13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形的中线、角平分线、高，通过自主预习填空回顾垂线、角平分线等旧知，以定义辨析和几何语言描述为支架，引导学生从概念理解过渡到画法掌握，衔接前后知识脉络。 以课堂分层探究（锐角、直角、钝角三角形三线画法及性质归纳）为主线，结合新知应用、典例分析与变式训练，突出几何直观与推理意识，通过概念对比（如三角形角平分线与角的平分线）培养抽象能力，助力学生用数学眼光观察空间形式，提升应用意识。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （导学案） 【学习目标】 1、 理解三角形中线、角平分线、高的定义； 2、 掌握它们的画法； 3、 了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。 【学习重点】 三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 2. 三角形的中线 定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 3. 三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴， (三角形角平分线的定义) 【课堂探究】 探究一、三角形的高 1. 锐角三角形的高 问1.请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CF ; 边AC边上的高是 BE ; 问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点； 2.直角三角形的高 问1.请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 AB ; 边AB边上的高是 BC ; 边AC边上的高是 BD ; 问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处； 3.钝角三角形的高 问1.请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CE ; 边AC边上的高是 BF ; 问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 钝角三角形的三条高不交于某一点； 钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 垂心 . 新知应用一 1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高( D ) 【方法总结】：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 2.若于，以为高的三角形有 3 个，它们分别,, 。 3.如图所示,,,点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为 ①②④ .（填序号） 4.如图所示，在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值为____． 5.如图,、是的两条高, (1)若,,.则= 54 ;= 10.8 若,则上的高为 13.5 (2)若，则= 5：4 . 探究二、三角形的中线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 2.中线分周长问题 问1.观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差. 3.中线分面积问题 问2.观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 新知应用二 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( C ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.已知 、分别是的边、上的中线， (1)若,，则= 3 ,= 5 (2)若，，且的周长为， 边上的高为4，则的长为 5 ， ． 3.如图，已知是的边上的中线，且,，,,则为 10 为 14 。 4.如图，在中，边上的中线把的周长分成和两部分，,则= 。 5.在中,，是的中线，把的周长分成两部分，若其差为，则AB的长为 或 规律与方法：无图时，注意分类讨论 6.若是的中线，若是的中线， (1)如图若的面积为, 则的面积为 24 ； (2)如图若的面积是，则的面积为 16 ； 则的面积为 8 ； 的面积为 16 (3)如图3，若于点,于点,,,，则的长是_______cm. 探究三、三角形的角平分线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心. 新知应用三 1.如图,在中, ,为中点,延长交于,为上一点,于,判断: ①是的角平分线.( 错 ) ②是边上的中线. ( 错 ) ③是边上的中线. ( 错 ) ④是边上的高. ( 对 ) 2.如图，在中，为角平分线． (1)若，则＝_ ____. (2)若，则＝__ ___. 3.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 解：．理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． (4)，，求的度数． 解（1）作图如下高线即为所求， ∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴ ． ∵是边上的高，， ∴， ∴，即， 即的长度为 （2）∵是中线，∴， ∴根据高相同，面积之比等于底之比， 有； （3）∵是中线，∴， ∵的周长与的周长的差为： ∵，， ∴． （4）：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 例2.已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于． 求证：； 证明：如图，连接， 于D，于，于F， ，， ， 又， ， ，． 例3.在中，，为的中线，且将的周长分为和两部分，求三角形的各边长。 解：如图，∵是边上的中线 ∴，设,则 ①当时，，解得, ∴ ∵中线将△ABC周长分成和 ∴的周长为 当时，，能构成三角形。 ∴各边长依次是：,, ②当时，，解得 ∴， 当时，，能构成三角形 ∴的三边依次为：,, 综上所述：△ABC的各边长分别为：,,或,,. 变式训练 1.如图，在中，为的中点，为上一点，，.若与四边形的周长相等，求的值. 解：∵为的中点，∴. ∵与四边形的周长相等， ∴, ∴, ∴. ∴，∴. 2.如图，在中()，，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长． 解：设,则， ∵边上的中线把的周长分成和两部分,， ①当,时，解得：=, ∴=,, ∴, ∴，满足条件; ∵,满足三边关系， ∴; ②,时， ,解得：,∴4=,∴, , ∵, ∴不满足三角形的三边关系，不合题意，舍去， ∴综上所述. 3.如图，的面积是，点分别位于上，，且，，求的面积. 解：连接.由已知，得 ∵ ∴, ∵, ∴, ∴ 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列说法中正确的是（ D ） A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离 B.三角形的角平分线是射线 C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外 D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2. 如图.(1）若是的中线，，则___6_____cm； (2)若是的角平分线，则__ __；若，则_ ___ (3）若是的高，则△是__直角_____三角形. 3.在中, , 边上的高,则边上的高= 10 ； 结论：等腰三角形两腰上的高相等 4.如图，,是的两条高，，,，则的长为___3___ 5.在中，,周长为， 边上的中线将分成周长差为的两个三角形，求的各边长 解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差， (1)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：，， 6cm、6cm、4cm三边能够组成三角形; (2)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：, , 三边能够组成三角形; 因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm或, cm 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 （导学案） 【学习目标】 1、 理解三角形中线、角平分线、高的定义； 2、 掌握它们的画法； 3、 了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。 【学习重点】 三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作 ， 和 之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是 ，而垂线是 几何语言： ∵(已知) ∴ (三角形高的定义) 2. 三角形的中线 定义：三角形中，连结一个 和它对边 的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是 几何语言： ∵(已知) ∴ (三角形中线的定义) 3. 三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 与 之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是 ，三角形的角平分线是 几何语言： ∵(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 【课堂探究】 探究一、三角形的高 1. 锐角三角形的高 问1.请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 2.直角三角形的高 问1.请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 3.钝角三角形的高 问1.请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的 . 新知应用一 1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高( ) 2.若于，以为高的三角形有 个，它们分别_________________________ 。 3.如图所示,,,点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为_______.（填序号） 4.如图所示，在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值为___． 5.如图,、是的两条高, (1)若,,.则=______;=__________ 若,则上的高为________ (2)若，则=______. 探究二、三角形的中线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的________.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 2.中线分周长问题 问1.观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 3.中线分面积问题 问2.观察图形与之间有怎样的数量关系 新知应用二 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.已知 、分别是的边、上的中线， (1)若,，则=_____,=_____ (2)若，，且的周长为， 边上的高为4，则的长为______，． 3.如图，已知是的边上的中线，且,，,,则为__________ 为__________。 4.如图，在中，边上的中线把的周长分成和两部分，,则= _____ 。 5.在中,，是的中线，把的周长分成两部分，若其差为，则AB的长为_______ 6.若是的中线，若是的中线， (1)如图若的面积为, 则的面积为 ； (2)如图若的面积是，则的面积为 ； 则的面积为 ； 的面积为 (3)如图3，若于点,于点,,,，则的长是_______cm. 探究三、三角形的角平分线 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的______.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 新知应用三 1.如图,在中, ,为中点,延长交于,为上一点,于,判断: ①是的角平分线.( ) ②是边上的中线. ( ) ③是边上的中线. ( ) ④是边上的高. ( ) 2.如图，在中，为角平分线． (1)若，则＝_____. (2)若，则＝_____. 3.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． (4)，，求的度数． 例2.已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于． 求证：； 例3.在中，，为的中线，且将的周长分为和两部分，求三角形的各边长。 变式训练 1.如图，在中，为的中点，为上一点，，.若与四边形的周长相等，求的值. 2.如图，在中()，，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长． 3.如图，的面积是，点分别位于上，，且，，求的面积. 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列说法中正确的是（ ） A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离 B.三角形的角平分线是射线 C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外 D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2. 如图.(1）若是的中线，，则________cm； (2)若是的角平分线，则____；若，则____ (3）若是的高，则△是__ _____三角形. 3.在中, , 边上的高,则边上的高= ； 结论：等腰三角形两腰上的高相等 4.如图，,是的两条高，，,，则的长为______ 5.在中，,周长为， 边上的中线将分成周长差为的两个三角形，求的各边长 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $