第04讲 与三角形有关线段与角的模型 复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第04讲：与三角形有关线段与角的模型 一、考点梳理 三角形中线、高线、角平分线几何模型 名称 基本图形 条件 结论 (1)SAABD=SAACD: 中线模型 AD是中线 (2) CM4CD-CA4BD=4C-4B (1）4D×BC=CB×4B: 高线模型 AD、CE是高 (2)∠BAD=∠BCE. 中 D B 双内角平 ∠.A、∠B的平 分线模型 P 分线交于点P 内外角平 △ABC中，点P是∠AB 和外角∠ACD的角平列 分线模型 线交点. 双外角平 点P是AABC两 外角平分线交点 0-片4 分线模型 内角平分 在△4BC中，AD∥BC ()∠ABD=∠ADB: 线与平行 点P是AD与∠.ABC平月 (2)AB=AD 线的交点 线模型 B >·☒ 对顶三角 形模型(8 ∠A+∠B=∠C+∠D 0 AD与BC相交于点O B 字模型) D 燕尾模型 凹四边形ABPC ∠P=∠A+LB+∠C 二、知识点总结 知识点一、中线棋型 条件：△ABC中，AD是BC边上的中线. 结论：(1)S△ABD=S△ACD: (CAACD-CAABDAC-AB 推导：(1)过点A作AE⊥BC交BC于点E, AD是中线，BD=CD, ,△ABD和△ACD的高都为AE, 又SAw-号D-AR:5su-2CnAE .S△ABD=S△ACD. (2),AD是中线，BD=CD, .CAACD=AC+AD+CD:CAABD=AB+AD+BD, 六CAAD-C△A=|IAC+AD+CD-AB+AD+BD=|AC-AB >2☒ 知识点二、高线模型 条件：△ABC中，AD、CE是高线. 结论：(1)AD×BC=CE×AB: (2)∠BAD=∠BCE. 推导：(1)（思路：等面积法） .AD、CE是高线， 5ac=BCAD,Sm方ABCE, ∴.AD x BC=CE×AB (2)(思路：三角形内角和180°) 在△ABD和△ACD中， 有∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠BCE+∠CEB+∠B=180°， 又，AD、CE是高线， .∠ADB=90°，∠CEB=90° .∴.∠BAD=180°-∠ADB-∠B=90°-∠B, ∠BCE=180°-∠CEB-∠B=90°-∠B' ∴.∠BAD=∠BCE. 知识点三、双内角平分线模型 条件：∠B、∠C的平分线交于点P. 结论：P=90°号 ∠A. 推导：（思路：三角形内角和定理） ,∠B、∠C的平分线交于点P, ∠PBC-<ABC,PCB=2ACB, .∠P=180°-∠PBC+∠PCB =180°∠ABC+∠ACB ☒ =180°.1∠ABC+∠ACB 2 =1800-2180-∠A =90°+1 <A 知识点四、内外角平分线模型 条件：△ABC中，点P是∠ABC和外角∠ACD的平分 线 综论：上P=吃A, 推导：（思路：三角形外角定理） :点P是∠ABC和外角∠ACD的平分线， ∴∠PCD=ACD,∠PBC=3∠ABC, 由外角性质得，∠P=∠PCD-∠PBC =克ACDABC 1 ∠ACD-∠ABC 知识点五、双外角平分线模型 条件：点P是△ABC两外角平分线的交点. 结论：∠P=902∠A, 1 推导：（思路：三角形内角和定理) :点P是△ABC两外角平分线的交点， ∠PCB=2BCE,∠PBC=3∠CBF ∴.∠P=180°-∠PCB+∠PBC =1802<BCE+CBF =180-1CE+∠CBr =180°-.{180°-∠ABC+180°-∠ACB E2ABC+∠ACB 180-∠A =90-3A. 知识点六、内角平分线与平行线模型 条件：在△ABC中，AD‖BC,BD是∠ABC平分线. 结论：(1)∠ABD=∠ADB; (2)AB=AD. 推导：，AD‖BC,∠CBD=∠ADB: BD是∠ABC平分线，∴.∠CBD=∠ABD: .∠ABD=∠ADB: .'.AB=AD. 知识点七、对顶三角形模型（8字模型) 条件：AD与BC相交于点O. 结论：∠A+∠B=∠C+∠D. 推导：由三角形内角和得，∠A+∠B+∠AOB=180°， ∠C+∠D+∠COD=180: 由对顶角相等得，∠AOB=∠COD; .∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点八、燕尾模型 条件：凹四边形ABPC 结论：∠P=∠A+LB+∠C∠P=∠A+∠B+∠C >☒ 推导思路：法一连接BC;法二：延长BP或者CP;法三：连接AP并延长 三、常考的题型 考点一、中线模型（与周长有关） 1.在△ABC,AB=20,BC=18,BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的 周长是() A.47 B.43 C.38 D.25 2.如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD=5,CD=9,则CE的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，在△ABC中，AB=21,AC=20,AD为△ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长 之差为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BE是腰AC上的中线. ∑。☒ B (I)若AB>BC,则△ABE的周长与△BEC的周长之差为 (2)若△ABC的周长为20cm,BE将△ABC分成周长差为4Cm的两部分，求△ABC的边长. 5.如图，在△ABC中，BE是∠ABC角平分线，点D在边AB上（不与点A,B重合），CD与 BE交于点O y (1)若CD是AB边上中线，BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长之差为； (2)若∠A=78°，CD是∠ACB的角平分线，求∠BOC的度数. 考点二、中线模型（与面积有关） 6.如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的面积为6，则△ABC的面积为() D A.2 B.3 C.6 D.12 7.如图，AD是的△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2,则△CDE 的面积为() A B D A.8cm2 B.6cm2 C.5cm2 D.4cm2 8.如图，F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于D,若△ABF的面积为5，则四边形 CDFE的面积是() B D A.2 B.5 C.3 D.4 9.如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为点E、F,若 AB=6m,AC=4m,则B是《) 3 A. 2 B. 23 D 3-5 10.如图是一块面积为28c的三角形纸板，其中点D,E,F分别是线段AF,BD,EC的中点， 则阴影部分的面积是 cm2. B 考点三、高线模型 11.如图，在△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC=5cm,AD=3cm,CE=4cm, 则AB的长等于 cm. A B D 12.如图，AD、CE是△AC的丙条高，AB=4,CB=台，CE+AD=7,则△ABC的面积 为() D B E A. 9 B.12 c.10 13.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,边BC上的高AD=8,点P为BC上-点， 且PE⊥AB,PF⊥AC.则PE+PF的值为 14.如图AE,CD是△ABC的高，AE=6,CD=4, A BC的值 15.如图，AF、AD分别为△ABC的边BC上的高线和中线，BG为AC边上的高线，己知 AF=6'BD=10'BG=5' 10 ☒ G C B (I)求△ADC的面积： (2)求AC的长. 考点四、双内角平分线模型 16.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,己知∠A=50°，则∠BPC的度 数是() A.100° B.115° C.120° D.130° 17.如图，在△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB,连接AM,已知 ∠MBC=25'∠MCA=30。,则∠MAB的度数为（) 1☒ M B A.25° B.30° C.35 D.40° 18.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点 A与点p重合，若∠1+∠2=80：则∠BPC的度数是（） B 2 A.100° B.110° C.120° D.130° 19.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,根据下列条件，求∠BPC的度 数. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，则∠BPC=; (2)若∠ABC+LACB=120°，则∠BPC=-: (3)若∠A=80°，则∠BPC=: (4)从以上的计算中，你能发现己知∠A,求∠BPC的公式是：∠BPC=(提示：用 ∠A表示)· 12☒ p 20.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. B (1)若∠A=70°，求∠BOC的度数： (2)若∠A=m,求∠BOC的度数： (3)若∠BOC=3∠A,求∠A的度数. 考点五、内外角平分线模型 21.如图，在△ABC中，∠A=52°，外角∠CBE和∠BCF的平分线交于点D,则∠D的度 数是() B A.64° B.62 C.56 D.52° 13 ☒ 22.如图，在△ABC中，∠B=42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则 ∠AEC= -·AD‖CE' 则∠ACB= D E B 23.如图，在△ABC中，∠B=44°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, 求∠AEC的大小. D B 24.如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB,AC到D,E,∠CBD与∠BCE的平分 线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ①若∠A=50,则∠P=650=90°-50°： 2 14☒ ②若∠A=900,则∠P=450=90°-90 : ®若∠A=100,则∠P=40°=90°-1009 2 (1)根据上述规律，若∠A=150°，则∠P= (2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系： (3)请说明（2)中结论的正确性. D B 25.综合与探究 >s☒ 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题. (1)数学课代表发现在图1中，若∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,则∠BPC与∠A之 间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整. :BP'CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∠PBC=∠ABC,∠BCP=号∠ACB. .∠PBC+∠BCP+∠BPC=180 ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP' .∠BPC=.. 【问题探究】 (2)如图2，在(1)的条件下，作△ABC的外角∠CBM,∠BCN的平分线交于点Q,试说 明∠Q+∠BPC=180° 【问题拓展】 (3)如图3，在(2)的条件下，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中. ①请说明∠E与∠A之间的数量关系. ②当∠E与∠Q两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出∠A的度数. B O 图1 图2 图3 16 ☒ 考点六、双外角平分线模型 26.如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于点 E,连接BE.若∠ACB=28°，∠EBC=25°，则∠EBD的度数为°， B D 27.如图，在△ABC中，∠A=75°，点D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线交 于点P,则∠P的度数是 D 28.如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，交BA延长线于 点E,若∠BDC=130°，∠E=50°，则∠BAC的度数为· A D 29.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1, 17< ∠A,BC和∠A,CD的平分线交于点A,:得A,',∠A2BC和LA2CD的平分线交于 点A2023,得∠A2023,∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024,得∠A2024,则∠A2024 的大小为 A 30.【探究】如图①，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线BP与 ∠ACD的分线CP相交于点卫.则有∠P-A, 请补全下面证明过程： 证明：.BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, .∴.∠ABC=2∠PBC'∠ACD=2∠ .∠ACD=∠A+∠ (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴.2∠PCD=∠A+2∠PBC 即2PCD号<A+∠PBC(等式性质). :∠PCD=∠一-一+∠PBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， P=1 ∠A. 【应用】 如图②，在四边形MNCB中，设∠M=a,∠N=β，若Q+B>180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP,CP相交于点P.为了探究∠P的度数与和B的关系，小明同 学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边BM与CN交于点A.如图③，若 18 2BMN=1062MNC=124:则∠A=-。,因此2P 【拓展】 如图④，在四边形MNCB中，设∠M=a,∠N=B,若C+B<180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P,请直接写出∠P=· (用含有a和β 的代数式表示) M 图① 图② 图③ 图④ 考点七、角平分线+平行线模型 31.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上 且DEBC,则∠EDC的度数为() ☒ 19 D E B A.20° B.22° C.27° D.37o 32.如图，BE是△ABC的角平分线，ED‖BC交AB于点D.若∠A=56°，∠BED=22°， 求∠C的度数. D E 33.如图，从E点观测C处、D处的仰角分别为30°，75°，从C处观测D处的仰角为30°，则 从D处观测C,E两处的视角∠CDE是多少度？ D 30C 75公430° A E B > 20 ☒ 34.如图，在△ABC中，∠C=66°，AD、BE均为△ABC的角平分线，AD、BE相交于点 F,过点D作DGBE,交AC于点G,求∠ADG的度数. 35.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点， B (I)给出以下3个条件：①BE是△ABC角平分线，②∠DEB=∠DBE,③DE与BC平行；从 中选择两个作为条件，另外一个作为结论.你选择的条件是，结论是 (填序号)； (2)请证明你的结论. 考点八、燕尾模型 36.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=20°，则∠BOC=() A.130° B.120° C.110° D.100 37.解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点D在∠BAC的内部，且在线段BC的右侧. B D 图① 图② (I)求证：∠BDC>∠A: (2)求证：∠BDC=∠B+∠C+∠A. (3)【拓展延伸】 如图②，如果点D在∠BAC内部，且在线段BC的左侧，对于(2)中给出的4个角又会有怎样 的结论？ 22 38.如图1，已知∠DAB=20°，∠B=60°，∠BCD=40°，要求出∠ADC的度数，现有图2 中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是() 甲：C 乙：C 丙：C D 延长AD,交过点D作DF∥AB, 连接AC. BC于点E. 交BC于点F. 图1 图2 A.只有甲、乙能求出 B.只有甲、丙能求出 C.只有乙、丙能求出 D.甲、乙、丙都能求出 39.如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角 形” D E 图1 图2 图3 ☒ 23 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系，并说明理由： 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B, C:若∠A=60,则∠ABX+∠ACX= o ②如图3，∠ABE,∠ACE的二等分线（即角平分线）BF,CF相交于点F,若∠BAC=60°， ∠BEC=130:求∠BFC的度数. 40.[问题初探](1)观察“基础图”图1，试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系， 并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： D 图1 [类比分析](2)如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、 Xz恰好经过点B:C:若∠A=40,直接写出∠ABX+∠ACx的结果。 24 图2 [拓展探究](3)如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=70°， ∠DBE=120:求∠DCE的度数. B D E 图3 考点九、对顶三角形模型 41.如图，AB⊥BD,AC⊥CD,若∠A=25°，则∠D的度数是() B D > ☒ 25 A.25° B.65° C.55° D.45° 42.如图，∠3=20°，∠4=30°，则∠1-∠2= 2 43.如图1，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“八 字图形”， D D B E 图1 图2 图3 (1)如图1，探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系. (2)如图2，AE平分∠CAB,DE平分∠BDC,AE,DE交于点E. ①若∠C=30°，∠B=20°，求∠E的度数： ②如图3，若将条件中角的关系改成“∠CAE=号<CAB,∠CDE=4<BDC”,试判 4 ∠E与∠B'∠C之间存在的数量关系，并说明理由。 > 26 ☒ 44.己知：如图1，线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图1的图形称之为 “8字形”.试解答下列问题： D 图1 图2 (1)在图1中，请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系： (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有 个 (3)在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且 与CD,AB分别相交于点M,N.利用(I)的结论，试求∠P的度数； (4)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D,∠B之间存在着怎样的 数量关系，并证明. 27☒ 45.如图，已知线段AB、CD相交于点O,连接AB、CD,我们把形如这样的图形称为“八 字图形”. D C M B N D D 图① 图② (I)求证：∠A+∠C=∠B+∠D； (2)如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别交于点M, N. ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与(1)类似的结论： ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数： ③根据②的结果直接写出∠B,∠C,∠P之间的关系（不需要证明）， 28 ☒ 考点十、角平分线综合模型 46.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,△ABC的外角∠MBC与 ∠NCB的平分线交于点e.延长线段BP'QC交于点E. (1)∠QBE的度数为 (2)在△BQE中，若∠Q等于∠E的3倍，则∠A的度数为 47.(1)如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. 图① 图② 图③ > 29 ☒ ①如果∠A=80°，求∠BPC的度数； ②如果BC-5,过P作GHIBC交AB、AC于G、H,则△AGH的周长为_； ③如果∠ABC=60°，BP=3,则△ABC的面积为_： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,直接写出∠Q、∠A之间 的数量关系 (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， 请直接写出∠A的度数. 48.探究以下问题： E 图(a 图(b) 图(c) 图(d) (I)探究一：如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,请确定∠A与∠D的数量关系， 并说明理由； (2)探究二：如图(b),BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,请确定∠A与∠E的数量关系 30 (3)探究三：如图(c),BF平分∠CBP,CF平分∠BCQ,请确定∠A与∠F的数量关系 解决问题： (4)如图(d),在△ABC中，∠A=56°，BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q分 别在DB,DC,BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分 ∠EBC'∠ECQ'则∠F= 49.已知直线AB‖CD,直线EF分别与AB,CD相交于B、F. -0 图1 图2 图3 31☒ (I)【初步探究】如图1，PE,PF分别平分∠BEF和∠EFD,则PE和PF的位置关系是什么？ 说明理由， (2)【推广应用】如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP,FP分别平分∠BGH和 ∠EFH:若∠P=54,∠GQF=70o,求∠EGH和∠EFH的度数. (3)【拓展提升】如图3，点G在线段EF上，点H是直线CD上的动点（不与F重合），FP、HP 分别平分∠EFH和∠GHD,设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数. 50.已知，在△AOB中，∠AOB=90°，AC,BC分别平分∠BAO与∠ABO. 2☒ B D C 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠BAO=40°时，则∠ABC= (2)如图2，延长AC与OB交于点D,过C作CE‖OB交AB于点E,用等式表示∠ADO与 ∠BCE的数量关系，并证明； (3)如图3，△AOB的外角平分线ON与AC的延长线交于点N,过点A作AM⊥AN交ON的反 向延长线于点M,∠M>∠N.在△AMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直 接写出∠BAO的度数. > ☒ 33 四、查缺补漏 1.如图，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SAABC=4,则△BFE(图中阴影部分) 的面积为 B 2.如图，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分线交分线交于点E,∠EAC和∠ECA的平 分线交于点M,若∠B=48°，则∠M的度数为() A.114° B.122° C.123° D.124° 3.如图，由平面上五个点A.B.C.D.E连接而成，则∠A+∠B+∠C+D+∠E= E D 4.如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,且BD,CD相交于 34☒ 点D.若∠D=40°，则∠A的度数为 C E 5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACF的平分线交于点G,△ABC 的外角∠CBD与∠BCE的三等分线交于点J,即∠DBJ=2∠CBJ,∠ECJ=2∠JCB.若 ∠J=88:则∠G=(） B A.42° B.45° C.48° D.51° 6.如图，∠ABC=∠ACB,BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、 外角∠EAC.下列结论中，不正确的结论是() E A.∠ADB=1 ∠ABC B.∠BDC=3∠BAC C.∠CDB=2∠ABC D.∠ADC+ 2<ABC=90 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AD、BD分别平分外角∠EAC,内角∠ABC.以下结论： ①AD|BC:②∠ADB=∠ACB,③DB平分∠ADC,@∠ABC+∠BDC=90,其中 35 正确的结论是（填序号）. E B 8.如图，己知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB=6,△ABD的周长比△ACD的周长多 2,则AC=一· D 9.己知：∠A=50°，点B、C在∠A的两边上，点P为平面内一点，且∠PBA=40, ∠PCA=30。:则∠BPC= B P 10.如图，在△ABC中，BP平分∠CBA,AP平分∠CAB,且DE‖AB,若∠BPA=124, ∠CBA:∠CAB=4:3'则∠DEA=— 11.如图，点M,N分别在OA,OB上，MC平分∠AMN,NC平分∠BNM,若 > 36 ∠AOB=68,则∠MCN的度数为 0 M A B 12.如图，AB和CD相交于点O,∠ACO=∠AOC,∠D=∠BOD,CB,BE分别平分 ∠AC0和∠DB0若∠A+∠E+∠D=150,则∠A=—° 13.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O. A (1)若∠ABC=45°，∠ACB=55°，求∠BOC的度数： (2)若∠A=70°，直接写出∠B0C=: (3)若∠A=a,∠BOC=β，请猜想C和β之间的数量关系，并说明理由. > 37☒ 14.已知在△ABC中，∠A=60°. O 图1 图2 图3 在图(1)中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O1,则计算可得∠BO1C=120°： 在图(2)中，设∠ABC、∠ACB的三等分线相交于点O1,O2,则计算可得∠BO2C=100°； 在图(3)中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，等分线分别对应交于O1、O2、… On'则∠B01C= (用含n的代数式表示)· 15.【初步认识】 (1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=100°，则∠P= 如图②，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系 是 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关 系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长 BP、NC交于点M:在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出2A的度 数 B 3 ④ ☒ 39 16. 【认识模型】 (I)如图①，AB,CD相交于点O,连接AD,CB,可以得出∠A,∠B,∠C,∠D四 个角之间的等量关系是_：（直接写结果） 【应用模型】 (2)如图②，BE,CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线，交BE于点HEF为∠BED的 平分线，交CD于点G.写出∠B,∠D,∠F间的数量关系，并证明你的结论： (3)如图③，求∠FAB+∠ABE+∠GCD+∠CDF+∠BEG+∠DFA+∠EGC的度数. G 0 图① 图② 图③ 40 ☒ 17.如图，已知∠MON=60°，A,B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射 线OM运动，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC,AC. M 备用图 (1)当∠OAB=70时，求∠ACB的度数； (2)点A,B在运动的过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值：若发生变 化，请说明理由； (3)连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P,在△BCP中，如果有一个角是另一个角 的2倍，直接写出∠BAO的度数， 41☒ 五、课后作业 1.如图，△ABC的周长是40，AD是边BC上的中线，AB=14,CD=8,则△ABD与 △ACD的周长之差为() D A.2 B.3 C.4 D.6 2.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作DEIBC交AC于点E,若 ∠AED=80°，则∠CDE的度数为() D E A.30° B.40° C.60° D.80° 3.小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D+∠E等 于 > ☒ 42 4.在△ABC中，点D为BC上一点，连结AD并取AD的中点E,连接BE,CE,取CE的中点 F,连结BF·若△ABC的面积为24，则△BEF的面积为(） A.4 B.6 c.7.5 D.8 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点P,若∠BPC=C,则∠A 的度数是() A.a B.90o1。 C.90+1。 D.180°-2a 6.如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，∠CAD的平分线与∠CBD的平分线相交于点 E.当∠E+∠C=60°，∠EBA=25°时，∠CAD的度数为 43 7.如图，己知ABCD,BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,若2∠E-∠F=60°，则 ∠CDE的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60 8.如图，在△ABC中，BC=5,AB=6,BD是AC边上的中线，E是AB的中点，若 ∠C=∠BDC'则△BDE的周长为() E A.10 B.10.5 c.11 D.11.5 9.在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=24cm,AB=25cm,点P是AB边上 的一个动点，则线段PC最短为 cm. 10.如图，∠BAD,∠BCD的角平分线相交于点P,若∠B=5∠D=65°，则∠P的度数为 >4K 11.如图所示，∠A=100°，作BC的延长线CD,∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1, ∠A,BC与∠A,CD的角分线相交于A,.以此类推，∠A,BC与∠A,CD的角分线相交于A。 则∠A6= 度 A 12.如图，四边形ABCD中，∠A=80°，∠B=20°，∠D=25°，则∠BCD等于。度. A C B D 13.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE‖BC,交AB于点 E,交AC于点D. >工 ☒ 45 (I)试确定BE、ED、CD之间的数量关系； (2)若AB+AC=a,求△AED的周长. 14.如图，∠MON=40°，OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动 点（点A、B、C不与点O重合），且AB/ION,连接AC交射线OE于点D. M E D C (1)求∠ABO的度数： (2)当△ADB中有两个相等的角时，求∠OAC的度数. 15.如图，△ABC中D,E分别在AB,AC上.己知DE‖BC,∠EDC=40°， ∠AED=80°· D B (I)求证：CD平分∠ACB: ☒ 46 (2)过点B作∠ABC的平分线交CD于点F,若∠A=52°，求∠BFD的度数. 16.(1)如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的 关系是 （直接写出结论)： C D B 图1 图2 图3 图4 (2)如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A 的关系是 ,请证明你的结论. (3)如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系 是， 请证明你的结论. (4)利用以上结论完成以下问题：如图4，己知：∠DOF=90°，点A、B分别是射线OF、 OD上的动点，△ABO的外角∠OBE的平分线与内角∠OAB的平分线相交于点P,猜想∠P 的大小是否变化？请证明你的猜想 47 第04讲：与三角形有关线段与角的模型 一、考点梳理 三角形中线、高线、角平分线几何模型 名称 基本图形 条件 结论 中线模型 （1）； （2） 高线模型 （1）; （2） 双内角平分线模型 内外角平分线模型 双外角平分线模型 内角平分线与平行线模型 对顶三角形模型（8字模型） 燕尾模型 二、知识点总结 知识点一、中线模型 条件：中，是边上的中线. 结论：（1）； （2）. 推导：（1）过点作交于点， ∵是中线，∴， ∵和的高都为， 又∵, ∴. （2）∵是中线，∴， ∵， ∴. 知识点二、高线模型 条件：中，是高线. 结论：（1）; （2）. 推导：（1）（思路：等面积法） ∵是高线， ∴, ∴ （2）（思路：三角形内角和180°） 在△ABD和△ACD中， 有， 又∵是高线， ∴， ∴， ， ∴. 知识点三、双内角平分线模型 条件：的平分线交于点. 结论：. 推导：（思路：三角形内角和定理） ∵的平分线交于点 ∴, ∴ 知识点四、内外角平分线模型 条件：中，点是和外角的平分线. 结论： . 推导：（思路：三角形外角定理） ∵点是和外角的平分线， ∴, 由外角性质得， 知识点五、双外角平分线模型 条件：点是两外角平分线的交点. 结论： . 推导：（思路：三角形内角和定理） ∵点P是△ABC两外角平分线的交点， ∴ ∴ 知识点六、内角平分线与平行线模型 条件：在中，，是平分线. 结论：（1）； （2）. 推导：∵，∴； ∵是平分线，∴； ∴； ∴. 知识点七、对顶三角形模型（8字模型） 条件：与相交于点. 结论：. 推导：由三角形内角和得， ； 由对顶角相等得，； ∴. 知识点八、燕尾模型 条件：凹四边形ABPC 结论： 推导思路：法一连接BC；法二：延长BP或者CP；法三：连接AP并延长 三、常考的题型 考点一、中线模型（与周长有关） 1．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 2．如图，是的中线，点D是上一点，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，在中，，AD为的中线，则与的周长之差为______． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差． 【详解】解：为中线， ， 与的周长之差 ； 与的周长之差 ． 故答案为：1． 【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 4．如图，在中，，是腰上的中线． (1)若，则的周长与的周长之差为___________； (2)若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 【答案】(1) (2)、、或、、 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． （1）根据三角形中线的定义可得结论； （2）点把分为长度相等的两条线段．将的周长分成差为的两部分，则或，分别列等式可解答． 【详解】（1）解：是腰上的中线， ． ， 的周长与的周长之差为：． 故答案为：； （2）根据已知可得，，或，， 解得，或，， 所以的三边分别为、、或、、． 5．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．      (1)若是边上中线，，，则与的周长之差为______； (2)若，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（）利用是中线，得，再根据三角形周长公式作差即可； （）根据题意得到，，再根据三角形内角和定理即可求解； 此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及中线的性质，灵活运用三角形内角和定理进行角度的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与的周长差为：， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 考点二、中线模型（与面积有关） 6．如图，已知是的中线，且的面积为6，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，因为是的中线，且的面积为6，所以，即可作答． 【详解】解：∵是的中线，且的面积为6， ∴， 故选：D． 7．如图，是的的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴的面积为：， ∵是的中线， ∴的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 8．如图，是的重心，连接并延长交于，若的面积为5，则四边形的面积是（  ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了重心的概念，三角形中线的性质，熟练利用面积的转化得到的面积和四边形的面积相等是解题的关键．根据重心的概念，得到，是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 【详解】解：∵是的重心， ∴，是的中线， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 9．如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【详解】解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是_____． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 考点三、高线模型 11．如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于______． 【答案】3.75 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的高的有关计算，根据三角形面积公式得出，即可求解． 【详解】解： 、是的两条高， ， ， 故答案为：3.75． 12．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，是的高，，，求的值． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【详解】解：，是的高， ． ，， ． 15．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)30 (2)24 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】（1）先根据中线的定义得到的长度，然后根据三角形面积公式解答即可； （2）先根据中线的性质可知，然后根据三角形面积公式，据此即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线，，， ， 的面积为； （2）解：由题意得， ，， ． 考点四、双内角平分线模型 16．如图，中，与的平分线交于点，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ∵分别是的平分线， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于． 17．如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 【详解】解： 平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 18．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、折叠问题 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 19．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC＝　 　； （2）若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠BPC＝　 　； （3）若∠A＝80°，则∠BPC＝　 　； （4）从以上的计算中，你能发现已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝　 　（提示：用∠A表示）． 【答案】（1）125°；（2）120°；（3）130°；（4）90°+∠A． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）由∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠2+∠4=25°+30°＝55°，在△BCP中，由三角形内角和为180°可得答案； （2）同理，由ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝×120°＝60°，在△BCP中，由三角形内角和为180°可得答案； (3) A＝80°，可得ABC+∠ACB＝100°，∠2+∠4＝×100°＝50°，可得∠BPC的度数； （4）ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4＝×（180°﹣∠A），在△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A 【详解】解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝25°+30°＝55°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣55°＝125°， 故答案为125°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×120°＝60°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣60°＝120°， 故答案为120°； （3）∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×100°＝50°， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣50°＝130°， 故答案为130°； （4））∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠2+∠4＝×（180°﹣∠A）， ∴△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A． 故答案为90°+∠A． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理与角平分线的性质： 三角形的内角和是180, 得到相应规律是: 三角形两个内角平分线所夹的钝角等于90+第三个角的一半. 20．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后结合角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）同（1）求解即可； （3）结合（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， 解得． 考点五、内外角平分线模型 21．如图，在中，，外角和的平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的内角和是 180 度，求角的度数常常要用到三角形的内角和是这一隐含的条件． 根据三角形内角和公式可得，再根据角平分线定义可得，再运用三角形内角和定理即可解答； 【详解】解：， 又， ， ， ∵分别是外角和的角平分线， ， ， 故选：A． 22．如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则_________．，则__________． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角的性质和“两直线平行内错角相等”，理解并掌握以上知识点是解答本题的关键． 本题先根据三角形外角性质可得，可求出的度数，接下来根据角平分线的定义，在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得，即得到，再根据三角形内角和得到，两个式子联立即可求出的度数． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 23．如图，在中，，的外角和的平分线交于点E，求的大小． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】利用外角及角平分线结合三角形内角和推理即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的外角和的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形内角与外角的关系，熟知三角形的内角和等于，是解答此题的关键． 24．如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－ ； ②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ ； ③若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°－ ． （1）根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝________； （2）请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系； （3）请说明（2）中结论的正确性． 【答案】（1）15°；（2）∠P＝90°－∠A；（3）见解析． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）按照规律求解即可； （2）根据题意中的规律写出等量关系； （3）根据外角的性质，证明． 【详解】（1）∠P＝90°－ =15°；　 （2）∠P＝90°－∠A； （3）因为∠DBC是△ABC的一个外角， 所以∠DBC＝∠A＋∠ACB． 因为BP是∠DBC的平分线， 所以∠PBC＝∠A＋∠ACB． 同理可得∠PCB＝∠A＋∠ABC． 因为∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， 所以∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB) ＝180°－ ＝180°－ ＝90°－∠A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，以及角平分线的定义，主要利用外角的性质，三角形的内角和来证明． 25．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】 【问题发现】，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； 【问题探究】 ，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， 【问题拓展】①，②或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和 两种情况讨论即可得出结论； 【详解】【问题发现】 略 【问题探究】 略 【问题拓展】 （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 考点六、双外角平分线模型 26．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于点E，连接BE．若∠ACB＝28°，∠EBC＝25°，则∠EBD的度数为 _____°． 【答案】53 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而可得结果． 【详解】解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C， ∵AE是∠CAB平分线， ∴EM＝EN， ∵E是CB的垂直平分线上的点， ∴EC＝EB， ∴∠ECB＝∠EBC＝25°， 在Rt△ECM和Rt△EBN中， ， ∴Rt△ECM≌Rt△EBN（HL）， ∴∠EBN＝∠ECM＝∠ACB+∠ECB＝28°+25°＝53°． 故答案为：53． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键． 27．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 28．如图，中，为内角平分线，为外角平分线，交延长线于点，若，，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，根据题意，设，由此可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，则， ∴在中，， ∵， ∴， 如图所示， ∵在中，， ∴， ∵是外角平分线， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 29．如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 30．【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展： 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： 探究：根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可； 应用：先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数，再有探究的结论即可得到答案； 拓展：延长交的延长线于A，则由三角形内角和定理可得；再由题意可得分别平分，则． 【详解】解：探究：证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 故答案为：；角平分线的定义；；； 应用：延长了边与交于点A．如图③， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 拓展：如图，延长交的延长线于A， ∵，， ∴； ∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P， ∴分别平分， ∴， 故答案为：． 考点七、角平分线+平行线模型 31．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 32．如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 33．如图，从点观测处、处的仰角分别为，，从处观测处的仰角为，则从处观测，两处的视角是多少度？ 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】两直线平行，内错角相等，先求出的度数，再利用平角定义求出的度数，最后用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ． 34．如图，在中，，、均为的角平分线，、相交于点F，过点D作，交于点G，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形内角和定理求得，接着由三角形角平分线的定义可求得，从而利用三角形外角的性质求得，最后利用两直线平行内错角相等即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵、均为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．如图，在中，点是上的一点，    (1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)①②，③ (2) 证明：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴与平行． 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、写出命题的题设与结论 【分析】（1）从3个条件中选两个作为条件，一个结论即可解答； （2）根据角平分线的定义、等量代换可得，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）解：可以选①②作为条件，③作为结论． 故答案为：①②，③（答案不唯一）． （2）略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定、角平分线的定义等知识点，掌握等量代换的方法是解答本题的关键． 考点八、燕尾模型 36．如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=20°，则∠BOC=（   ） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】延长BO，交AC于点D，可得∠BOC=∠C+∠ODC，∠ODC=∠A+∠B，从而得出答案． 【详解】延长BO，交AC于点D． ∵∠BOC=∠C+∠ODC，∠ODC=∠A+∠B，∠A=70°，∠B=40°，∠C=20°，∴∠BOC=∠C+∠A+∠B=20°+80°+30°=130°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 37．解答下列各题： 【任务解决】 如图①，点在的内部，且在线段BC的右侧． (1)求证：； (2)求证：． (3)【拓展延伸】 如图②，如果点在内部，且在线段的左侧，对于（2）中给出的4个角又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：如图①，延长交于点． ，， ． (2)证明：延长交于点． ，， ． (3)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的外角性质证明即可； （2）延长交于点，运用两次三角形的外角性质求解即可； （3）连接，运用两次三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图②，连接． ，， ， ． 38．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 39．如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)， 理由：如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； (2)①；② 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 40．［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】 （1），理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）； （3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； （3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵， 由（1）知：， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 考点九、对顶三角形模型 41．如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据，进而求解即可． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 42．如图，，，则______. 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据∠3=20°，∠4=30°及三角形内角和定理可列出∠1+∠3+∠ACB与∠2+∠4+∠DCE的关系式，再根据已知条件及对顶角相等即可求解． 【详解】∵三角形的内角和为180°， ∴∠1+∠3+∠ACB=∠2+∠4+∠DCE=180°， ∵∠3=20°，∠4=30°，∠ACB=∠DCE， ∴∠1-∠2=40°-30°=10°， 故答案为10°. 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及对顶角相等，根据已知条件及三角形的内角和为180°列出关系式是解题的关键. 43．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）略． 44．已知：如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：    (1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：________________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有____________个； (3)在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N．利用(1)的结论，试求∠P的度数； (4)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C； （2）6； （3）38°； （4）2∠P=∠B+∠D，理由： 根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P， 所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P， ∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， ∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB， ∴（∠D-∠B）=∠D-∠P， 整理得，2∠P=∠B+∠D． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可； （3）根据（1）的关系式求出∠OCB-∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； （4）根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠DAM-∠PCM=（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得证． 【详解】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C， ∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等）， ∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C， ∴∠A+∠D=∠B+∠C； （2）交点有点M、O、N， 以M为交点有1个，为△AMD与△CMP， 以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD， 以N为交点有1个，为△ANP与△CNB， 所以，“8字形”图形共有6个； （3）∵∠D=40°，∠B=36°， ∴∠OAD+40°=∠OCB+36°， ∴∠OCB-∠OAD=4°， ∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， ∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB， 又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P， ∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=（∠OAD-∠OCB）+∠D=×（-4°）+40°=38°； （4）略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 45．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； (2)①(答案不唯一)；②；③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 考点十、角平分线综合模型 46．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为____________． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为____________． 【答案】 /90度 /45度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线定义即可解答， （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 47．（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． ①如果∠A=80°，求∠BPC的度数； ②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ； ③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数． 【答案】（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题； ②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可； ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵∠A＝80°． ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°， ②∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵GH∥BC， ∴∠GPB =∠CBP， ∴∠ABP=∠GPB， ∴BG=GP， 同理，CH=PH， GH=BG+HC， △AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC， △ABC的周长为15，BC=5， 15-5=10， ∴△AGH的周长为10； 故答案为：10， ③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP， ∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴PD=PR，PD=PF， ∵∠ABC=60°， ∴∠PBD=30° ∵BP=3， ∴PD=1.5， ∴PR=PF=1.5， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB） ＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB） ＝[360°﹣(180°-∠A）] ＝（180°+∠A） ＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+∠MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°． 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉及的知识进行分类讨论是解题的关键． 48．探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 49．已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)，理由如下： 、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． 即； (2)， (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 50．已知，在中，，，分别平分与． (1)如图1，当时，则___________； (2)如图2，延长与交于点，过作交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，的外角平分线与的延长线交于点，过点作交的反向延长线于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定，再根据角平分线的定义求解即可； （2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，，再由三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的定义和性质，即可确定答案； （3）首先确定，，然后分、和三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴ ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴， ∴，不合题意，舍去． 综上所述，的度数为或． 四、查缺补漏 1．如图，D，E，F分别为，，的中点，且，则（图中阴影部分）的面积为______． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理得：，， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 2．如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 3．如图，由平面上五个点A．B．C．D．E连接而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________． 【答案】180° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】延长CE交AB于F，根据三角形外角的性质求出∠BFC＝∠A＋∠C，∠EGB＝∠D＋∠DEG，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：延长CE交AB于F， ∵∠BFC是△ACF的外角，∴∠BFC＝∠A＋∠C， ∵∠EGB是△EDG的外角，∴∠EGB＝∠D＋∠DEG， ∵∠B＋∠BFC＋∠EGB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°， 故答案为180°. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理，解答此题的关键是通过作辅助线构造出△BGF，利用三角形外角的性质把所求的角归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解． 4．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为______． 【答案】/80度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得、，继而得到，进而完成解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴、 ． 故答案为． 5．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出，结合三等分线可求出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 6．如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 7．如图，在中，，、分别平分外角，内角．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是_____（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义得出，结合已知得出，进而证明，即可判断①，根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可判断②，由推出，进而得到，推出，由得到，推出，可判断③④． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平分， ， ，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，即不平分，故③错误； ，， ，故④正确， 故答案为：①②④． 8．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝6，△ABD的周长比△ACD的周长多2，则AC＝___． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】依据AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=DC，再根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差，进而求出AC的长度． 【详解】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD=DC， ∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）=AB-AC=2， ∵AB=6， ∴AC=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义的运用．在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线． 9．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，，则___________．    【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】如图，延长交于，再根据三角形的外角的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和是解本题的关键． 10．如图，在中，平分，平分，且，若，，则________． 【答案】132 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义得到，，然后得到，求出，得到，然后根据平行线的性质和邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：132． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了三角形内角和、角平分线定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据邻补角定义及角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分，平分， ， ； 故答案为： 12．如图，和相交于点O，，，，分别平分和．若 ，则________°． 【答案】/20度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理，能熟记三角形的内角和等于是解此题的关键． 设与交于点与交于点，根据角平分线的定义得出，设 ，则，求出，根据三角形内角和定理得出 ，求出，根据三角形内角和定理求出 ，求出，求出，求出，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：设与交于点与交于点， ∵分别平分和， ， 设，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 即， ， ， ， 解得：， 即， ， ， ， ，得， ， 故答案为：． 13．如图，在中，的平分线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，直接写出______； (3)若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 理由如下： 同（2）可得当时，，，， ∴ ， 即． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理与角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求出和，再利用三角形内角和定理求解； （2）根据推出，根据角平分线的定义得出，，最后利用三角形内角和定理求解； （3）当时，，同（2）可得． 【详解】（1）解：∵的平分线相交于点O，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由角平分线的定义得，， ∴ ； （3） 略 14．已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则____________（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 15．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 16．【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 【答案】（1）； （2），证明如下： ∵平分平分， ∴， 同（1）可得，， ∴ ∴； （3） 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论； （3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）略 （3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H， 同（1）可得， ∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和）， ， ∴， ∵， ∴． 17．如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)的度数不变， (3)°或 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴； （2）解：的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴ ； （3）解：为或． 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①若，则，解得：（舍）， ②若，则，解得：， ③若，则，解得：， ④若，则，解得：， 综上，在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 五、课后作业 1．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中线的意义求得，，再利用三角形的周长求得，从而可求得与的周长之差． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，，，则等于______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，利用三角形外角的性质求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．在中，点为上一点，连结并取的中点，连接，，取的中点，连结．若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积．熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴，， ∴ ∵的面积为， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为_______． 【答案】/90度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，已知，和分别平分和，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据角平分线的定义可得，，过点作，过点作，即可得，由平行线的性质可得，，，，由此可得，，， 结合，即可得，由此即可求得． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴，， 过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， 即： ∴． 8．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、根据等角对等边求边长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质以及等腰三角形的判定，根据是边上的中线，是的中点，可知是三角形的中位线，则有，,利用等角对等边可得即可求解． 【详解】解： 是边上的中线， 为边上的中点， 是边上的中点， 是三角形的中位线， ， ， ， ， 的周长为． 9．在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为_______________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可． 【详解】解：如图，当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】/26度 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图所示，，作的延长线，与的角平分线相交于，与的角分线相交于以此类推，与的角分线相交于，则________度． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质可得：，，而、分别平分和得到，，于是有，即，同理可得，以此类推可得，据此即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质可得： ∵、分别平分和 ∴，， ∵，， ∴ ∴，即 同理可得，即， ∴． ∴． 故答案为：． 12．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°，则∠BCD等于 _____度． 【答案】125 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】连接AC，延长到E，根据三角形外角的性质可得∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，延长到E， ∵∠BCE＝∠B+∠BAE，∠DCE＝∠D+∠DAE， ∴∠BCE+∠DCE＝∠B+∠BAE+∠D+∠DAE， ∵∠BCD＝∠BCE+∠DCE，∠BAD＝∠BAE+∠DAE， ∴∠BCD＝∠B+∠D+∠BAD， ∵∠BAD＝80°，∠B＝20°，∠D＝25°， ∴∠BCD＝20°+25°+80°＝125°． 故答案为：125． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 13．如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为a 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出． （2）利用（1）中结论，通过等量代换可得． 【详解】（1）解：由题意知，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， 即的周长为a． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 14．如图，，平分，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（点A、B、C不与点重合），且，连接AC交射线OE于点D． （1）求的度数； （2）当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】（1）20°；（2）120°或60° 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）首先根据角平分线性质可得∠AOB=∠BOC=20°，然后利用平行线性质可知∠ABO=∠BOC，由此进一步即可求出答案； （2）根据题意，分当∠BAD=∠ABD时或当∠BAD=∠BDA时两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵OE平分∠MON，∠MON=40°， ∴∠AOB=∠BOC=20°， ∵AB∥OC， ∴∠ABO=∠BOC=20°； （2）①当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=20°， ∵∠AOB+∠OAB+∠ABO=180°， ∴∠OAC=180°−20°×3=120°； ②当∠BAD=∠BDA时， ∵∠ABO=20°， ∴∠BAD=80°， ∵∠AOB+∠OAB+∠ABO=180°， ∴∠OAC=180°−80°−20°−20°=60°， 综上所述，∠OAC度数为120°或60°. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线性质和角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 15．如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 16．（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论． （3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论． （4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）；证明见解析；（4）的大小不会变化始终为45°，证明见解析． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB求出∠1+∠2的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数； （2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC＝180°﹣∠A，即 ∠BOC＝90°﹣∠A； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （4）利用（3）中的解题思路证得∠P的大小不会变化始终为45°． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，∵，BO、CO分别是、的角平分线， ∴， ∴； 故答案是：； （2）． 证明：如图2，∵BO平分， ∴． 同理可证：． ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案是：； （3）； 证明：∵CO平分，BO平分 ∴ ∵是的外角 ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 故答案是：； （4）的大小没有变化． 证明：∵的外角的平分线与内角的平分线相交于点P， ∴，， ∵是的外角， ∴ ， ∵是的外角， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴的大小不会变化始终为45°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $