13.3.2 三角形的外角（第1课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.3.2　三角形的外角（第1课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.3.2　三角形的外角 教材分析 前两节课把三角形三个内角的关系讲清了。这节课要走到图形的“外面”去——把一条边延长出去，跟相邻那条边就夹出一个新角，这就是三角形的外角。 外角不是凭空多出来的东西。它跟内角是“邻居”——一个外角跟它挨着的那个内角加起来正好是个平角。顺着这层关系往下推，还能推出两条很好用的结论：一个外角等于跟它不相邻的两个内角的和；一个外角比跟它不相邻的任何一个内角都大。这两条一落地，以后求角度就多了一条近道，不用每次都绕回内角和。 这一节还是本章第一次正式出现“推论”这个概念，也是第一次让学生体会到：结论是可以一层一层推出来的，不用每条都从最底下重新证一遍。 往后看，多边形的外角和、平行线的性质与判定、全等证明里的角度转换，都要用到今天这两条结论。它像一把常用的工具，往后每节课都要拿出来用一次。 学情分析 咱们班学生刚学完内角和，用起来挺顺。这节课的知识门槛不算高，但“说清楚”的门槛不低，问题集中在这几处。 一是“不相邻”这三个字容易被跳过。孩子能背出“外角等于两个内角的和”，但一到图上就随便找两个角凑进去，找出相邻的那个来。所以这节课的判断题要多做，让他们在“错在哪”里把这三个字刻进去。 二是写证明的时候接不上茬。他们知道该用平角和内角和，但不知道怎么写“等量代换”那一步，常常写成一句“所以相等”就交卷了。这节课我打算把示范板书做慢一点，让他们看清楚每一步是怎么从上一句里长出来的。 三是图形一复杂就散架。一个外角夹在两个三角形之间，孩子就找不到它到底属于谁了。所以辨析和识图要放在一起练，练到他们能一眼把基本图形“剥”出来。 教学目标 1．能说清三角形外角的定义，会判断一个角是不是三角形的外角；知道一个三角形有 6 个外角，每个顶点处的两个外角互为对顶角；能说出并会用外角的两条主要性质进行角度计算和推理。 2．经历“看图—辨析—度量猜想—推理论证—归纳模型”的过程，学会把外角问题转成内角问题来处理，体会“未知转已知”的化归思路。 3．在合作辨析和规范书写的过程中，养成条理清楚、依据充分的表达习惯，感受几何证明中一环扣一环的逻辑之美。 教学重点 三角形外角的概念及两条性质（外角等于不相邻两内角之和；外角大于任一不相邻的内角）。 教学难点 1．准确理解“不相邻”的含义，能在复杂图形中找对外角与不相邻内角； 2．运用内角和定理和平角定义，规范地推出外角的性质。 教学准备 多媒体课件；三角板、量角器；课堂用视频《初识外角》；每生一张画有多个三角形的练习纸。 教学过程 教师活动 学生活动 【情景导入】 播放课件里的短片《初识外角》。片子用动画的方式把三角形的一条边往外“拉长”，拉长的过程中旁边冒出来一个新角。片子里有一句话说得很带劲：形状能变，外角和内角之间的道理却不会变。 片子放完，我接着这句话问：“新冒出来的这个角，它算不算这个三角形的一部分？它跟我们前几天学的内角之间，到底有什么牵连？” 先把问题挂出来，不做解答，告诉他们：“这节课的任务，就是把这两个问题弄清楚。” 【设计意图】用动画把“边延长出去”这个动作演出来，学生对“外角”这个词就有了画面。“算不算三角形的一部分”这个问题会在后面的定义辨析里再回来，形成呼应。 看短片，观察边被延长后新出现的角。 记住片子里那句话，带着“外角和内角有什么关系”的问题进入新课。 【新知探究（一）　三角形的外角】 先把定义立住：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 定义说完，我不急着举例，而是让全班一起把这句话拆成三个条件，我一个一个写在黑板上： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形中一条边的延长线。 拆完强调一句：这三条得同时满足，缺一条都不算外角。这是后面做判断题的标准。 接着数一数。在图上延长 AC 到 E，问1：以点 C 为顶点，新冒出来的角有哪些？答：∠BCE 和 ∠DCE。 问2：这两个角都是 △ABC 的外角吗？为什么？ 答：∠BCE 是，因为它是边 BC 与边 AC 的延长线组成的角；∠DCE 不是，因为它的两条边都是三角形的边的延长线，不满足“一条边是三角形的一边”这个条件。 问3：以 C 为顶点的 △ABC 的外角有几个？答：两个。 问4：这两个外角 ∠ACD 和 ∠BCE 之间是什么关系？答：它们是对顶角，∠ACD=∠BCE。 问5：你还能画出 △ABC 的其他外角吗？请动手画一画。 画完一起归纳两条：每一个三角形都有 6 个外角；每个顶点处的两个外角互为对顶角，所以一个顶点处的两个外角相等。 【设计意图】“6 个外角”这个数字，很多孩子会错答成 3 个。原因就是他们没意识到一个顶点处有两条边，每条边延长出去都能形成一个外角。动手画一遍，这个数字就不用背了。 把定义拆成三个条件，对照老师在图上指的位置逐一确认。 在草稿本上画一个三角形，把它的所有外角都画出来。 同桌互相检查，看对方画的角符不符合外角的三个条件。 跟着老师归纳出“6 个外角、每个顶点处两个”这两条。 【针对训练（一）　辨析外角】 1．下图中的 ∠1 是三角形一个外角的是（　D　）。 2．如图，下列说法错误的是（　C　）。 A．∠ADC 是 △ABD 的一个外角，也是 △ADC 的一个内角 B．∠AEB 是 △AEB 的一个内角，也是 △AEF 的一个内角 C．∠ABF 是 △ABF 的一个内角，也是 △AEF 的一个内角 D．∠C 是 △ABC 的一个内角，也是 △ADC 的一个内角 第2题的错误选项是 C，原因在“也是 △AEF 的一个内角”这半句上——∠ABF 的顶点是 B，而 △AEF 的顶点是 A、E、F，B 根本不在里面。这类题要教孩子一个动作：先把题号里那个三角形的三个顶点圈出来，再看这个角的顶点在不在里面。 【设计意图】两道辨析题把“三个条件”和“属于哪个三角形”这两件事都练到了。孩子做错时，只要把条件拿出来对一对，马上就知道错在哪一步。 第1题逐个对照外角的三个条件，说明排除的理由。 第2题先把每个选项里提到的三角形的顶点圈出来，再判断。 把做错的原因写在题目旁边，随时回看。 【新知探究（二）　外角的性质】 辨析完，回到关系上来，连问两问。 问6：△ABC 的外角 ∠ACD 与它相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？答：两者互补，∠ACD+∠ACB=180°。这一条不用说理，看平角就明白。 问7：外角 ∠ACD 与跟它不相邻的两个内角 ∠A、∠B 有什么关系？ 先让他们估一估、量一量，提出猜想：∠ACD=∠A+∠B。 猜想提出来了，接下来是这节课的重头戏——证明。我把题目写规范： 如图，在 △ABC 中，∠ACD 为 △ABC 的外角。求证：∠ACD=∠A+∠B。 法一（用平角和内角和）： ∵∠ACD+∠ACB=180°，∴∠ACD=180°−∠ACB。 又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=180°−∠ACB。 ∴∠A+∠B=∠ACD。 法二（用平行线）：过点 C 作 CE∥AB。 ∵CE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠A， ∴∠1+∠2=∠A+∠B，即 ∠ACD=∠A+∠B。 两种办法我都写在黑板上，并排着比一比：法一只动算式不动图，干净利落；法二添了一条辅助线，把两个角“搬”到外角里去，看得见。两种都行，让他们挑自己顺手的。 证完归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。这是三角形内角和定理的一个推论。 符号语言要写规范： ∵∠ACD 是 △ABC 的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B。 再把话往下推一步。问8：∠ACD 与 ∠A、∠B 之间，除了相等关系，还有大小关系吗？ 由 ∠ACD=∠A+∠B，而 ∠A、∠B 都是正数，所以 ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 于是又得到一条：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 到这里三条结论齐了，我让全班一起念一遍，并在笔记本上排好： 1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 【设计意图】第 3 条可以看成第 2 条“顺手带出来”的，把它单独列一条，是为了让学生看到结论之间可以层层推进。以后做题时，想快速比较两个角的大小，用这一条最省事。 动手量一量外角与不相邻两内角，提出猜想。 尝试自己写出证明过程，重点体会“等量代换”那一步。 比较两种证法，说说各自方便在哪里。 把三条结论按顺序抄在笔记本上，标出第 2、3 条里“不相邻”三个字。 【针对训练（二）　性质的辨析与运用】 1．判断题： (1) 一个三角形有三个外角（×）； (2) 三角形的每个顶点处都有两个外角（√）； (3) 三角形的一个外角等于两个内角的和（×）； (4) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（√）； (5) 三角形的一个外角大于任何一个内角（×）； (6) 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角（√）。 六句话里错了三句，错的地方全落在“不相邻”三个字上。第 (3)(5) 两句要重点讲：漏掉“不相邻”，结论就不成立。让他们自己举一个反例，比讲道理记得牢。 2．如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AC 上（不与端点重合），连接 BD，则 ∠1、∠2、∠3 的大小关系是（　A　）。 A．∠1<∠2<∠3　　B．∠3<∠1<∠2　　C．∠3<∠2<∠1　　D．∠2<∠1<∠3 3．如图，根据图形回答问题： (1) ∠1=∠DAC+∠ACD； (2) ∠2=∠3+∠4； (3) ∠2>∠3。 这几小题其实就是把外角的两条性质在图上走一遍：第 (1) 问用“等于不相邻两内角之和”，第 (3) 问用“大于不相邻的任一内角”。 4．求下列各图中 ∠α 的度数。做完请自己检查：用的是“互补”还是“等于两内角之和”还是“大于不相邻内角”。 【设计意图】这一组题是“对号入座”的练习。三条性质摆在那里，学生做题时要先想“这道题该用哪一条”，而不是随便抓一条套上去。 第1题独立判断，错的说明错的原因。 第2题先看图上有几个三角形，再比较角的大小。 第3题口头回答并说出依据。 第4题做完互相检查，说清自己用的是哪一条性质。 【典例分析】 例1　如图，△ABC 的角平分线为 AD，若 ∠B=50°，∠C=30°，求 ∠ADB 的度数。 解：在 △ABC 中，∠B=50°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°−50°−30°=100°。 ∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴。 ∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+50°=80°。 这道题最后一步是本节课的重点用法：∠ADB 是 △ADC 的一个外角，直接等于 ∠C 与 ∠CAD 的和，比绕回去用内角和求快得多。讲的时候我会把两个做法都演示一下，让他们自己比较哪一种省事，往后自然会挑近路走。 例2　如图，在 △ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高，H 是 BD 与 CE 的交点，求 ∠BHC 的度数。 解：∵BD 是高，∴∠ABD=90°−∠A=90°−60°=30°。 ∵CE 是高，∴∠CEB=90°。 ∴∠BHC=∠ABD+∠CEB=30°+90°=120°。 这道题的图形里，∠BHC 是 △BEH 的外角，所以等于 ∠ABD 与 ∠CEB 的和。孩子如果看不出这一点，就会陷在一堆直角里绕不出来。提醒一句：先找哪两个角不相邻，再想它是不是外角。 例3　如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)。 ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 归纳一句：三角形的外角和为 360°（三个顶点处各取一个外角）。做法是把每个外角都用两个内角表示，加起来刚好是内角和的两倍。 【设计意图】三道例题各有分工：例1练“用外角抄近路求角”，例2练“在复杂图形里认出外角”，例3练“用内角和推外角和”。三题走完，外角这一块就立住了。 例1试着自己先算一遍，再和老师的方法比对。 例2先把图上的直角标出来，再找 ∠BHC 属于哪个三角形的外角。 例3跟随老师的思路，看三个外角是怎么被换成内角的。 把“三角形的外角和为360°”这条结论记在笔记本上。 【变式训练】 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，△ABC 的外角 ∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E，点 F 为 AC 延长线上的一点，连接 DF。 (1) 求 ∠CBE 的度数；(2) 若 ∠F=20°，求证：BE∥DF。 解 (1)：∵∠ACB=90°，∠A=50°，∠CBD 是 △ABC 的外角， ∴∠CBD=∠ACB+∠A=140°。 ∵BE 平分 ∠CBD，∴。 证明 (2)：∵∠ACB=90°，∴∠BCE=180°−90°=90°。 ∵∠CBE=70°，∴∠CEB=90°−∠CBE=20°。 ∵∠F=20°，∴∠CEB=∠F，∴BE∥DF。 第 (2) 问的证法是“先求出角、再拿角去判平行”，也就是先算后判。很多孩子看到“求证平行”就想直接找同位角或内错角，其实这里得先把 ∠CEB 算出来才行。 2．AB 和 AC 相交于点 A，BO 和 CO 相交于点 O。 (1) 已知 ∠B=10°，∠C=20°，∠BOC=110°，求 ∠A 的度数； (2) 探究 ∠BOC 与 ∠B、∠C、∠A 的关系。 解 (1)：【方法一】延长 BO 交 AC 于点 D。 ∵∠BOC=∠ODC+∠C，∴∠ODC=∠BOC−∠C=90°。 又∵∠ODC=∠A+∠B，∴∠A=∠ODC−∠B=80°。 【方法二】连接 BC。 在 △BOC 中，∠1+∠2=70°。 再由 ∠ABO=10°、∠ACO=20°，求出 ∠ABC+∠ACB=100°， 从而得到 ∠A=180°−100°=80°。 【方法三】连接 AO 并延长至点 D。 ∴∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C， ∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。 再由 ∠BOC=110°、∠B=10°、∠C=20°，得 ∠A=80°。 解 (2)：如图，连接 AO 并延长至点 D。 由外角性质易得 ∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C。 ∵∠BOC=∠BOD+∠COD， ∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。 归纳一下：这就是常说的“燕尾模型”，结论是 ∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。它的证明办法很有代表性——添一条辅助线，把原来的角拆成两个外角分别处理。这个“添线转化”的思路，往后遇到复杂图形时可以反复用。 3．(1) 如图①，在 △ABC 中，BP 平分 ∠ABC，CP 平分 ∠ACB，若 ∠A=80°，则 ∠P=130°。 (2) 如图①，在 △ABC 中，BP 平分 ∠ABC，CP 平分 ∠ACB。请探究 ∠A 与 ∠P 之间的数量关系。 (3) 如图②，BM 平分 ∠ABC，CM 平分外角 ∠ACD。请探究 ∠A 与 ∠M 之间的数量关系。 (4) 如图③，BN 平分外角 ∠EBC，CN 平分外角 ∠FCB。请探究 ∠A 与 ∠N 之间的数量关系。 解 (2)：如图①，∵BP 平分 ∠ABC，CP 平分 ∠ACB， ∴。 ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A， ∴。 解 (3)：如图②，∵BM 平分 ∠ABC，CM 平分外角 ∠ACD， ∴。 ∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCM=∠M+∠CBM， ∴，整理得 ∠A=2∠M。 解 (4)：∵BN 平分外角 ∠EBC，CN 平分外角 ∠FCB， ∴∠CBN=∠EBN=½∠CBE，∠BCN=∠FCN=½∠BCF。 ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A， ∴， ∴，即 。 归纳：这就是三角形角平分线模型。三条结论放一起看很有意思——内角平分线相交得 90°+½∠A，一条内一条外相交得 ½∠A，两条外角平分线相交得 90°−½∠A。让孩子自己把三个式子并排写下来，比单记一条一条强得多。 【设计意图】三道变式题的难度在爬台阶：第1题练“算角判平行”，第2题练“添线转化”，第3题练“模型归纳”。第3题的三个小问有难度，能跟上第 (2) 问就算达标。 第1题独立完成，第 (2) 问注意先把 ∠CEB 算出来再判平行。 第2题至少看懂方法一和方法二，理解“添一条线就把角拆开了”。 第3题先做第 (2) 问，有余力的同学试第 (3)(4) 问。 模仿例题的书写格式，注意几何语言规范。 课堂练习 1．如图，在 △ABC 中，点 D 在 CB 的延长线上，∠A=70°，∠ABD=120°，则 ∠C 等于（　B　）。 A．40°　　B．50°　　C．60°　　D．70° 2．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，F 为 BC 延长线上的一点，若 ∠A=70°，∠ACF=140°，DE∥BF，则 ∠AED=40°。 3．如图，点 D、E 分别在线段 BC、AC 上，连接 AD、BE。若 ∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则 ∠1 的大小为 70°。 4．将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中 ∠COB 的度数是 105°。 5．如图，在 △ABC 中，∠A=30°，∠ACB=80°，△ABC 的外角 ∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E。求 ∠CBE 和 ∠E 的度数。 解：∵在 △ABC 中，∠A=30°，∠ACB=80°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=110°。 ∵BE 是 ∠CBD 的平分线，∴ ∵∠ACB=80°，∴∠E=∠ACB−∠CBE=80°−55°=25°。 6．如图，已知 D 是 △ABC 的边 BC 的延长线上一点，DF 交 AC 于点 E，∠A=35°，∠ACD=83°。 (1) 求 ∠B 的度数；(2) 若 ∠D=42°，求 ∠AFE 的度数。 解 (1)：∵∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠A=35°，∠ACD=83°，∴∠B=∠ACD−∠A=48°。 (2) ∵∠AFE 是 △BDF 的一个外角，∠B=48°，∠D=42°， ∴∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90°。 板书设计 13.3.2　三角形的外角 一、定义　　　　　　　　　　二、性质　　　　　　　　　　三、例题 一边与另一边的延长线组成　　1．∠ACD+∠ACB=180°　　　　例1 （三个条件：顶点、一边、　　2．∠ACD=∠A+∠B　　　　　　例2 　一边的延长线）　　　　　　（等于不相邻两内角之和）　　　例3：三角形外角和为360° 一个三角形有6个外角，　　　3．∠ACD>∠A，∠ACD>∠B 每个顶点处有两个，互为对顶角　（大于任一不相邻的内角） 课堂小结 收尾时我不让他们翻书，先请一位同学用一句话说清“什么是三角形的外角”，注意把三个条件带上；再请一位同学说清“外角有哪三条性质”，注意把“不相邻”三个字带上。 然后我在黑板上画一个三角形，把一边延长出去，问：“这条线为什么一定要延长？”有孩子会说“不延长就没有外角”。这就是这节课最核心的一件事——外角是“借”出来的，借的办法就是延长一边。 最后给一句提醒：这节课的错，十有八九错在漏了“不相邻”三个字。以后只要题目里出现外角，先把跟它相邻的那个角划掉，剩下的才是能用的。 作业布置 必做：教材 P3 练习 1、2；P4 练习 3、4。 选做：思考课件里提到的“三角形外角定理”在五角星角度求和中的应用，试着把一个五角星的五个尖角加起来，看看是多少度。 实践作业：找一张家里或身边的图形照片（比如窗框、地砖拼花），在图上找出一个三角形的外角，量一量它的度数和与它不相邻的两个内角，看看验证结果和今天学的结论对不对得上。 教学反思 这节课最成功的地方是“6 个外角”这个环节。我原本预计要讲三分钟，结果因为让学生自己上手画，花了六分钟，但后续所有涉及“找外角”的题，出错率都很低。手画一遍，比嘴上说十遍强，这个结论今天又一次被验证了。 性质的说理比我预想的顺。法一（用平角和内角和）学生自己就能写出来，法二（添平行线）需要我带一下，但接受得也快。这说明前面内角和那一课把基础打牢了，这节课是顺着往上走，不是另起一摊。 比较遗憾的是判断题那一组。六句话里有三句是错的，学生做完之后教室里很热闹，讨论得很投入，结果时间就这么溜走了。等到例3讲完，变式训练第3题只讲了一个小问。第3题其实很有价值，三个小问并排一放，规律特别明显，下次得想法子把这部分保住——比如把判断题缩到四句，或者干脆把辨析放进前置的预习任务里。 还有一处细节：讲“燕尾模型”的时候，我只顾着带他们添辅助线，忘了在图上把 ∠1、∠2 标清楚。有几位同学后来问“∠1 是哪个角”。下次板书画图的时候，标号这一步不能省，图上的记号要一步到位。 学科网（北京）股份有限公司 $