精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第二次学情监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点、在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像分别位于第一、三象限 B. 函数图像经过点 C. 函数图像过，则 D. 函数图像关于原点成中心对称 6. 某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 如图，的半径为4，点C在上，，则的长是( ) A. 2 B. 4 C. D. 3 9. 如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列四个结论中： ①抛物线开口向下 ②对称轴是直线 ③当时，y随x的增大而减小 ④当时，y随x的增大而增大 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是_________． 12. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为______个． 13. 圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是_______（结果用含的式子表示）． 14. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为________米． 15. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 17. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行．科学实验是实践的重要形式，是获取经验事实和检验科学假说，理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，该活动为学生准备了四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．筹备组将四项科学小实验依次制成如图所示的A，B，C，D四张不透明的卡片（卡片形状、大小、质地、背面完全相同），把四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．参与该活动的萌萌同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片． （1）萌萌从四张卡片中随机抽取一张，抽到“D．生气的瓶子”卡片的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图法求萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率． 18. 如图，已知顶点的坐标分别为，按要求完成下列问题（作图时必须标注出顶点字母）； （1）画出绕点O旋转的，并写出顶点坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转的； （3）在（2）的旋转过程中，求点A旋转到点经过的路径长（结果保留π）； 19. 某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果． （1）若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元； （2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？ 20. 如图是函数y＝与函数y＝在第一象限内的图象，点P是y＝的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D. (1)求证：D是BP的中点； (2)求四边形ODPC的面积． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 22. [方法探索] （1）如图1，在等边中，点P在内，且，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点A顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点A顺时针旋转得到，连接． 请完成解题过程； [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点P在等边外，且，求的长； （3）如图3，在中，，P是外一点，连接．已知．求的长． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪 背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处． 丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立半径为的扇形平面图（图3）． 问题解决 任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点． 解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在上，． 解决问题 求的长． 任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第二次学情监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意． 故选：B． 2. 点、在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A和B分别代入二次函数中求出和的值，然后比较大小． 【详解】解：∵点是二次函数图象上的点， ∴； ∵点是二次函数图象上的点， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能计算出结果再比较是解题的关键． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式是解题的关键． 5. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像分别位于第一、三象限 B. 函数图像经过点 C. 函数图像过，则 D. 函数图像关于原点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得函数图像分别位于第一、三象限，由此可判断A、C；根据当时，即可判断B；根据反比例函数图像的特点即可判断D． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴函数图像分别位于第一、三象限，故A说法正确，不符合题意； 当时，，即函数图像经过点，故B说法正确，不符合题意； ∵函数图像过，， ∴，故C说法错误，符合题意； 反比例函数的函数图像关于原点成中心对称，故D说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数图像与系数的关系等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 6. 某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种， ∴则A，B两名志愿者被选中的概率为， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的长方形面积等于k的绝对值．连接，，，的面积为24，的面积为8，根据k值的几何意义求出k值即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵的面积为24， ∴的面积为8， ∴， 故选：D． 8. 如图，的半径为4，点C在上，，则的长是( ) A. 2 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、30度所对的直角边等于斜边的一边、勾股定理，由圆周角定理得出，根据，推出，，再利用勾股定理即可解题． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 的半径为4， ，， ． 故选：C． 9. 如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的直径，是弦，于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列四个结论中： ①抛物线开口向下 ②对称轴是直线 ③当时，y随x的增大而减小 ④当时，y随x的增大而增大 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由图可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故①正确、②错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故③错误，④正确， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】（3，﹣1） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点（﹣3，1）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 在一个不透明的口袋中装有红球、白球共24个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有50次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．用总球的个数乘以摸到红球的概率，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：，即估计这个口袋中红球的数量为个， 故答案为：． 13. 圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是_______（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先由勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的侧面积是， 故答案为：． 14. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为________米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故答案为：8． 15. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点，将的面积转化为计算即可判断⑤． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，， ，故④错误； 如图所示， 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴x， ∴或； 【小问2详解】 ∴或， ∴或， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，解题关键是熟练掌握各解法． 17. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行．科学实验是实践的重要形式，是获取经验事实和检验科学假说，理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，该活动为学生准备了四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．筹备组将四项科学小实验依次制成如图所示的A，B，C，D四张不透明的卡片（卡片形状、大小、质地、背面完全相同），把四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．参与该活动的萌萌同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片． （1）萌萌从四张卡片中随机抽取一张，抽到“D．生气的瓶子”卡片的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图法求萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）运用直接列举法求概率即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“D．生气的瓶子”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由图可知，共有16种等可能的结果数，其中萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的结果数为9， 所以萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C．漂浮的硬币”的概率为． 18. 如图，已知顶点的坐标分别为，按要求完成下列问题（作图时必须标注出顶点字母）； （1）画出绕点O旋转的，并写出顶点坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转的； （3）在（2）的旋转过程中，求点A旋转到点经过的路径长（结果保留π）； 【答案】（1） 解：如图，即为所求：； （2） 解：如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握旋转作图，旋转的性质，弧长公式是解题的关键． （1）利用旋转的性质作图即可，然后求点坐标即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）先勾股定理求出，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， ∴点A旋转到点经过的路径长为， 19. 某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果． （1）若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元； （2）当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元； （2）当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用二次函数性质是解题的关键． （1）设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案； （2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元； 【小问2详解】 解：设降低元，由题得， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，最大． 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元． 20. 如图是函数y＝与函数y＝在第一象限内的图象，点P是y＝的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D. (1)求证：D是BP的中点； (2)求四边形ODPC的面积． 【答案】 (1)证明：∵点P在函数y=上， ∴设P点坐标为（，m）． ∵点D在函数y=上，BP∥x轴， ∴设点D坐标为（，m）， 由题意得BD=，BP==2BD， ∴D是BP的中点． (2)3. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案； （2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）=•m=6， 设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y）， =•y•=， =•x•=， ==6﹣﹣=3． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可证得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）先证得是等边三角形，于是可得，，进而可求得，于是有，在中根据勾股定理可得，根据同旁内角互补两直线平行可证得，则四边形为直角梯形，根据即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22. [方法探索] （1）如图1，在等边中，点P在内，且，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点A顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点A顺时针旋转得到，连接． 请完成解题过程； [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点P在等边外，且，求的长； （3）如图3，在中，，P是外一点，连接．已知．求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边三角形的性质可得, 再证明是直角三角形，再用勾股定理即可解解决问题； （2）连接，把绕着点顺时针旋转得到，可得，由等边三角形的性质可得，再证明三点共线．可得，最后由勾股定理求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点做于点，在中，，可得，由旋转的性质可得，则，在中，，最后再求解可得结果． 【详解】（1）由旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：； （2）如图，连接，把绕着点顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ； ， ，即三点共线． ， 作于M，则； 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得： ； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点做于点， ， ， ， 在中，， ， 由旋转的性质可得， ， 则， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，由旋转的性质解决问题． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 生活中的数学﹣﹣﹣﹣自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪 背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处． 丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立半径为的扇形平面图（图3）． 问题解决 任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点． 解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在上，． 解决问题 求的长． 任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时的长． 【答案】任务1： 任务2：的长为6米 任务3：①这个喷头最多可洒水平方米；②米 【解析】 【分析】任务1：根据抛物线经过三点，设，利用待定系数法求解即可； 任务2：求出点F的坐标，进而可得点E的坐标，即可得到答案； 任务3：①根据扇形面积公式计算即可；②根据等腰三角形和三角形内角和定理可得，进而根据所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】任务1：解：由题意得抛物线过点，，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 水柱所在抛物线的函数解析式为； 任务2：解：水柱所在抛物线的函数解析式为， 当时，，解得或6， 点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远， ， 在上，． ， ， 的长为6米； 任务3：解：①由题意得米， 这个喷头最多可洒水的面积为：（平方米）， 答：这个喷头最多可洒水平方米； ②过点O作于H， 由题意得米，， ，， ， 米，米， 米． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，理解题意，熟练运用知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $