13.1三角形的概念（第1课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.1　三角形的概念（第1课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.1　三角形的概念（第1课时） 教材分析 这一节是第十三章的开篇。学生从小学到七年级，见过、画过、量过三角形，手里其实已经攒了不少“三角形的经验”，缺的是把这些零散经验收拢成一句站得住脚的数学语言。所以这节课的落点不在“认”，而在“定”：用一个严密定义把三角形的样子框住，再给它一套通用的记号，最后按不同标准把它分家。 从整章看，这一节是后面所有内容的“地基”。三边关系、高、中线、角平分线、内角和外角、全等、等腰三角形的性质，开口第一句话都要用到“△ABC的边AB”这类说法。记号一旦立不住，后面每一节课都要回头补课。 还有一个容易被忽略的点：这一节是全章第一次让学生体会有“限定词”的定义。 “不在同一条直线上”“首尾顺次相接”这两句去掉任何一句，定义就会漏水。让学生亲手把漏水的地方补上，比老师念三遍定义都有效。 学情分析 咱们班的孩子对三角形并不陌生，问题出在三个地方。 一是“说得出来，说得不准”。让他们举例，张口就是“三条边围起来的就是三角形”，可你把三条线段摆成两两交叉的样子，他们也会点头。说明脑子里装的是“三角形的样子”，不是“三角形的条件”。 二是“认得图形，不认得符号”。小学六年习惯了用文字描述图形，突然要求写△ABC、写边c，第一反应是别扭。少数孩子还会把顶点字母的顺序当成随便写，写成“△ACB”却觉得老师挑刺。 三是“分得清单个，理不清包含”。问“等边三角形是不是等腰三角形”，多半会犹豫。这是分类观念的问题——还没建立起“按某个标准分，可以越分越细”的意识。 基于这些，这节课我不准备从定义讲起，而是先让他们画、先说、先出错，把问题暴露出来再收口。 教学目标 1．能准确说出三角形的定义，能判断一个图形是不是三角形并说明理由；会用符号表示一个三角形，能指出它的三条边、三个顶点和三个内角，会说出某条边所对的内角。 2．经历“观察图形—归纳共性—修改表述—形成定义”的过程，学会把口头描述逐步改写成规范的几何语言；在给三角形分类的过程中，体会“标准不同、分法不同”，理解等边三角形是特殊的等腰三角形。 3．在动手画图、举例分类的活动中感受三角形与生活的联系，愿意用规范的符号和严谨的话去描述图形，逐步养成“有依据才下结论”的习惯。 教学重点 三角形的定义、三条边与三个内角的对应关系，以及用符号表示三角形。 教学难点 体会定义中“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”两个条件的必要性；理解按边分类时等边三角形与等腰三角形的包含关系。 教学准备 多媒体课件；课堂用视频《三角形的认识》；每生一张三角形与“假三角形”混合的图卡；三角尺、彩笔。 教学过程 教师活动 学生活动 【情景导入】 先放一段《三角形的认识》的短片。片子里的画面孩子都眼熟：老房子的人字梁、自行车的大梁、广场上摆的花架。 片子放完我不急着说“今天学三角形”，而是先问一句： “刚才画面里反复出现的是哪种图形？谁能给大家举一个咱们阜阳城里也能见到的例子？” 学生说完例子，我再顺势抛出这节课的“活儿”：“大家都能认出三角形，说明眼睛没问题。可要是有人拿一个怪图形来，硬说它是三角形，你打算凭什么反驳他？” 【设计意图】不从定义入手，先拿“认得出、说不清”这个矛盾做引子。孩子一被问住，心里就有了一个要解决的问题，这时候再学定义，是他们在找答案，不是我在塞知识。 看短片，回忆生活中见过的三角形。 举手举例，如：颍河桥上的斜拉杆、家里晾衣架撑起来的两根杆和一根横档、学校门口的警示牌。 尝试回答“凭什么反驳”，发现只会说“它看起来不像”，说不出硬标准，于是带着问题进入新课。 【新知探究（一）　三角形的定义】 我在黑板上画四个图形：一个正常的三角形；一个三条线段围起来但中间断了一小截的；一个三条线段交在同一点上、像“大”字一样叉开的；一个首尾没有接上的。 “这四个图形里，有几个能叫三角形？先别急着举手，先在图上用手指描一描，看它是怎么围起来的。” 学生说第四图形不是，我追问到底：“它也是三条线段，为什么不行？”把话头引到关键处：断口的地方没接上。 顺着这个追问往下走，我引导他们自己把话说完整。学生说“三条线段连起来”，我就在黑板上写成“三条线段连起来”；再问“随便连都行吗”，逼出“要一个接一个连”“不能断在中间”；最后问“这三条线段能随便摆吗”，逼近“不能在同一条直线上”。三句话凑齐，定义就浮出来了。 板书：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 定义写完，我把三个关键词用红粉笔圈出来，让学生跟着一字一顿读两遍：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接。 【设计意图】定义是“逼”出来的，不是我给的。孩子自己挑毛病、自己补条件，才会明白每一个限定词都不是废话。这个环节多花三分钟，后面就少讲三次。 动手在图上描一描每条线段是怎么围起来的。 讨论第一个图形为什么断口不算三角形。 试着用自己的话把定义说完整，再对照课本上的定义，看看自己漏了哪个词。 齐读定义，把三个关键词在课本上圈起来。 【新知应用（一）　辨一辨】 出示两组判断练习。 第1题：下面几个图形，符合三角形定义的在括号里打“√”。（图中有三条线段共线相连的，有两条线段接不到头的，有把线段延长出去“凑数”的。） 第2题：一个同学用三根木棒拼图形，拼出的几种样子如下图，符合三角形概念的是（　　）。答案是 D。 做题时我提醒一句：“先看它有没有超过三条线段，再看这三条线段是不是首尾接上了，最后看有没有两条躺在同一条直线上。三步走完再落笔。” 【设计意图】判断题是检验定义最好用的工具。孩子做错的地方，恰恰就是定义里被忽略的那个词，当场纠正比课后再讲有效得多。 独立判断，然后同桌互相说理由：“我判它×，因为……” 集体订正时重点听同学讲第一题里“延长出去凑数”的那个图形为什么不算。 在书上写出第2题的答案 D。 【新知探究（二）　三角形的表示与基本元素】 “图形我们认准了，可往后做题，总不能每次都画出来给对方看。总得有个法子，把三角形‘写’出来。”一句话把记号引出来。 先讲记号。三角形用符号“△”表示，顶点是 A、B、C 的三角形，记作 △ABC，读作“三角形ABC”。我把 A、B、C 的书写顺序变了两次（△BCA、△CAB），问他们：“这样写还算不算同一个三角形？”有孩子会说“不算，顺序变了”。我把三个字母圈起来，告诉他们：顶点字母的顺序不影响它是哪个三角形，△ABC 和 △BCA 说的是同一个。 接着带他们数“家当”。我一边在图上标，一边念，让他们跟着在练习本上照做： 三个顶点是 A、B、C；三条边是 AB、AC、BC；三个内角是 ∠A、∠B、∠C。 这里我会多花两分钟做一件容易被跳过的事——把边和内角“对上号”。 “∠A 的两条边是 AB 和 AC，那么剩下的那条边 BC，和 ∠A 是什么关系？”引到“对边”。再往下，“边 AB 对着哪个角？”这样来回对几次，学生脑子里就有了“边—角”对应的图。 然后给出边的另一种记法：∠A 所对的边 BC 可以简记作 a，∠B 所对的边 AC 简记作 b，∠C 所对的边 AB 简记作 c。提醒一句：这是约定，字母和边不是随便配的，配反了要出笑话。 【设计意图】“边和角的对应关系”是这节课最值钱的一个点。前面不把这一层关系立起来，后面讲“对边上的高”“∠A的平分线”的时候，孩子会像听天书。 在练习本上照样子画一个三角形，标上 A、B、C。 试着用符号写出这个三角形，再写一遍把它写成 △BCA，比较两次写的是不是同一个。 跟着老师在图上找一找：∠A 的对边是哪一条，边 c 对着哪个角。 同桌互相考：“我说一个角，你报出它的对边。” 【新知应用（二）　数一数，说一说】 出示一组图形（一个大三角形里套着几条线，把图形分成了若干个小三角形）。 要求：(1) 读出图中的各个三角形；(2) 以 AB 为边的三角形有哪些；(3) 以 E 为顶点的三角形有哪些；(4) 以 ∠D 为角的三角形有哪些；(5) 说出 △BCD 的三个角。 参考答案：(1) △ABC、△BCD、△ABE、△CDE、△BCE；(2) △ABC、△ABE；(3) △ABE、△BCE、△CDE；(4) △BCD、△CDE；(5) ∠BCD、∠CBD、∠D。 这里最容易出乱子的是“数个数”。我先让他们自己数，数完互相报，报出来的数字往往不一样。这时候我给法子：先给单个的小三角形标上序号，一个个数；再把两个拼起来的算一类，接着数三个拼的、四个拼的。按这个次序来，一个不重不漏。 【设计意图】“数三角形”是这节的第一个坎。孩子不是不会看，是没秩序。把“编号—按块数”的顺序教给他们，比让他们反复数更省时间。 先独立数出图中的三角形，标上序号。 和同桌交换答案，说明自己是怎么数的。 照着“先单个、再两个、再三个”的顺序重新数一遍，验证结论。 完成第 (2)—(5) 小题，注意写答案时用规范的符号。 【新知探究（三）　三角形的分类】 “我们手上这些三角形，长得都不一样。要给它们排排队，你会按什么分？”我把问题抛出去，不设限制，看他们能说出多少标准来。 十有八九会先说出“按角分”。顺着学生的说法梳理：三个角都是锐角的，叫锐角三角形；有一个角是直角的，叫直角三角形；有一个角是钝角的，叫钝角三角形。我在黑板上画一个分类图，把三种情形摆开。 接着追问一句容易被忽视的话：“一个三角形里能不能有两直角、两个钝角？”让他们用“内角和180°”快速想一遍，自己否掉，这样分类表的“边界”就清楚了。 然后转向“按边分”。这里我让他们先给自己的三角形量一量三条边，看看有没有相等的。量完讨论：有的三边都不相等，有的两条边相等，有的三条边都相等。 顺着这个思路理出分类：三边都不相等的三角形；等腰三角形（两条边相等的三角形）；等边三角形（三条边都相等的三角形）。 把等腰三角形的名词讲清楚：相等的两条边都叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。我让学生在自己画的等腰三角形上，把腰、底边、顶角、底角都标一遍，标错当场改。 最关键的追问留到最后：“等边三角形的三条边都相等，那它是不是等腰三角形？”让学生讨论半分钟。多数孩子会说不算。我不直接给答案，而是把等腰三角形的图放大，指着两条相等的边说：“等腰只要求有两条边相等，多一条行不行？”学生反应过来：三条边都相等，当然也满足“有两条边相等”。于是得出：等边三角形是特殊的等腰三角形。 板书时我把分类图排成两层：第一层按角分，第二层按边分；按边分那一支底下，等腰三角形的圈里再套一个等边三角形的小圈。 【设计意图】“等边是特殊的等腰”这件事，讲道理孩子也会点头，但过两天就忘。让他们从“条件是宽还是窄”去推，自己推出来的结论才留得住。 先回忆角的大小怎么分，尝试给三角形按角分类，说明判断理由。 动手画图，量三条边，看看哪些是等腰的、哪些是等边的。 在自己的图上标出腰、底边、顶角、底角。 讨论“等边三角形算不算等腰三角形”，并说出理由。 【新知应用（三）　判一判】 练习一：判断下列三角形的形状。 ① ∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°，是锐角三角形；② ∠C=110°，是钝角三角形；③ ∠C=90°，是直角三角形；④ AB=BC=3，AC=4，是等腰三角形。 练习二：下面几句话对不对。 (1) 等腰三角形一定是等边三角形（×）；(2) 等腰三角形一定是锐角三角形（×）；(3) 三角形按边分，可以分成等边三角形、等腰三角形和三边都不相等的三角形（×）；(4) 三角形按角分，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形（√）；(5) 等腰三角形至少有两边相等（√）。 正确的是 (4)(5)。 第 (1)(3) 两句要重点说：孩子出错不是不会判断，是分类的标准没拎清——“按边分”的大类只能是“等腰”和“三边都不相等”，等边是塞在等腰里面的，不能和等腰平起平坐。 【设计意图】把最典型的错法摆出来让他们自己判断，比讲十遍“分类要不重不漏”有效。 独立判断，然后举手回答并说明理由。 同桌互查，重点检查第 (3) 句错在哪里。 【典例分析】 例1　如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 BD=AD=DC=AC。 (1) 写出以点 C 为顶点的三角形；(2) 写出以 AB 为边的三角形；(3) 找出图中的等腰三角形和等边三角形。 解：(1) 以点 C 为顶点的三角形是 △ABC、△ADC；(2) 以 AB 为边的三角形是 △ABC、△ABD；(3) 等腰三角形是 △ABD、△ADC，等边三角形是 △ADC。 讲这道题我教三个动作。第一，先找“点”：题目要“以点 C 为顶点”，那就把 C 点按住，看从 C 出发的线段都能连到哪些点，连出来的三角形就是答案。第二，再找“边”：说“以 AB 为边”，就把 AB 当成一条固定的棒子，看哪些第三点能和它凑成三角形。第三，最后看“数据”：题目给了 BD=AD=DC=AC，一条一条对，谁的边相等就判谁。 这里最容易漏的是 △ABD。孩子数图时眼睛只盯着“三角形长什么样”，BD 那条线常常被当成无关的碎线。我会走下讲台，用手指在图上沿着 B—D—A—B 描一圈，让他们看见它确实围成了一个三角形。 例2　如图，在 △ABC 中，∠BAC 是直角，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 BD 上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 解：(1) 锐角三角形是 △AEC；(2) 直角三角形是 △ABD、△ACD、△AED；(3) 钝角三角形是 △ABE。 这道题的“坑”在 △ABE。学生一看 E 在 BD 上、B 在边上，容易想当然地判成锐角三角形。我让他们先盯 ∠AEB：因为 E 在 BD 上，∠AEB 等于 ∠AED，而 ∠AED 是 △AED 里的角。再看 ∠AED 与 ∠D 的关系——∠D 是直角，剩下两个角加起来才 90°，所以 ∠AED 一定是钝角。所以 △ABE 是钝角三角形。 讲完我补一句提醒：判形状不要凭“看上去”，要落到某个具体的角上。找到一个角能算出来，判断就站得住。 【设计意图】这两道题一个练“找”，一个练“判”。找的方法要交给他们可操作的步骤；判的思路要压到一个具体的角上，不给“凭感觉”留余地。 跟着老师描图，检查自己是不是漏了 △ABD。 在例2的图上把 ∠AEB 标出来，算一算它是不是钝角。 把两道题的答案按规范格式写进练习本，注意三角形符号不要写错。 【变式训练】 1．说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示出来，并指出每个三角形的三条边、三个顶点和三个内角。 解：图中有 3 个三角形，分别是 △EHG、△EHF、△EFG。△EHG 的三边是 EH、HG、GE，三个内角是 ∠G、∠GHE、∠HEG，三个顶点是 G、H、E；△EHF 的三边是 EH、HF、FE，三个内角是 ∠EHF、∠HFE、∠HEF，三个顶点是 F、H、E；△EFG 的三边是 EF、FG、GE，三个内角是 ∠G、∠GFE、∠FEG，三个顶点是 G、F、E。 2．如图，在 △ABC 中，AB=BC=CA，点 O 在 △ABC 内，且 OA=OC=OB。指出图中的等边三角形和等腰三角形。 解：图中的等边三角形是 △ABC；等腰三角形是 △ABC、△AOB、△BOC、△AOC。 这道题不少孩子只写出 △ABC 就收笔了。提醒一句：题目说的是“指出图中的”，把三个小三角形和外面的大三角形都算上，一个都别落。 3．已知 a、b、c 为 △ABC 的三边长，且满足 ，求 △ABC 的周长，并判断它的形状。 解：∵ ，∴ a−2=0，b−2=0，c−3=0，∴ a=2，b=2，c=3。∴ △ABC 的周长为 7，△ABC 是等腰三角形。 讲这道题要给孩子点破“几个非负数加起来等于零”这句话的份量：只要有一项是正数，和就不可能是零，所以每一项都必须为零。这一步想通了，后面的方程就自然而然。 4．如图，在 △ABC 中，A₁、A₂、A₃、…、Aₙ 为 AC 边上不同的 n 个点。连接 BA₁，图中出现 3 个不同的三角形；再连接 BA₂，图中便有 6 个不同的三角形…… (1) 完成下表：连接点个数 1、2、3、4、5、6，对应出现三角形个数 3、6、10、15、21、28； (2) 若图中出现了 45 个三角形，则共连接了 8 个点； (3) 若一直连接到 Aₙ，则图中共有 ½(n+1)(n+2) 个三角形（用含 n 的式子表示）。 表格这问，让学生把“连接点个数”和“三角形个数”两行对着看，先发现每次多出来的个数是 3、4、5、6……再加就没有难度了。第 (3) 问对多数孩子偏难，讲清思路即可，不要求人人会推。 【设计意图】四道变式题的台阶是搭好的：第1题练“说”，第2题练“看全”，第3题练“算”，第4题练“找规律”。前两题人人要过，后两题能让学有余力的孩子有东西可做。 先独立完成前两题，写完后同桌交换，逐条核对有没有落下三角形。 第3题注意把“非负数和为零”的依据写出来。 第4题先填表，找出规律后再试第 (2)(3) 问，不会的可以小组商量。 课堂练习 1．下列图形中是三角形的是（　C　）。 2．如图是三角形按常见关系分类的图，则关于 P、Q 两个区域的说法正确的是（　B　） A．P 是等边三角形，Q 是等腰三角形　　B．P 是等腰三角形，Q 是等边三角形 C．P 是直角三角形，Q 是锐角三角形　　D．P 是钝角三角形，Q 是等腰三角形 3．图中是由几个小三角形拼成的一个大三角形，这个图形中三角形的个数为 13 个。 4．若 △ABC 三条边的长度分别为 a、b、c，且 ，则这个三角形为 等边三角形。 5．如图，(1) 写出以 ∠C 为角的三角形；(2) 写出以 BD 为边的三角形；(3) 写出图中所有三角形。 解：以 ∠C 为角的三角形是 △ACE、△ACD、△ACB；以 BD 为边的三角形是 △ABD；图中所有三角形为 △ACE、△ADE、△ABD、△ACD、△ABE、△ACB。 6．如图，在长方形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，连接 CE。指出图中的直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。 解：图中的直角三角形是 △ABD、△BCD、△ABE、△ADE；钝角三角形是 △BCE；锐角三角形是 △BCE。 （第1、2、3、4题要求全做；第5、6题作为选做，供学得快的学生当堂完成。） 板书设计 13.1　三角形的概念 一、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 　　（三个关键词：①三条线段　②不在同一条直线上　③首尾顺次相接） 二、表示与元素 　　记作 △ABC；顶点 A、B、C；三边 AB、BC、CA（也可写作 c、a、b）；三角 ∠A、∠B、∠C 　　对边：∠A 的对边是 BC（记作 a）；∠B 的对边是 AC（记作 b）；∠C 的对边是 AB（记作 c） 三、分类 　　按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 　　按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（其中三边都相等的叫等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形） 四、例题：例1　例2 课堂小结 这节课快结束时，我不让学生翻书，直接问三个问题让他们口头答： “定义里哪一句最容易漏？”（答：首尾顺次相接／不在同一条直线上。） “给一个三角形，你能说出它的三条边吗？三条边和三个角是怎么对上的？” “等边三角形为什么算等腰三角形？” 答完我在黑板上把三条线画出来收口：定义是“框”，记号是“话”，分类是“排队”。往后学三边关系、学高和中线，第一句话都要先说清是哪个三角形的哪条边、哪个角，所以今天这三点是一章的开头。 作业布置 必做：教材 P3 练习 1、2；教材 P4 练习 3、4。 选做（生活实践）：在家里、路上、校园里各找一个三角形的例子，拍照或用笔画下来，标出它的三条边和三个顶点，再写一句话说明它是按角分属于哪一类、按边分属于哪一类。 作业要求：三角形符号要写规范，端点和顶点字母不要漏标。 教学反思 这节课上完，最想说的一点是：定义真是“逼”出来的，不是“给”出来的。四个图形摆在黑板上的时候，班里最安静的那几个孩子也在伸着手指头描线段。等到要给他要说的“连起来”加条件时，七嘴八舌冒出来的意见比我预设的还多。这个环节花的时间比计划多了三分钟，我觉得值。 不理想的是分类那一块。按角分类推进得很顺，因为孩子有旧经验；按边分类就慢下来，特别是“等边是特殊的等腰”，讲台上讲完，底下做题还是有人把两者并列写进同一层。回头想，问题出在我给的追问只有一次，火力不够。下次准备让他们拿自己的三角形纸片摆一摆：先把两条边捏到一样长，问“它是不是等腰”，再把第三条也捏成一样长，问“现在还是不是等腰”。手上有感觉了，结论才立得住。 还有一个提醒自己的地方：这节课的板书我写得偏满。定义、记号、分类、例题全挤在一块黑板上，孩子抄笔记的时候有点赶。下次把分类图单独留一块区域，写完就不擦了——后面几节课还要反复指它。 学科网（北京）股份有限公司 $