（全红）、白共种结果，​； 无对应结果，，显然，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】分别求出平均数、中位数、极差、方差即可判断. 【详解】第一组数据的平均数； 第二组数据的平均数，故A错误； 第一组数据的中位数为，第二组数据的中位数为，故B错误； 第一组数据的极差为，第二组数据的极差为，故C正确； 第一组数据的方差， 第二组数据的方差为，故D正确； 故选：CD 10. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得的周长为7 B. 存在点，使得 C. D. 若点满足，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD． 【详解】延长到，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确； ， ， , ， ，C正确； ，， ，则．即， 所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 13. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据条件列方程求长方体的棱长，再利用减法计算三棱锥的体积. 【详解】设，，， 则，解得：，，即，， . 14. 如图所示，已知一正四面体，P在平面内，点A，B，C均在同侧，A，B，C三点到平面的距离分别是3，3，4，则正四面体的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设在平面上的投影分别为，，利用表示，，，，.，，设的中点为，再证明三点共线，列方程求即可. 【详解】设在平面上的投影分别为， 根据点到平面的距离定义可得，，， 且均垂直于平面. 因为，，所以，设， 则，即，得； 同理可得；； 因为，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，故， 此时平面内的点满足​，， 又， 同理可得投影距离，， 即， 设的中点为，则，，所以三点共线， 因为， ，结合， 可得， 所以， 故， 所以，所以. 所以正四面体的边长是. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 17. 2026年7月，某市将举办足球超级联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障．该市开展了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值和估计这100名候选者面试成绩的分位数； （2）现从第二组和第四组用分层随机抽样的方法选取18人，若选取的第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为61和45，选取的第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为79和55，请据此估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．（结果精确到0.1） 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再利用66%分位数的定义求解. （2）利用分层抽样的平均数、方差公式计算即得. 【小问1详解】 因为， 所以； 因为， 所以面试成绩的分位数位于第三组， 故面试成绩的分位数为. 【小问2详解】 因为第二组和第四组人数比为， 所以第二组和第四组所有面试者的成绩的平均数为， 方差为 18. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接， 故， ∵是的中点， ∴， 又，故四边形为平行四边形， ∴， ， ∴， ∴四点共面， 平面，平面， ∴， ∵为的中点， ∴，故， ， ∴≌， ∴， 故， ， 平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而四点共面，根据平面，得到，证明三角形全等得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，可得，， 设平面的法向量为，由， 有，取，则， 可得平面的一个法向量为， 又由，有， 又， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数先证，记，连接，再证平面，得，由线线垂直即可推得线面垂直； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得；② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泾县中学高二9月阶段性检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第二册第八章至第十章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列情况中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查某产品的市场占有率 B. 调查某地区饮用水的状况 C. 高考考生进入考场前的安检 D. 调查某市市民对中央电视台春节联欢晚会的意见 2. 已知随机事件，互斥，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.8 3. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 从编号为，，，，的张卡片中不放回地依次抽出张，每次抽张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若取球两次，事件A和事件B相互独立 B. 若取球两次，事件A和事件C相互独立 C. 若取球三次，事件A和事件B相互独立 D. 若取球三次，事件B和事件C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同 10. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得的周长为7 B. 存在点，使得 C. D. 若点满足，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 13. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 14. 如图所示，已知一正四面体，P在平面内，点A，B，C均在同侧，A，B，C三点到平面的距离分别是3，3，4，则正四面体的边长是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 17. 2026年7月，某市将举办足球超级联赛，其中志愿者的服务工作是联赛举办的重要保障．该市开展了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值和估计这100名候选者面试成绩的分位数； （2）现从第二组和第四组用分层随机抽样的方法选取18人，若选取的第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为61和45，选取的第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为79和55，请据此估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．（结果精确到0.1） 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 18. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $