13.3.1三角形的内角 直角三角形的性质和判定（第2课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.3.1　三角形的内角（第2课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.3.1　三角形的内角（第2课时）——直角三角形的性质和判定 教材分析 上一课时把“三角形三个内角的和等于180°”这条定理立住了。这节课要办的事很具体：把内角和这条定理拿到直角三角形上试一试，会挤出一个什么结果。 一算就出来了：直角三角形里有一个角是90°，剩下两个角加起来只能是90°，也就是“两锐角互余”。这么看，这条性质不用另找证据，它是内角和定理的直接产物。教材的用意正在这里——让学生看见新结论是从旧定理里“长”出来的，不是又冒出来一条要背的东西。 更有价值的是反过来问一句：要是两个角加起来是90°，那第三个角是多少？自然是90°。于是就有了判定定理。性质与判定，一来一去，刚好互为逆命题。这种“正着说反着说”的成对结构，孩子这是第一次比较清楚地碰到，值得多花几分钟讲透。 这一节往后连着勾股定理、直角三角形的全等判定、解直角三角形，往前连着内角和定理。它像一根中轴，两头都接得上。 学情分析 咱们班学生刚学完内角和定理，用起来还算顺手，直接算角度的题问题不大。但这节课的难点不在算，在两处“想不通”。 第一处是“性质”和“判定”分不清。孩子看两句话都觉得“差不多”，问你“这俩不是一回事吗”，说明他还没建立起“条件与结论互换”的观念。这个不掰开讲，后面学平行线的性质与判定还会再栽一次。 第二处是遇到高线时的分类讨论。三角形的高有时候落在图形内部，有时候落在图形外面的延长线上，很多孩子画图的习惯就是“往里头画”，一旦高跑到外面就画不出来，题目自然做不下去。变式训练第1题专门设了这个坎。 所以这节课我的安排是：性质用“算一算、找规律”的方式引入，让结论自己冒出来；判定用“反过来想一想”的方式推动，让学生自己说清区别；分类讨论放到变式训练，先画图再动笔。 教学目标 1．能说出并写出“直角三角形两锐角互余”，会用它的符号语言进行说理；能说出并写出“有两个角互余的三角形是直角三角形”，会用它判断一个三角形是不是直角三角形。 2．经历“算几个具体的角—发现规律—给出证明—反过来提出新命题—再证明”的完整过程，体会命题与其逆命题之间的关系，感受演绎推理的力量。 3．在分类讨论中养成“先画图、再动笔”的习惯，在严谨的推理中体会到“说话要有依据”的踏实感。 教学重点 1．直角三角形两锐角互余的性质及其应用； 2．有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及其应用。 教学难点 1．含高的复杂图形中，角度关系的转化与分析； 2．分类讨论思想在求角度时的规范运用。 教学准备 多媒体课件；三角板、量角器；每生一张印有两个备用图形（高在内部的、高在外部的）的练习纸。 教学过程 教师活动 学生活动 【导入新课　课前练习】 上课先做两道小题，不讲解，让他们自己算。 ①一个三角形，三个内角的度数比是 2∶5∶3，求这个三角形的三个内角。（答：36°、54°、90°） ②在 △ABC 中，∠A=4∠B，∠C 比 ∠A 大 18°，求这个三角形的三个内角。（答：72°、18°、90°） 两道题算完，我什么都不说，先看他们的表情。果然有孩子小声嘀咕：“怎么都是90°？”这时候我才开口：“两道题数据完全不一样，算出来却都带着一个90°。这是巧合，还是里头有规律？” 【设计意图】不讲“今天学直角三角形”，而是让他们先算出两个90°来。由“自己的计算”引出疑问，比我直接说“今天学直角三角形的性质”有力得多。 独立计算两道小题，写出三个内角。 发现两道题的结果里都有一个90°的角，而且另外两个角加起来正好都是90°。 带着“这是不是巧合”的疑问进入新课。 【新知探究　直角三角形的性质】 顺着刚才的发现往下推，我连问三个问题。 问1：“这两道题算出来的都是什么三角形？”答：直角三角形。 问2：“这两个直角三角形里，两个锐角之间是什么数量关系？”答：两个锐角加起来是90°，也就是互余。 问3：“是不是所有的直角三角形都这样？”这一问没有数据可算，得靠讲道理。 我把话头引到内角和定理上：“说理得找依据。咱们手上最管用的一条，就是内角和等于180°。用它能不能说清这件事？” 让他们自己先在纸上写。写完我请一位同学上来板书，再带着全班把证明过程理一遍。 已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。 证明：在 Rt△ABC 中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°。 证明只有两步，但这两步是“从一般到特殊”的一次小小的示范：内角和定理对任何三角形都成立，我把它用在直角三角形这一个特殊情形上，就得到了新结论。 最后把符号语言写规范，并要求他们抄到笔记本上： ∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【设计意图】这条性质结论简单，价值全在“它是怎么来的”。让孩子自己动笔证一遍，他们才明白这不是老师规定的，而是内角和定理的必然结果。以后碰到类似的“新结论”，也会先想着去找依据。 观察计算结果，尝试作答三个问题。 在练习本上试着写出证明过程。 一位同学上前板书，其余同学对照检查自己的书写。 同桌互相批改几何语言，看条件写全了没有。 【新知应用　性质的应用】 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，另一个锐角度数是 30°。 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=3∠B，则 ∠A=67.5°。 3．如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若 ∠BOD=38°，则 ∠A=52°。 4．如图，把一张直角三角形纸片剪去直角后得到一个四边形，则 ∠1+∠2=270°。 5．如图，AB∥CD，EF 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，EP⊥EF，与 ∠EFD 的平分线 FP 相交于点 P，且 ∠BEP=50°，则 ∠EPF=70°。 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，BE 平分 ∠ABC 交 AC 边于点 E。若 ∠ABE=25°，则 ∠DAC=40°。 这六道题里有三道（第3、5、6题）都要在复杂图形里找角。我提示他们一个习惯：先在图上把能标的角度都标出来，标完再看还差哪个。多标一次，少想半天。 第4题问的是四边形，学生容易忘了内角和这回事。提醒一句：“剪去直角后，剩下的是四边形，它的内角和是多少？”360° 一出来，这道题就成了减法。 【设计意图】六道题难度是往上走的：前两题直接套结论，中间两题要先算再套，最后两题要在复杂图形里找关系。题量不大，但要保证每道题都有孩子能讲出思路。 独立完成基础题，巩固性质。 做第3、5、6题时，先在图上把已知的角度标出来，再找未知角。 第4题注意四边形内角和是360°。 【新知再探　直角三角形的判定】 性质讲完，我不急着往下走，而是把刚才那句话倒过来念一遍：“如果一个三角形是直角三角形，那么它有两个角互余。反过来，如果有两个角互余，这个三角形是不是直角三角形？” 教室里通常会安静两秒。然后有孩子说“应该是吧”。我追问一句：“‘应该是吧’不算数，得说清理由。” 让他们自己动手：画一个一般的 △ABC，设 ∠A+∠B=90°，问 ∠C 是多少。 已知：在 △ABC 中，∠A+∠B=90°。求证：△ABC 是直角三角形。 证明：在 △ABC 中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°， ∴∠C=90°，即 △ABC 是直角三角形。 证明完，我领着他们一起把两句话并排写在黑板上： 性质——直角三角形两锐角互余； 判定——有两个角互余的三角形是直角三角形。 然后问一个关键问题：“这两句话，条件和结论是不是正好换了个位置？”孩子一看，确实如此。这就叫互为逆命题。我再补一句：以后学平行线，还会有“平行线的性质”和“平行线的判定”这样成对出现的内容，认准“谁在前、谁在后”，就不会用混。 判定的符号语言也一并规范： ∵在 △ABC 中，∠A+∠B=90°， ∴△ABC 是直角三角形。 【设计意图】性质与判定的区别，靠讲定义讲不清，得让孩子亲眼看这两句话是怎么“倒过来”的。并排写、来回看，比多讲十分钟管用。 听清“反过来”这个问题，先猜想再找理由。 小组讨论，尝试自己写出逆命题的证明过程。 对照黑板上的两句话，说出性质与判定的区别在哪里。 把判定的符号语言抄进笔记本。 【针对训练　判定的应用】 1．已知在 △ABC 中，∠A=45°+α，∠B=45°−α，则 △ABC 的形状是（　B　）。 A．等腰三角形　　B．直角三角形　　C．等腰直角三角形　　D．等边三角形 这道题只要把 ∠A+∠B 加一下，α 正好抵消，得 90°，判定立刻可用。 2．下列条件中，能确定 △ABC 是直角三角形的有（　C　）。 ①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°−∠B；④3∠A=2∠B=∠C。 A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 答案是 3 个，①②③ 都成立，④不成立。第④条要单独算一遍：设 ∠A=x，则 ∠B=1.5x，∠C=3x，加起来 5.5x=180°，得到 32.7° 左右，不成立，所以排除。 3．如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A=∠C，△ABD 是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD 是直角三角形。理由如下： ∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°。 ∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°。 ∴△ABD 是直角三角形。 这道题给了一个很好的示范：要证明“有两个角互余”，办法就是找一个角的“替身”——先用直角三角形把 ∠C+∠D=90° 这个关系挖出来，再把 ∠A 换成 ∠C，凑出 ∠A+∠D=90°。 【设计意图】第1、2题练“判断”，第3题练“证明”。孩子能从第3题里学到“等量代换”这个动作，这比多做两道小题划算。 第1题先算 ∠A+∠B，再选答案。 第2题逐条检验，第④条动手算一算再下结论。 第3题独立写出证明，注意等量代换那一步不能省。 【典例分析】 例1　已知点 D 是 △ABC 的边 BC 的延长线上一点，DF⊥AB 于点 F，交 AC 于点 E，∠A=35°，∠D=40°，求 ∠ACD 的度数。 解：∵DF⊥AB，∴∠AFD=90°。 在 △AEF 与 △DEC 中， ∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∠D+∠DEC+∠ECD=180°，且 ∠AEF=∠DEC， ∴∠A+∠AFE=∠D+∠ECD。 ∴∠ACD=90°+35°−40°=85°。 这道题图形有点绕，孩子第一眼不知道从哪儿下手。我给一个入手动作：先在图上找出直角三角形 DFB，把 ∠AFD=90° 标上；再盯住 △AEF 和 △DEC 这一对“对顶角三角形”，它们顶上的那个角相等。把这两件事写出来，式子自己就排好了。 答案 85° 也可以换个走法：先在 △AEF 里算出 ∠AEF=55°，它就是 ∠DEC 的对顶角，也是 55°；再在 △DEC 里用内角和算出 ∠ECD=85°，也就是 ∠ACD。两种写法都对，让他们做的时候挑一种写顺手的。 例2　如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，BE 平分 ∠ABC，分别交 CD、AC 于点 F、E。 (1) 若 ∠CEF=62°，求 ∠A 的度数；(2) 证明：∠CFE=∠CEF。 解 (1)：∵∠CEF=62°，∠ACB=90°，∴∠CBE=28°。 ∵BE 平分 ∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°。 ∴∠A=90°−∠ABC=34°。 证明 (2)：∵∠ACB=90°，∴∠CEF+∠CBE=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠DFB=90°。 又∵BE 平分 ∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CEF=∠DFB。 ∵∠DFB=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF。 这道题的图上有两个直角三角形，一个在右下（△BCE），一个在右上（△BFD）。孩子看不出来，是因为他们把整个图当成一团。我教他们一个动作：用手指把其中一个直角三角形“框”出来，只看这一块里的两个锐角，先写出“这两角和是90°”，再看另一块，重复一次，然后拿平分线把两边对上。 第 (2) 问的证明，说到底是“同一个 90° 减去两个相等的角，差还是相等的”。话说明白了，步骤自然就出来了。 【设计意图】例1练“在对顶三角形里转一圈”，例2练“从复杂图形里分离出基本图形”。这两个动作，往后学全等、学相似都会再用到。 例1先在图上标出 ∠AFD=90°，再找 ∠AEF 与 ∠DEC 的对顶关系。 试着用第二种走法把例1再做一遍，比较哪种更顺手。 例2用手指分别框出两个直角三角形，各自写出两锐角互余的关系。 跟随老师的思路，学会在复杂图形中分离基本图形。 【变式训练】 1．在 △ABC 中，AD 为边 BC 上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，求 ∠BAC 的度数。 解：如图1，当 △ABC 为锐角三角形时， ∵AD 为边 BC 上的高，∴∠ADC=90°， ∴∠C=90°−∠CAD=90°−20°=70°， ∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−30°−70°=80°。 如图2，当 △ABC 为钝角三角形时， ∵AD 为边 BC 上的高，∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°， ∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°。 综上，∠BAC 的度数是 40° 或 80°。 这道题是本节的“压轴小关”。题里只说“AD 为 BC 边上的高”，没说三角形是什么形状，所以高可能落在内部，也可能落在外部。动笔前先在草稿纸上把两种图形都画出来，画完再算，答案自然就是两个。 我会在黑板上把两张图并排画好，让学生自己发现：两幅图里 AD 的位置不一样，所以 ∠BAC 与 ∠BAD 的关系也不一样——一张图里是相加，另一张图里是相减。这是本题的“分水岭”。 2．问题情景：如图1，将一块直角三角板 PMN 放置在 △ABC 上（点 P 在 △ABC 内部），使三角板 PMN 的两条直角边 PM、PN 恰好分别经过点 B 和点 C。试问 ∠ABP 与 ∠ACP 是否存在某种确定的数量关系？ (1) 特殊探究：若 ∠A=50°，则 ∠ABC+∠ACB=130°；又 ∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP+∠ACP=40°。 (2) 类比探究：请探究 ∠ABP+∠ACP 与 ∠A 的数量关系，并说明理由。 解 (2)：∠ABP+∠ACP=90°−∠A。 理由：∵在 △ABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A+(∠ABP+∠PBC)+(∠ACP+∠PCB)=180°。 在 △PBC 中，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∠P=90°， ∴∠PBC+∠PCB=90°。 ∴∠A+(∠ABP+∠ACP)+90°=180°， ∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A。 (3) 类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置，使点 P 在 △ABC 外部，两条直角边 PM、PN 仍然分别经过点 B 和点 C，求 ∠ABP、∠ACP、∠A 的关系，并说明理由。 解：结论是 ∠ACP−∠ABP=90°−∠A。 理由是：设 AB 交 PC 于点 O， ∵∠AOC=∠POB， ∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO， 即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP， ∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A。 第 (2) 问的做法说穿了很简单：把 ∠ABC 拆成 ∠ABP+∠PBC 两部分，把 ∠ACB 拆成 ∠ACP+∠PCB 两部分，拆完以后，△PBC 里那两个角和是 90°，一减就出来了。这个“拆角”的动作是本问的关键，要让孩子自己动手拆一次。 第 (3) 问把点 P 挪到三角形外面，看着变化很大，其实还是同一套办法——拆角、找对顶角、凑等式。能跟上这一问的学生，说明他不只是在背结论，而是在用方法。 【设计意图】第1题练分类讨论，第2题练拆角与类比。两题都不容易，量不要求全做完，学得快的学生争取跟到第 (3) 问。 第1题先在草稿纸上把两种图形画出来，再动笔算。 第2题的第 (2) 问试着自己把 ∠ABC、∠ACB 拆开。 第 (3) 问跟着老师找对顶角，理解“位置变了、办法没变”。 课堂练习 1．如图，把一块含 60° 角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上。若 ∠1=12°，则 ∠2 的度数是 18°。 2．如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，将三角形纸片 ABC 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处。若 ∠A=25°，则 ∠EDC=70°。 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高。若 ∠B−∠A=10°，则 ∠ACD 的度数是 50°。 4．如图，把一张 Rt△ABC 纸片沿 DE 折叠，若 ∠1=70°，∠C=90°，则 ∠2 的度数为 50°。 5．将一副直角三角板如图放置，已知 ∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则 ∠BND=105°。 6．如图，AB∥DE，ED 垂直于 BD，垂足是点 D，且 ∠BAC=∠DCE。求证：△ACE 是直角三角形。 证明：∵ED⊥BD，∴∠CDE=90°，∴∠CED+∠DCE=90°。 ∵∠BAC=∠DCE，∴∠CED+∠BAC=90°。 ∵AB∥DE，∴∠BAC+∠CAE+∠DEC+∠AEC=180°， ∴∠CAE+∠AEC=90°，∴△ACE 是直角三角形。 7．如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，BF⊥AC 于点 F。若 ∠C=70°，∠ABF=30°，求 ∠ADC 的度数。 解：∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°。 ∵∠C=70°，∴∠CBF=90°−70°=20°。 ∵∠ABF=30°，∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=50°， ∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−50°−70°=60°。 ∵AD 平分 ∠BAC，∴， ∴∠ADC=180°−∠CAD−∠C=180°−30°−70°=80°。 板书设计 13.3.1.2　直角三角形的性质和判定 一、性质　　　　　　　　　　　　二、判定 直角三角形两锐角互余　　　　　　有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：　　　　　　　　　　　几何语言： 　∵Rt△ABC 中，∠C=90°　　　　　∵∠A+∠B=90° 　∴∠A+∠B=90°　　　　　　　　　 ∴△ABC 是直角三角形 （性质与判定互为逆命题：条件与结论互换位置） 三、例题：例1　　例2（含高线的角度转化；复杂图形中分离基本图形） 课堂小结 这节课收尾，我用一个问题带过去：“今天只学了两句话，这两句话是什么关系？”让学生自己答出“互为逆命题”。 接着在黑板上把两句话上下并排写好，中间画一个“⇄”的箭头，把“性质”和“判定”四个字分别标在两边。这样一看，学生就知道什么时候用哪一句。 再叮嘱两件小事：一是遇到高线，先想一想它可能落在哪儿，别默认它在里面；二是复杂图形别整体盯着看，先用手指框出一块基本图形再说。 这两条都不是新知识，是关于“怎么下手”的经验。这节课的题目难在图形，不难在结论。 作业布置 必做：教材 P14 练习 1、2；P16 练习 4。 选做：配套同步分层作业中的相关题目。 思考题：把今天学的“性质与判定互为逆命题”这件事，和上节课学的内角和定理放在一起想一想，它们之间还有什么联系？下节课可以交流。 教学反思 这节课最让我满意的是开头那两道课前练习。原本只是想做个复习，没想到学生自己算出来“都有90°”，然后就有了疑问，整节课的注意力从第一分钟就抓起来了。让学生先动笔、再产生疑问，比老师抛问题有效得多，这个做法以后可以多试。 性质与判定的对比也达到了预期。把两句话上下并排写、中间画箭头之后，有几个孩子明显“哦”了一声，那种恍然的表情就是这节课的收获。这个箭头往后讲平行线的性质与判定时还得拿出来。 问题在变式训练的时间。第1题的分类讨论我讲了两种画法，花的时间比自己预估的多；等到第2题的第 (3) 问，下课铃已经响了。我是留在黑板上让他们课后自己想，但这样一轮下来，第 (3) 问基本就废了。下次要么把第2题整体挪到下一节的复习环节，要么把第 (2) 问的“拆角”动作预设得更细一点，让节奏快起来。 还有一处小疏漏：讲例2的时候，我说“同一个90°减去两个相等的角”，有位同学问“那如果这两个角不相等呢”。我当场答了，但答得有点绕。这个追问其实很好，说明他在跟着想。下次备课时应该把这个追问预判进去，准备一句干净的回答。 学科网（北京）股份有限公司 $