精品解析：山东青岛市第三十九中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

青岛三十九中2026-2027学年度第一学期学情调研 数学学科试题 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若是一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入进行计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：使一元二次方程两边相等的未知数的值．据此解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 2. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解． 【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75， 当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 3. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，按给定的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算即可得到x的值． 【详解】∵长度为2，3，，6的四条线段是成比例， ∴， 由比例的基本性质可得，即， 解得． 4. 在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 6. 如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定． 【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意； ②， 在中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意； ③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意； 综上，其中正确的是②③． 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 8. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 一元二次方程的解是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 解得． 10. 如果，，那么___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用比例的性质，计算即可． 【详解】解：， ， ． 11. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可得方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先从统计图中提取2月份的产量和4月份的产量，确定增长的起始量和最终量．因为从2月到4月经过了2次增长，所以可使用增长率问题的基本公式：初始量×(1+月增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长次数。将提取的2月产量、4月产量以及增长次数代入上述公式，即可列出对应的方程． 【详解】从折线图中提取对应月份的产量：2月份的电池产量为180万节，4月份的电池产量为461万节． 根据平均月增长率的规律：若初始基数为，平均增长率为，经过2次增长后，最终数值为． 从2月到4月间隔2个月，也就是经过2次增长， ∴代入数据可得方程：． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2028 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系可得， ∴． 13. 方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形面积公式． 根据菱形的性质和勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 14. 如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 15. 如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 16. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上，．若，且，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得到，证明得到，据此求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）． 17. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到，得到四边形是平行四边形，从而得出答案． 【详解】解：连接，设交点为， ，点是边的中点， ， 根据折叠可知， ，， ， ， 由折叠可知， ， ， 由折叠可知， ， 四边形是菱形， ，， 为中点， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 18. 如图，在正方形中，O是对角线与的交点，是边上的动点（点M不与B，C重合），，与交于点N，连接，；下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是．其中正确的说法有___________（只填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】证明，则可证明，故①正确；由全等三角形的性质得到，结合正方形的性质可证明，则可推出，进而可证明，故②正确；可证明，故③正确；证明，结合勾股定理可证明④正确；可证明当时，有最小值，即此时有最小值，据此可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，故②正确； ③在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∴， ∴，故③正确； ④由正方形的性质可得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴此时， ∴的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤． 三、尺规作图 19. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段和，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】 四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线的作法，作角等于已知角，作矩形，掌握基本尺规作图的作法及矩形的判定定理是解题的关键．任意作射线，再作，然后作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点，连接，，，，则四边形即为所求． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 任意作射线，再作； 作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点； 连接，，，，则四边形即为所求． ，， 四边形是矩形，且两对角线的夹角为，满足所求作的． 四、解答题 20. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（自选） 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 则， 解得，； 【小问3详解】 解：整理得， 因式分解得，即， 则或， 解得，． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围： （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此求解即可； （2）根据等腰三角形的定义可得，再根据判别式求出m的值，进而解方程求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 【小问2详解】 解：∵等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴原方程有两个相等的实数根， ∴且， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴该等腰三角形的周长为． 22. 如图，在平行四边形中，，分别是和的中点． （1）求证： ； （2）判定四边形的形状并证明； （3）给补充一个条件___________，使得四边形是正方形．（直接写答案，不需要证明） 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵分别是和的中点， ∴， ∴． （2）四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，再根据题意可得，最后根据求解即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据等腰三角形的性质得到，求得，由（2）知，四边形是菱形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时四边形是正方形， 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 23. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____． 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）2，1 （2）① ②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【解析】 【分析】（1）利用配方法，将二次三项式配成完全平方式，根据平方的非负性求最小值； （2）①先表示出矩形平行于墙的边长，再根据矩形面积长宽列出代数式； ②对面积的代数式配方，利用完全平方式的非负性求最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，代数式有最小值为． 【小问2详解】 解：①设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ， ， ∴当时，代数式有最大值200， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 24. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？若能，求出此时每盒的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）解：该商场每天所获得的利润不能达到3400元，理由如下： 设每盒月饼降价y元， 由题意得， 整理得， ∴， ∴原方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到3400元． 【解析】 【分析】（1）设每盒月饼降价x元，根据题意列出方程求解即可； （2）每盒月饼降价y元，根据题意列出方程，验证方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：设每盒月饼降价x元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∴或 答：当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； 【小问2详解】 略 25. 已知：如图，在中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为，作，，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）用表示___________，___________； （2）当为___________s时，点运动到线段的垂直平分线上； （3）四边形是菱形时，求的值； （4）当为何值时，点在边上？请说明理由． 【答案】（1），  （2） （3）2 （4）当时，点在边上．理由： 由（1）知，，， 由（3）知，四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴当G在上时，， ∴​， ∵，由（1）知，， ∴， 解得． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据、求出的长度，得到的总长；根据两点的运动速度，直接写出的表达式，结合的长度推导的表达式． （2）设交于点H，若点在的垂直平分线上，那么．可得，由平行线分线段性质得，可得． （3）根据、判断四边形是平行四边形，若，四边形是为菱形，结合，列方程求解． （4）由（1）知，，，由（3）知，四边形是平行四边形，所以， 当G在上时，，得​，代入计算得． 【小问1详解】 解：∵点F速度为，运动时间为t， ∴； ∵在中，，，， ∴由勾股定理得； 又，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴。 ∵点E从C向B运动，速度， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设交于点H， ∵点运动到线段的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解： ∵、， ∴四边形是平行四边形． 当时，它是菱形． ∵，， ∴ ， 解得． 【小问4详解】 当时，点在边上．理由： 由（1）知，，， 由（3）知，四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴当G在上时，， ∴​， ∵，由（1）知，， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛三十九中2026-2027学年度第一学期学情调研 数学学科试题 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若是一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 3. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 4. 在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 6. 如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①③ 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 一元二次方程的解是___________ 10. 如果，，那么___________． 11. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可得方程为___________． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 13. 方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 14. 如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 15. 如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________． 16. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上，．若，且，则的长为___________． 17. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的长为___________． 18. 如图，在正方形中，O是对角线与的交点，是边上的动点（点M不与B，C重合），，与交于点N，连接，；下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是．其中正确的说法有___________（只填序号）． 三、尺规作图 19. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段和，求作：矩形，使对角线，两条对角线、的夹角为．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 四、解答题 20. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（自选） 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围： （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 22. 如图，在平行四边形中，，分别是和的中点． （1）求证： ； （2）判定四边形的形状并证明； （3）给补充一个条件___________，使得四边形是正方形．（直接写答案，不需要证明） 23. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____． 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 24. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？若能，求出此时每盒的售价；若不能，请说明理由． 25. 已知：如图，在中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为，作，，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）用表示___________，___________； （2）当为___________s时，点运动到线段的垂直平分线上； （3）四边形是菱形时，求的值； （4）当为何值时，点在边上？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $