13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（第2课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高（第2课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 教材分析 前面两节课，我们把三角形“认住了”，也把它的三条边“量住了”。可一个三角形内部并不是空的——从顶点往里画线，能画出三类特别有用的线段：高、中线、角平分线。这节课就是把它们一个个请出来，看清各自的来历、位置和用处。 这三条线其实都不新鲜。垂线、线段的中点、角的平分线，学生在七年级都学过。今天要做的是把旧知识放进三角形这个“容器”里，重新定义一遍，再找找它们的共同规律。所以这节课本质上是一次“组装”，不是从零起步。 从后面的学习看，这三条线是绕不过去的。等腰三角形的“三线合一”、全等证明里作高作中线、后面算面积求线段长度，全都要用到它们。特别是高，钝角三角形有两条高落在图形外面，这个“看不见的地方”会成为很多孩子的第一道坎。 还有一层意思在这节课里：三条中线交于一点、三条角平分线交于一点、三条高所在的直线交于一点——同一个图形里，三条线“碰头”的位置各不相同。让孩子自己去画、去发现这件事，是这个年龄段很难得的几何体验。 学情分析 咱们班孩子对“高”并不陌生，小学就画过。但那种认识是直观的，他们心里的“高”往往是“从上往下的一条竖线”。一旦三角形摆得歪一点、或者干脆是钝角三角形，这根“竖线”就不见了，人也就慌了。 第二个坎是概念之间的混淆。学生刚学完“角的平分线”，脑子里存的是“从顶点出发平分角的那条射线”。现在课文说“三角形的角平分线”，是一段线段，两个“角平分线”名字差不多、意思不一样，这个弯必须拐明白。同理，“三角形的高”是一段线段，“点到直线的距离”也是一段线段，但一个是从顶点出发、一个是从任意点出发，也得掰开讲。 第三个坎在作图习惯上。钝角三角形那两条外面的高，需要先把对边延长出去再作垂线。这一步在孩子的经验里是“多此一举”，所以他们常常直接在三角形内部找，找不到就放弃。 基于这些，这节课我不打算上来就讲定义，而是先让他们画，让画不出来的地方自己“冒”出来，再回头讲清道理。 教学目标 1．能说出三角形的高、中线、角平分线的定义，会用几何语言表述它们；会画出任意三角形（含钝角三角形）的三条高、三条中线、三条角平分线；知道三条中线交于内部一点（重心）、三条角平分线交于内部一点（内心）、三条高所在的直线交于一点（垂心）。 2．经历“动手画—观察—比较—归纳”的过程，在画不同形状三角形的过程中发现三类线段位置的差异，体会从特殊到一般的思考方式；在周长差、面积相等的推理中，学着用“等底同高”“公共边抵消”这样的模型去说理。 3．在解决钝角三角形外高这个“拦路虎”的过程中，练一点不怕麻烦的劲头；在对称的图形里感受几何的美。 教学重点 三角形的高、中线、角平分线的概念与画法。 教学难点 1．钝角三角形高的画法：两条较短边上的高落在三角形外部，需要先延长对边再作垂线； 2．概念辨析：三角形的角平分线（线段）与角的平分线（射线）的区别；三角形的高（线段）与点到直线的距离的区别。 教学准备 多媒体课件；课堂用视频《哪吒的困惑》；三角尺、量角器（含直角三角尺）；每生一张印好三种三角形（锐角、直角、钝角）的练习纸。 教学过程 教师活动 学生活动 【情景导入】 播放课件里的短片《哪吒的困惑》。片子里哪吒画了一个三角形，想找出三条线段：一条是从顶点往下垂到对边的，一条是从顶点连到对边中点的，还有一条是把顶点那个角平分成两半的。可他怎么也想不明白这三条线该叫什么名字、该怎么区分，只好来请同学们帮忙。 片子放完，我不急着报名字，先问一句：“哪吒遇到的麻烦，其实就是今天要学的三样东西。谁能先给它们起个名？”有孩子能说出“高”“中线”“角平分线”，也有的说不全。我把三个名字依次写在黑板右边，留出位置，告诉他们：“名字先放这儿，咱们一会儿一个一个把它们的来龙去脉弄清楚。” 【设计意图】一节课要立三个概念，硬讲容易糊成一锅粥。用“帮哪吒解决困惑”的任务把三个概念先挂起来，学生的注意力就有了落点，后面每讲一个，都能回头对上一个问题。 认真看短片，弄清哪吒到底遇到了什么问题。 尝试给三条线命名，能说出的先说出来。 明确本节课要解决三个问题，带着任务进入学习。 【新知探究（一）　三角形的高】 先立定义。从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 定义说到这里，我会在“对边所在的直线”这几个字上停一下，反复念两遍。这是后面钝角三角形画高的伏笔，提前埋在这儿。 然后立规矩：三角形的高是线段，而垂线是直线，两者不是一回事，考试里写错扣分不冤。 接着把几何语言教规范。 ∵AD 是 △ABC 中 BC 边上的高（已知） ∴AD⊥BC，或 ∠ADB=90°，或 ∠ADC=90°（三角形高的定义） 这句“已知得垂直”，往后做题要反复用，让他们跟着念一遍、写一遍。 接下来分三种三角形动手画，一步一步问。 先画锐角三角形。问1：画出这个锐角三角形的三条高。画完逐个报答案——边 BC 上的高是 AD，边 AB 上的高是 CF，边 AC 上的高是 BE。问2：这三条高在三角形的里面还是外面？答：三条高都在三角形的内部。问3：这三条高之间是什么位置关系？答：交于三角形内部一点。 再画直角三角形。问1：画出三条高。这里会有学生画错——直角三角形两条直角边本身就是互相垂直的，所以边 BC 上的高是 AB，边 AB 上的高是 BC，只有边 AC 上的高 BD 需要从直角顶点往斜边作。问2：三条高在哪儿？答：两条高就在两条直角边上，另一条在三角形内部。问3：交点在哪儿？答：三条高交于直角顶点。 最后画钝角三角形，这是硬骨头。问1：画出三条高。学生一开始往往在图形内部到处找，找不着。这时候我让他们停手，问一句：“咱们说过高是从顶点往对边所在的直线作垂线。现在对边不够长，垂足掉到图形外面去了，怎么办？”有孩子会反应过来：把对边延长出去。对，就这样。于是边 BC 上的高是 AD，边 AB 上的高是 CE，边 AC 上的高是 BF。问2：三条高在哪儿？答：两条高落在三角形外部，一条在三角形内部（钝角所对的那条边上的高在内部）。问3：三条高交于一点吗？答：三条高本身不交于同一点，但它们的延长线交于三角形外部的一点。 画完三种，带他们一起归纳：三角形三条高所在的直线一定交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 【设计意图】三条高的难点全在钝角那一个图上。我不先讲这个难点，而是让他们先画、先卡住，卡住了再讲“延长对边”，这时候孩子是“求着”要方法的，听得进去。 在心里默念一遍定义，重点记住“对边所在的直线”这几个字。 跟着老师读一遍高的几何语言，在本子上写一遍。 在练习纸上分别画锐角、直角、钝角三角形的三条高。 讨论后派代表回答三条高在不在内部、交点在哪里。 把钝角三角形画高的要点用红笔在旁边标出来。 【新知应用（一）　高的识别与面积法】 1．下面几个图形中，哪一个是 △ABC 中 AD 边上的高？（　D　） 做完带他们总结：一条线段要当“高”，得同时满足两条——(1) 过这条边所对的顶点；(2) 垂足落在这条边上，或者落在这条边的延长线上。两条缺一不可。 2．若 AH⊥BC 于 H，则以 AH 为高的三角形有 3 个，分别是 △ABH、△ADH、△ACH。 3．如图，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，点 D、E 分别在 △ABC 的边 AB 和 BC 上。下列说法中正确的是（填序号）： ①△ABC 中，AC 是 BC 边上的高；②△BCD 中，DE 是 BC 边上的高；③△ABE 中，DE 是 BE 边上的高；④△ACD 中，AD 是 CD 边上的高。 答案：①②④。 这道题的关键是先看清“说的是哪个三角形”。同一个 DE，在 △BCD 里是 BC 边上的高，到了别的三角形里就不一定是。让学生先圈出题号里提到的三角形，再回到图上找。 4．如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC 于点 D，且 AD=4。若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 。 这里问的是“最小值”，其实就是问“点 B 到直线 AC 的距离”，也就是 AC 边上的高。让学生把“点到直线的最短距离”和“高”对上号。 5．如图，AD、CE 是 △ABC 的两条高。 (1) 若 AD=10，CE=9，AB=12，则 S△ABC=54，BC=10.8；若 AC=8，则 AC 边上的高为 13.5； (2) 若 AB∶BC=4∶5，则 CE∶AD=5∶4。 讲这道题只强调一件事：同一个三角形，用不同的边和高各算一次面积，算出来的结果必须相等。所以 AB×CE=BC×AD。这条“面积法”往后用得很多，今天先把桥梁搭起来。 【设计意图】第1题管“认”，第2—4题管“找”，第5题管“用”。面积法不是新知识，是把这个图形里的两条高连起来的新用法，今天不求人人熟练，只求人人记住这座桥。 独立完成第1题，说明自己为什么排除了另外几个选项。 第3题先把题号里的三角形圈出来，再逐个判断。 第4题把“最小值”翻译成“AC 边上的高”。 跟着老师推导面积法，记下 AB×CE=BC×AD 这个式子。 【新知探究（二）　三角形的中线】 换第二样东西。定义先给：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。要点一句——中线是线段。 几何语言： ∵CD 是 △ABC 中 AB 边上的中线（已知） ∴AD=DB=½AB（三角形中线的定义） 让它动手画一画：分别画出锐角、直角、钝角三角形的所有中线。画完同一个问题——三条中线在哪儿？交于哪里？三种三角形的答案一模一样：都在三角形内部，都交于内部一点。这个“例外都没有”的结果本身就值得孩子记牢。 这三条中线的交点也有名字，叫做三角形的重心。 接下来讲中线身上最实用的两条性质。 先看周长。问1：观察图形，C△ABD 与 C△ACD 的差，和 AB、AC 之间有什么关系？ 推理不难：∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，又 BD=CD， ∴C△ABD−C△ACD=AB−AC。 把结论写出来：三角形任何一边上的中线，把三角形分成的两个小三角形，它们的周长之差等于原三角形另外两边的差。 再看面积。问2：观察图形，S△ABD 与 S△ACD 之间有什么关系？ ∵，，又 BD=CD， ∴S△ABD=S△ACD。 也就是说，三角形的任意一条中线，都把三角形分成面积相等的两部分。 这一条我让他们用一句话记住：等底同高，面积相等。底被中点平分成两半，高是同一条，面积自然一样。 【设计意图】中线、角平分线、高三条线里，中线是最“听话”的——三种三角形表现完全一致，性质又最实用。先把它讲透，学生对“三条线”这件事就有底了。 动手在练习纸上画出三种三角形的所有中线，观察交点位置。 跟着老师推导周长差的关系，注意“公共边 AD 抵消”这一步。 小组讨论面积问题：两个小三角形底相等、高相同，所以面积相等。 把“等底同高”四个字记在笔记本上。 【新知应用（二）　中线的计算】 1．如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、BC 的中点，下列说法不正确的是（　C　）。 A．DE 是 △BCD 的中线　　B．BD 是 △ABC 的中线　　C．AD=DC，BD=EC　　D．BE=½BC 2．已知 BE、CF 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的中线。 (1) 若 AB=6，AE=2.5，则 BF=3，AC=5； (2) 若 AE=2，AF=3，且 △ABC 的周长为 15，BC 边上的高为 4，则 BC 的长为 5，S△ABC=10。 3．如图，AD 是 △ABC 的 BC 边上的中线，且 AB=3，AC=7，BC=9，AD=2.5，则 C△ABD=10，C△ACD=14。 4．如图，在 △ABC 中，BC 边上的中线 AD 把 △ABC 的周长分成 25 和 40 两部分，AC=30，则 AB=15 cm。 5．在 △ABC 中，AC=5 cm，AD 是 △ABC 的中线，AD 把 △ABC 的周长分成两部分，若两部分之差为 3 cm，则 AB 的长为 8 cm 或 2 cm。 第5题要停一下：“题里没有给图，那 AD 分出来的两部分，谁大谁小要不要想一想？”对，要。所以有两种情况，答案就是两个。往后遇到“无图”的题，第一件事就是先在草稿上把可能的样子画出来。 6．若 AD 是 △ABC 的中线，BE 是 △ABD 的中线。 (1) 如图1，若 △ABD 的面积为 12，则 △ABC 的面积为 24； (2) 如图2，若 △ABC 的面积是 32，则 △ABD 的面积为 16，△ABE 的面积为 8，△BCE 的面积为 16； (3) 如图3，若 DH⊥AB 于点 H，DG⊥AC 于点 G，AB=7 cm，AC=6 cm，DH=3 cm，则 DG 的长是 cm。 (3) 这一问的做法是：先由面积相等把 △ABD 和 △ACD 的面积定下来，再用两条不同的底和高分别表示同一个面积，列出等式解出 DG。这就是前面见过的面积法，今天第二次用。 【设计意图】这一组题全部围绕“中线”展开，但难度在往上走：从认识中线，到用中线算周长、算面积，再到用面积反求线段。孩子能跟到第 (3) 问，说明中线这条线他真的抓在手里了。 独立完成后小组交流，重点说清“公共边抵消”的道理。 第5题先在草稿上画出两种可能的图形，再分别计算。 第6题按“面积→中线→面积”的顺序理一遍思路。 【新知探究（三）　三角形的角平分线】 最后一样东西。定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 这里必须停住做一次辨析：角平分线是射线，三角形的角平分线是线段。为什么一个变短了？因为它被“框”在三角形里了——从顶点出发，到对边交点为止，出了这个范围就不再是三角形的角平分线。我在黑板上把射线画长、把线段画出来，两根线并排给学生看。 几何语言： ∵AD 是 △ABC 中 ∠A 的平分线（已知） ∴∠BAD=∠CAD=½∠BAC（三角形角平分线的定义） 也可以写成 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD。 再动手画：分别画出三种三角形所有的角平分线。画完照例问交点在哪儿。答案还是内部一点——三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 到这儿三种线都讲完了。我让他们回头看黑板上的三栏：高、中线、角平分线。位置特征、交点名称摆在一起，竖着比一比，规律自己就出来了。 【设计意图】最后这个“竖着比一比”不能省。三条线单个讲的时候孩子是分开记的，摆到一起比一次，他们才发现里面有结构：高的位置会随三角形变，中线和平分线永远在内部。这个对比，比再讲一道题有用。 对照黑板上的两条线，说清“射线”和“线段”的区别。 在练习纸上画出三种三角形的所有角平分线。 观察发现：三条角平分线都在三角形内部，交于内部一点。 把三种线的位置特征、交点名称填进表格。 【新知应用（三）　角平分线的判断与计算】 1．如图，在 △ABC 中，∠1=∠2，G 为 AD 的中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF⊥AD 于点 H。判断下面四句话对不对： ①AD 是 △ABE 的角平分线（错）；②BE 是 △ABD 边 AD 上的中线（错）；③BE 是 △ABC 边 AC 上的中线（错）；④CH 是 △ACD 边 AD 上的高（对）。 四句话里三句都是错的，错得还都不一样。让他们逐句核对“这条线到底属于哪个三角形、是三条线里的哪一种”，这正是本节课最容易混的地方。 2．如图，在 △ABC 中，BD 为角平分线。 (1) 若 ∠ABC=50°，则 ∠ABD=25°； (2) 若 ∠ABD=20°，则 ∠ABC=40°。 3．如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F。图中 ∠1 与 ∠2 有什么关系？为什么？ 解：∠1=∠2。理由：∵AD 是 △ABC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD。 ∵DE∥AC，∴∠1=∠FAD。 ∵DF∥AB，∴∠EAD=∠2。 ∴∠1=∠2。 这道题把角平分线、平行线、内错角串在一起了，是本节课少见的综合性练习。写的顺序有讲究：先由角平分线得到两个角相等，再由两组平行线分别换一次角，最后把等量关系连起来。 【设计意图】把角平分线和其他旧知识串起来用，学生就知道这条线不是孤立的，它是解题链条上的一环。 第1题逐句核对，错的说明错在哪里。 第2题独立计算，同桌互查。 第3题按“角平分线→平行线→等角”的顺序把证明写完整。 【典例分析】 例1　如图，AE 是 △ABC 的中线，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，∠CAB=90°。试求： (1) 作出 BC 边上的高 AD，并求 AD 的长；(2) △ABE 的面积；(3) △ACE 与 △ABE 的周长之差；(4) 若 ∠B=50°，∠C=∠EAC，求 ∠DAE 的度数。 解：(1) 高 AD 即为所求，作图略。 ∵∠CAB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 ∵AB=6 cm，AC=8 cm， ∴。 ∵AD 是边 BC 上的高，BC=10 cm， ∴， ∴5AD=24，即 。 (2) ∵AE 是中线，∴。 ∵高相同，面积之比等于底之比， ∴。 (3) ∵AE 是中线，∴BE=CE。 △ACE 的周长与 △ABE 的周长之差为： ∵AB=6 cm，AC=8 cm， ∴。 (4) ∵∠BAC=90°，∠B=50°，∠C=∠EAC， ∴∠C=∠EAC=40°。 ∵AD 是 △ABC 的高，∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°−90°−40°=50°， ∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=50°−40°=10°。 这道题一口气把三条线都用上了：高用来算长度，中线用来分面积和算周长差，最后又用高和内角和求角度。讲的时候我会把解题顺序摆出来——先画高，再由面积两条路求 AD；面积这一步是本题的“总闸”，开了它后面才通。 例2　已知：如图，△ABC 中 AB=AC，P 是底边 BC 上的任意一点（不与 B、C 重合），CD⊥AB 于 D，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F。求证：CD=PE+PF。 证明：如图，连接 PA。 ∵CD⊥AB 于 D，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F， ∴，，。 又∵， ∴。 ∵AB=AC，∴CD=PE+PF。 这道题第一次见，学生看不出头绪。我给一句提示：“三条垂线段，看着像长度，其实都是高。”一句话点破，剩下的就是面积法的事——把 △ABC 拆成 △PAB 和 △PAC 两块，面积一加，等式就出来了。 例3　在 △ABC 中，AB=AC，BD 是 △ABC 的中线，且 BD 把 △ABC 的周长分成 9 cm 和 12 cm 两部分，求三角形的各边长。 解：∵BD 是 AC 边上的中线，∴AD=CD。 设 AD=CD=x，则 AB=AC=2x。 ①当 AB+AD=12 时，2x+x=12，解得 x=4，∴2x=8。 ∵中线 BD 把 △ABC 的周长分成 9 cm 和 12 cm， ∴△ABC 的周长为 21 cm。 当 AB=AC=8 cm 时，BC=5 cm，能构成三角形。 ∴△ABC 各边长依次是 8 cm、8 cm、5 cm。 ②当 AB+AD=9 时，2x+x=9，解得 x=3，∴2x=6。 当 AB=AC=6 cm 时，BC=9 cm，能构成三角形。 ∴△ABC 的三边依次为 6 cm、6 cm、9 cm。 综上所述，△ABC 的各边长分别为 8 cm、8 cm、5 cm 或 6 cm、6 cm、9 cm。 这道题的“坑”还是老位置：算完要验。两种情况都能围成，所以两个答案。但学生常有只写一个就交卷的，我会让他们把两次检验都写在卷面上——写出来的过程本身就是分数。 【设计意图】三道例题分别落在“用三条线做计算”“用面积法做证明”“用中线做分类讨论”上，把本节课的能力点基本覆盖齐了。 例1 跟着老师的顺序走，重点看面积这一步是怎么把前后串起来的。 例2 记住那句提示：垂线段也是高，面积法就有着落了。 例3 把两种情况都写完整，检验一步不落。 认真看老师的板书，学习规范的书写顺序。 【变式训练】 1．如图，在 △ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上一点，AB=10，AC=6。若 △BDE 与四边形 AEDC 的周长相等，求 BE−AE 的值。 解：∵D 为 BC 的中点，∴BD=CD。 ∵△BDE 与四边形 AEDC 的周长相等， ∴BE+DE+BD=AE+DE+CD+AC， ∴BE=AE+AC，∴BE−AE=AC。 ∵AC=6，∴BE−AE=6。 公共边 DE、公共量 BD=CD 一起消掉，剩下的就是答案。学生做这类题最需要的是“敢消”的胆量。 2．如图，在 △ABC 中（AB>BC），AC=2BC，BC 边上的中线 AD 把 △ABC 的周长分成 60 和 40 两部分，求 AC 和 AB 的长。 解：设 BD=CD=x，则 AC=2BC=4x。 ①当 AC+CD=60、AB+BD=40 时，4x+x=60，解得 x=12， ∴AC=4x=48，BD=CD=12， ∴AB=40−BD=40−12=28。 ∵AB=28>BC=24，满足条件； 又∵BC+AB=28+24=52>AC=48，满足三边关系，∴AC=48，AB=28。 ②当 AC+CD=40、AB+BD=60 时，4x+x=40，解得 x=8， ∴AC=4x=32，∴BD=CD=8， ∴AB=60−BD=60−8=52。 ∵AC+BC=32+16=48<52=AB，∴不满足三角形的三边关系，不合题意，舍去。 综上所述，AC=48，AB=28。 这一道题把上节课的三边关系也拉了进来。第二种情况算出来的数字看着挺正常，最后却卡在三边关系上。所以“算完要验”这四个字，在几何里是随身带着的。 3．如图，△ABC 的面积是 18，点 D、E 分别位于 AB、BC 上，DE∥AC，且 AD=4，DB=5，求 △ABE 的面积。 解：连接 DC。由已知，得 S△ADC∶S△BDC=AD∶DB=4∶5。 ∵S△ABC=18，∴S△ADC=8，S△BDC=10。 ∵DE∥AC，∴S△ACE=S△ADC=8， ∴S△ABE=S△ABC−S△ACE=10。 这里有两处要讲透。一处是“高相同，面积之比等于底之比”，由它把两块面积分开；另一处是“等底等高，面积相等”，由 DE∥AC 得出 △ACE 与 △ADC 面积相等。两个模型都用上了，这道题才算做透。 【设计意图】三道变式题各自挂着一条主线：第1题练“消”，第2题练“分类与检验”，第3题练“面积模型”。能独立完成第2题的学生，这节课的目标就达到了。 独立完成，同桌互查。 第1题写的时候注意把消去的项用线划掉，看清剩下什么。 第2题两种情况都要写，检验一步不能少。 第3题先在图上把 DC 连起来，标出两块面积的比。 课堂练习 1．下列说法中正确的是（　D　）。 A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2．如图。(1) 若 AM 是 △ABC 的中线，BC=12 cm，则 BM=CM=6 cm； (2) 若 AD 是 △ABC 的角平分线，则 ∠BAD=∠DAC=½∠BAC；若 ∠BAC=106°，则 ∠DAC=53°； (3) 若 AH 是 △ABC 的高，则 △ABH 是直角三角形。 3．在 △ABC 中，AB=AC，AC 边上的高 BD=10 cm，则 AB 边上的高 CE=10 cm。（结论：等腰三角形两腰上的高相等。） 4．如图，AD、CE 是 △ABC 的两条高，AB=4 cm，BC=8 cm，CE=6 cm，则 AD 的长为 3。 5．在 △ABC 中，AC=AB，周长为 16 cm，AC 边上的中线 BD 将 △ABC 分成周长差为 2 cm 的两个三角形，求 △ABC 的各边长。 解：分成两部分的周长之差等于腰长与底边的差。 (1) 若 AB>BC，则 AB−BC=2，又 2AB+BC=16，联立解得 AB=6，BC=4，6 cm、6 cm、4 cm 三边能够组成三角形； (2) 若 AB<BC，则 BC−AB=2，又 2AB+BC=16，联立解得 AB=，BC=，cm、cm、cm 三边能够组成三角形。 因此三角形的各边长为 6 cm、6 cm、4 cm，或 cm、cm、cm、cm。 板书设计 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的高　　　　　二、三角形的中线　　　　三、三角形的角平分线 1．定义：顶点→对边所在直线　　1．定义：顶点→对边中点　　1．定义：内角平分线→对边交点 　　　垂足之间的线段 2．位置特征：　　　　　　2．位置特征：　　　　　2．位置特征： 　- 锐角：三条全在内部　　　- 三种三角形：全在内部　　- 三种三角形：全在内部 　- 直角：两条在直角边上，一条在内部 　- 钝角：一条在内部，两条在外部 3．交点：垂心　　　　　　3．交点：重心（内部）　　3．交点：内心（内部） 　- 锐角：内部 　- 直角：直角顶点 　- 钝角：外部（延长线交点） 4．性质：得 90°　　　　　4．性质：平分面积；　　　4．性质：分得两个等角 　　　　　　　　　　　　　　　周长差＝另外两边之差 5．核心方法：面积法　　　　　　　等底同高模型 课堂小结 这节课内容多，收尾时我不让他们翻书，直接问一句话：“今天学了三条线，请用一分钟，把每条线的定义、位置、交点、用处各说一条。” 学生说完，我在黑板上把三栏并排写下来，重点圈两处： 第一处是“高的两种活法”——一种在三角形里面，一种在外面。判断依据不是看图，是看三角形是不是钝角三角形、以及是哪条边上的高。 第二处是三条线的两个常用模型：中线带来的“等底同高，面积相等”，高带来的“同一个面积，两条底高相等”。这两句话往后还会用很多次。 最后提醒一句：这节课的图形多，画的线也多，落笔前先想清楚“这条线是给哪个三角形画的”。想清这一句，画错的概率会小很多。 作业布置 必做：教材 P8 练习 1；P9 练习 2、复习巩固 4；P10 复习巩固 7。 选做：画一个钝角三角形，用不同颜色的笔画出它的三条高、三条中线、三条角平分线，并在图旁写清楚每种线段的定义要点、位置特征和交点名称。 实践作业：找一个身边的三角形结构（如自行车车架、屋架），指出其中你能认出的一种特殊线段，下节课用一分钟分享。 教学反思 这节课上下来，最大的感受是：难点真的是“画”，不是“记”。定义我把话说得再清楚，学生点头点得再齐，一到自己画钝角三角形的高，还是有将近三分之一的人卡在“延长对边”这一步。这印证了我在课上临时决定的做法——不先讲，先让他们画，画不出来再讲。这个方法下次继续用。 有一个环节效果超出预期：三种线讲完之后让他们“竖着比一比”。原本只是想收个尾，结果学生自己把“为什么高会跑到外面去”给说出来了，理由是“高的垂足要看对边够不够长，中线和平分线的落点是由边上的点决定的，跑不掉”。这个解释比我准备的版本还简洁。以后这类“对比归纳”的环节不能被时间挤掉。 不理想的地方有两处。一是时间分配，前面三条线的探究占了太多，导致变式训练第3题只讲了一半就下课。下次考虑把“新知应用（三）”里那道四句判断题挪到课后，把课堂时间匀给变式和例题。 二是板书太挤。高、中线、角平分线三栏加上各自的定义、位置、交点，一黑板排下去，学生的笔记跟得很吃力。下次准备把三栏事先印在一张纸上发下去，让他们只填空，省下的时间用来画图。 还有一点自我提醒：这节课我讲得还是偏多，学生动手画的时间其实只有两轮。往后凡是要“画”的知识点，我就得舍得把讲台让出去。 学科网（北京）股份有限公司 $