第2讲·三角形的内角与外角 ·培优讲义 ·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第2讲·三角形的内角与外角·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 第2讲·三角形的内角与外角·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形内角和定理及其应用 · 掌握三角形外角定理（外角等于不相邻两内角和） · 会利用角平分线、高线求角度 · 掌握直角三角形与等腰三角形的角度计算 · 会用辅助线证明角度关系 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内角和 三角形三个内角之和等于180° 直角三角形两锐角互余 已知两角可求第三角 列方程求角：设未知数建立等量关系 概念辨析例题：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C=（　　） 答案：60° 解析：∠C=180°-70°-50°=60°。 ☆ 2.三角形外角与内角的关系 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三个外角的和等于360° 外角定理常用于求角度 概念辨析例题：如图，∠ACD是△ABC的外角，∠A=60°，∠B=50°，则∠ACD=（　　） 答案：110° 解析：外角等于不相邻两内角和，∠ACD=60°+50°=110°。 ☆ 3.角平分线与高线的应用 角平分线平分角，可用设元法 两条角平分线交于一点（内心） 高线构造直角三角形（90°） 平分线与高线结合列方程求角 概念辨析例题：AD平分∠BAC，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAD=（　　） 答案：30° 解析：∠A=180°-50°-70°=60°，∠BAD=×60°=30°。 ☆ 4.直角三角形与等腰三角形 直角三角形：两锐角互余，直角为90° 等腰三角形：两底角相等，顶角=180°-2底角 等腰三角形分类讨论：顶角与底角位置 腰上的高与腰的夹角求顶角 概念辨析例题：等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为（　　） 答案：100° 解析：顶角=180°-2×40°=100°。 ☆ 5.三角板与平行线综合 三角板各角：30°、60°、90°或45°、45°、90° 平行线性质：同位角、内错角、同旁内角 三角板叠放求夹角 综合运用外角定理与平行线性质 概念辨析例题：一副三角板如图摆放，∠1=15°，则∠2=（　　） 答案：60° 解析：由平行线与三角板角度关系求解。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 内角和 ∠A+∠B+∠C=180° 直角两锐角互余 外角 外角=不相邻两内角和 三个外角和360° 角平分线 平分角 交于内心 高线 垂直构造90° 钝角三角形注意外部高 等腰三角形 两底角相等 分类讨论顶角底角 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的内角和（第1-11题） · 内角和180°列方程 · 直角三角形两锐角互余 · 设元法解角度关系 1．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）如图所示，平行线被直线所截，过点作于点，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，延长，交于，根据对顶角相等得到，再依据平行线的性质得到，最后结合垂直定义和三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：延长，交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·天津西青·期末）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理应用，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键．利用三角形内角和为，设为，表示出和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】该题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和定理得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据可得，再利用平角的定义可求得，最后再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、判断命题真假 【分析】此题考查真命题的定义：正确的命题是真命题，根据全等三角形的性质，对顶角的定义，平行线的性质及三角形外角性质分别判断即可． 【详解】解：A.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不是真命题； B.相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，原命题不是真命题； C.两直线平行，内错角相等，是真命题； D.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题不是真命题； 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）中，如果是的3倍，且比大，那么是______三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】 解：设， ∵是的3倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）已知在中： （1）若，则____________，____________，____________，此三角形为____________三角形； （2）若大于，则此三角形为____________三角形． 【答案】 /30度 /60度 /90度 直角 钝角 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形形状的判断，一元一次方程的应用，（1）设，，，根据三角形内角和求出x，即可得出结果；（2）根据题意可判断出即可做出判断． 【详解】解：（1）， 设，，， ， 解得：， ，，， 为直角三角形； 故答案为：，，，直角； （2）当时，可得， 为钝角三角形， 故答案为：钝角． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）求出图形中的值 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和列方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得． 10．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中， (1)如图①，如果，和的平分线相交于点P，那么______； (2)如图②，和的平分线相交于点P，试说明； (3)如图③，和的平分线相交于点P．猜想与的关系并证明． 【答案】(1) (2) 解：∵和的平分线相交于点P， ∴，， ∵，， ∴； (3) 解：猜想：，证明如下： ∵和的平分线相交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，外角性质． （1）根据角平分线定义可得，，再利用三角形内角和定理计算即可； （2）根据角平分线定义可得，，再利用外角性质即可求出； （3）根据角平分线定义及三角形内角和定理机器推论进行证明即可得出本题答案． 【详解】（1）解：∵和的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在中，．求的各内角的度数． 【答案】，， 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理得： ， 解得：， ∴， ． 【考点2】外角与内角的关系（第12-21题） · 外角=不相邻两内角和 · 多个外角累加求角 · 结合平行线性质 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 13．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，， 于点 D，与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答． 【详解】解：，， ，， ． 故选：B． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点A，B在直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角定理可得，根据邻补角的定义可得.本题主要考查了三角形外角定理和邻补角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键. 【详解】解：是的一个外角， ， ， 又， . 故选：C. 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知和的位置如图所示，点C、E、F、B在一条直线上，若，，，则的度数是_______°． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角与垂直的角度计算，解题关键是利用垂直得直角，结合三角形外角等于不相邻两内角和，易错点是角度关系的对应混淆；由得，再利用三角形外角性质求． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵是的外角，且， ∴， 故答案为． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则________． 【答案】/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线，的直角顶点C落在直线b上，若，则_______°． 【答案】40 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求得的度数，利用平行线的性质即可得到；然后再利用等量代换和三角形外角性质求得结论． 【详解】解：∵， ， ∵直线， ， ， ， 故答案为：40． 19．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图①②③，，，，则_____度．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出的度数，再相加即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴图①中 ∴ 图②中，， 图③中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，∵，，    ∴，， ∴． 故答案为：． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的三个外角．求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，，，则可证明，由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的三个外角， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【考点3】角平分线与高线（第22-32题） · 设角平分线角为未知数 · 高线提供90° · 双平分线交点用内角和列式 22．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在中，，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，角平分线的性质， 先利用直角三角形的两锐角互余，求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 23．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高线，是角平分线，，，则______． 【答案】/度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 是边上的高， ， ，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由是的高即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】/40度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 26．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是________．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义以及三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形的外角的性质、推出是解题的关键． 【详解】解：∵与分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，BD平分，，，则图中度数为的角除外还有________． 【答案】， 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 根据三角形的内角和定理可求出，再由平分结合三角形内角和定理，计算其他角的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴图中度数为的角除外还有，． 故答案为：，． 29．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ． 30．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 31．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）①直接根据直角三角形两锐角互余即可解答；②先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、，再根据角平分线的定义求得，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）当点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、或，再根据角平分线的定义求得，进而求得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，设的度数为， ∴； ②：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）解：如图：当点P在线段上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 如图：当点P在线段的延长线上时， ∵在中，，设的度数为， ∴； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 32．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1) 证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； (2) 解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； (3)， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 【考点4】直角三角形与等腰三角形（第33-37题） · 直角三角形两锐角互余 · 等腰两底角相等 · 分类讨论避免漏解 33．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∴， 故选：C． 34．（24-25八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 35．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为________________． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ， ∵点为直线上异于点的一点， ∴当是等腰三角形时，只能或， ①当时，如图所示： ∴； ②当时，点D在点B的左侧时，如图所示： ∴ ， ∵， ∴； 当时，点D在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴； 综上所述的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类讨论． 36．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图， 直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形内角和为． 根据平行线的性质，得，根据，三角形内角和为，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∵且， ∴， ∵在中，， ∴， ． 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【答案】， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】先由三角形高的定义得到，然后对和运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵与是的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【考点5】三角板与平行线综合（第38-42题） · 记住三角板固定角度 · 平行线转化角 · 外角定理求夹角 38．（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 39．（2025·山东临沂·一模）一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果． 【详解】解：如图，由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 40．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则________°． 【答案】75 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质根据三角板的角度以及垂直的定义，即可得出，进而根据三角板的角度以及三角形的外角的性质即可得出． 【详解】解：如图， 解：依题意，， ， 故答案为： 75． 41．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，摆放一副三角尺，则__________． 【答案】75 【知识点】三角板中角度计算问题、求一个角的补角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键． 首先根据补角求出，再根据三角形内角和定理得到，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：75． 42．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为________．    【答案】或或或或或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质， 根据题意分情况讨论，然后利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时，    ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴； 综上所述，的度数为或或或或或． 故答案为：或或或或或． 【考点6】探究与证明综合（第43-52题） · 辅助线：延长、作平行、作高 · 飞镖形、8字形模型 · 从特殊到一般找规律 43．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在第1个中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第2026个三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解： 在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 第2026个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：C． 44．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 45．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 46．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 47．（26-27八年级上·全国·课堂例题）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】 解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】略 48．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接． (1)如图Ⅰ，，，求证：； (2)如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义理解，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质，求出，即可得出答案； （2）根据的度数为m，，求出，，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵的度数为m，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 49．（第24章专项11与圆有关的角、线段的计算和证明）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 【答案】． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，连接，则，又则，然后根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点，在上，为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，E为上一点，过点E作射线，交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，试说明：． 【答案】(1) (2) ∵，， ， ． 【知识点】同旁内角互补两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关性质定理正确推理论证． （1）根据三角形内角和与角平分线的定义列式求解； （2）根据对顶角相等和角平分线的定义以及同旁内角互补两直线平行进行判定． 【详解】（1）解：∵． ， 又 ∵在 中，， ． （2）略 51．（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】 （1）证明：和， ，． ， （2）30°    （3） 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】（1）略 （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 52．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2) 证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． (3)的度数为或或或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）略 （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 内角和180°是求角核心 · 外角=不相邻两内角和 · 角平分线设元列方程 · 高线提供90°直角 · 等腰三角形分类讨论 【作业1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．三角形的外角等于两个内角的和 C．如果两个角相等，那么它们是对顶角 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假,直角三角形的两锐角互余，对顶角的定义，三角形外角的性质等知识内容．根据偶次方的性质即可判断A，根据三角形外角的性质即可判断B，根据对顶角的定义即可判断C，根据直角三角形的性质即可判断D． 【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意； B、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，原命题是假命题，不符合题意； C、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； D、直角三角形的两锐角互余，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）满足下列条件的中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理以及直角三角形的判定条件，熟记三角形的内角和为以及直角三角形的判定条件是有一个角为是解本题的关键． 由三角形内角和为，求得三角形的每一个内角，即根据每一个选项给出的比例关系，从而求解出四个选项中所给的每个三角形的内角度数，最后根据直角三角形进行判断即可． 【详解】A：∵， ∴ ∴ ∴． ∴不是直角三角形，故A选项不符合题意； B：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴不是直角三角形，故B选项不符合题意； C：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是直角三角形，故C选项符合题意； D：∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【作业3】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理．分三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：在等腰三角形中，，顶角为， 当是锐角三角形时，，如图： 根据题意可得，， 在中，； 当是直角三角形时，，此时是等腰直角三角形，底角是，不符合题意； 当是钝角三角形时，如图： 根据题意可得，， 在中，， 故． 综上，顶角为或． 故选：D． 【作业4】．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【作业5】．（24-25七年级上·广西·开学考试）若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是______三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，根据三角形三个内角的比求出每个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，， 则， 解得， 所以，，即三个内角的度数分别为，，， 故这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【作业6】．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，，与交于点，，，则______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由三角形外角性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角为_________． 【答案】47度/ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意画出图形，先求出，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵是上的高， ∴， ， 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，AD和BD分别平分和．若，则的度数为_________． 【答案】90° 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，能够掌握整体代入的思想方法是解决问题的关键． 根据角平分线性质可得=，根据三角形内角和为可得答案； 【详解】解：在中，， ∴， ∵和分别平分和， ∴=， ∴， ∴. 故答案为：. 【作业9】．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是的一条角平分线，则__________．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，先根据三角形的内角和定理计算的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和计算的度数即可．注意：在三角形中求角的度数时常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵是的一条角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 【作业10】．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【作业11】．（21-22八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________． 【答案】/100度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【详解】解：． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【答案】定理 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、定理与证明 【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 【作业13】．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则________ 【答案】55 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键． 根据垂直的定义和余角的定义计算得到，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点在上，点在上，，相交于点． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 【答案】(1) (2) 解：，证明如下： 是的外角， ． 是的外角， ， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质． （1）由，可求得，再由结合三角形的外角性质即可求解； （2）由三角形的外角性质可得， ，从而可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 【作业16】．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 【作业17】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ∴． 【作业18】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】同旁内角互补两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和求出，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 【详解】略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲·三角形的内角与外角·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形内角和定理及其应用 · 掌握三角形外角定理（外角等于不相邻两内角和） · 会利用角平分线、高线求角度 · 掌握直角三角形与等腰三角形的角度计算 · 会用辅助线证明角度关系 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内角和 三角形三个内角之和等于180° 直角三角形两锐角互余 已知两角可求第三角 列方程求角：设未知数建立等量关系 概念辨析例题：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C=（　　） 答案：60° 解析：∠C=180°-70°-50°=60°。 ☆ 2.三角形外角与内角的关系 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三个外角的和等于360° 外角定理常用于求角度 概念辨析例题：如图，∠ACD是△ABC的外角，∠A=60°，∠B=50°，则∠ACD=（　　） 答案：110° 解析：外角等于不相邻两内角和，∠ACD=60°+50°=110°。 ☆ 3.角平分线与高线的应用 角平分线平分角，可用设元法 两条角平分线交于一点（内心） 高线构造直角三角形（90°） 平分线与高线结合列方程求角 概念辨析例题：AD平分∠BAC，∠B=50°，∠C=70°，则∠BAD=（　　） 答案：30° 解析：∠A=180°-50°-70°=60°，∠BAD=×60°=30°。 ☆ 4.直角三角形与等腰三角形 直角三角形：两锐角互余，直角为90° 等腰三角形：两底角相等，顶角=180°-2底角 等腰三角形分类讨论：顶角与底角位置 腰上的高与腰的夹角求顶角 概念辨析例题：等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为（　　） 答案：100° 解析：顶角=180°-2×40°=100°。 ☆ 5.三角板与平行线综合 三角板各角：30°、60°、90°或45°、45°、90° 平行线性质：同位角、内错角、同旁内角 三角板叠放求夹角 综合运用外角定理与平行线性质 概念辨析例题：一副三角板如图摆放，∠1=15°，则∠2=（　　） 答案：60° 解析：由平行线与三角板角度关系求解。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 内角和 ∠A+∠B+∠C=180° 直角两锐角互余 外角 外角=不相邻两内角和 三个外角和360° 角平分线 平分角 交于内心 高线 垂直构造90° 钝角三角形注意外部高 等腰三角形 两底角相等 分类讨论顶角底角 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的内角和（第1-11题） · 内角和180°列方程 · 直角三角形两锐角互余 · 设元法解角度关系 1．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）如图所示，平行线被直线所截，过点作于点，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津西青·期末）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，在的延长线上取点D，过点D作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数一定相等的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）中，如果是的3倍，且比大，那么是______三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 8．（2024七年级下·全国·专题练习）已知在中： （1）若，则____________，____________，____________，此三角形为____________三角形； （2）若大于，则此三角形为____________三角形． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）求出图形中的值 10．（23-24八年级上·天津津南·期中）在中， (1)如图①，如果，和的平分线相交于点P，那么______； (2)如图②，和的平分线相交于点P，试说明； (3)如图③，和的平分线相交于点P．猜想与的关系并证明． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在中，．求的各内角的度数． 【考点2】外角与内角的关系（第12-21题） · 外角=不相邻两内角和 · 多个外角累加求角 · 结合平行线性质 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，， 于点 D，与相等的角是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点A，B在直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知和的位置如图所示，点C、E、F、B在一条直线上，若，，，则的度数是_______°． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 17．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则________． 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线，的直角顶点C落在直线b上，若，则_______°． 19．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图①②③，，，，则_____度．    20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的三个外角．求的度数． 【考点3】角平分线与高线（第22-32题） · 设角平分线角为未知数 · 高线提供90° · 双平分线交点用内角和列式 22．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）在中，，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高线，是角平分线，，，则______． 24．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 25．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 26．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是________．    27．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，BD平分，，，则图中度数为的角除外还有________． 29．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 30．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 31．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为． (1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点． ①_____；（用含的代数式表示） ②当时，求的度数； (2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示） 32．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【考点4】直角三角形与等腰三角形（第33-37题） · 直角三角形两锐角互余 · 等腰两底角相等 · 分类讨论避免漏解 33．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为________________． 36．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图， 直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【考点5】三角板与平行线综合（第38-42题） · 记住三角板固定角度 · 平行线转化角 · 外角定理求夹角 38．（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·山东临沂·一模）一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级上·吉林·阶段检测）将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则________°． 41．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，摆放一副三角尺，则__________． 42．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，点D，B，A在同一直线上（，，，），若将含的三角尺绕顶点A顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的的度数为________．    【考点6】探究与证明综合（第43-52题） · 辅助线：延长、作平行、作高 · 飞镖形、8字形模型 · 从特殊到一般找规律 43．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在第1个中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第2026个三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 45．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 46．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．    47．（26-27八年级上·全国·课堂例题）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 48．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接． (1)如图Ⅰ，，，求证：； (2)如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示） 49．（第24章专项11与圆有关的角、线段的计算和证明）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 50．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，E为上一点，过点E作射线，交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，试说明：． 51．（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 52．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 内角和180°是求角核心 · 外角=不相邻两内角和 · 角平分线设元列方程 · 高线提供90°直角 · 等腰三角形分类讨论 【作业1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．三角形的外角等于两个内角的和 C．如果两个角相等，那么它们是对顶角 D．直角三角形的两锐角互余 【作业2】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）满足下列条件的中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（   ） A．或 B． C． D．或 【作业4】．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业5】．（24-25七年级上·广西·开学考试）若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是______三角形． 【作业6】．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，，与交于点，，，则______． 【作业7】．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的顶角为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角为_________． 【作业8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，AD和BD分别平分和．若，则的度数为_________． 【作业9】．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是的一条角平分线，则__________．    【作业10】．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【作业11】．（21-22八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【作业13】．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则________ 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【作业15】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点在上，点在上，，相交于点． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 【作业16】．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【作业17】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【作业18】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $