高三数学一轮复习阶段作业设计（人教A版选择性必修第三册）

高三一轮复习阶段作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 高三一轮复习阶段作业设计 学段学科 高中 数学 适用年级 高三年级一轮复习 教材版本 人教A版 对应内容 选择性必修第三册全册（计数原理、二项式定理、随机变量及其分布、统计分析）＋选择性必修第二册导数及其应用 作业类型 备考复习作业 完成时长 总时长120分钟 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析与数学建模，需达成《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》学业质量标准中高三一轮复习阶段综合检测的水平要求。 教材地位：本套试卷覆盖人教A版选择性必修第三册计数原理、二项式定理、随机变量及其分布、成对数据统计分析，以及选择性必修第二册导数及其应用。二项式系数与杨辉三角承载数学文化价值；概率统计与导数是刻画随机现象与变化规律的核心方法，是高考考查的重点主干内容。 教学重难点：重点是有限制条件的排列分组与分配、二项展开式特定项系数、条件概率与分布列及数学期望、独立性检验、用导数研究函数单调性与最值；难点是组合恒等式的变形与证明、含参函数零点个数与取值范围讨论、多阶段随机试验的期望模型优化。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 高三学生已完成一轮复习，系统掌握计数原理、二项式定理、概率与随机变量、统计分析、导数等基本概念与常规方法，具备一定知识网络与运算能力。 现有困惑 容易混淆排列与组合、分组与分配，二项式系数与项系数，条件概率与相互独立事件；在含参讨论、恒成立推理等思维环节较薄弱；对真实情境（算法、质检、识别）的建模实践经验不足。 差异分析 班内约三成学生可完整解出压轴综合题，五成学生可完成基础与中档题，两成学生需强化公式运算与规范书写，作业讲评需分层推进、设置弹性要求。 3. 设计意图 本作业以高三一轮复习数学期阶段测试卷为载体，围绕计数原理、二项式定理、概率与随机变量、成对数据统计分析、导数及其应用五大主干内容命制19道原创题，采用“校园灯光节能”“图像压缩算法”“平板质检”“答题卡机器识别”“错题订正互助小组”等真实情境，通过8道单选、3道多选、3道填空、5道解答的层次结构，实现知识理解、能力运用、思维发展、情感态度四项目标的整体达成；并以权重化评价量表反向检验教与学，帮助学生在巩固一轮复习成果的同时形成“建模—运算—论证”的数学应用意识。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记计数原理、二项式定理、条件概率、常见分布、导数公式等基础知识，能复述并辨别超几何分布、正态分布、独立性检验等概念 数学抽象、数学运算 正确率、概念复述 能力运用 B 运用分组分配、概率公式、分布列与期望、卡方检验、导数工具等方法/策略解决质检、识别、统计等真实情境问题 数学运算、数据分析、数学建模 过程记录、方法选用 思维发展 C 比较、概括、推理、评价、创新：完成组合恒等式证明、含参零点讨论与方案优化等多步推理 逻辑推理、数学抽象 论证思路、创新思维体现 情感态度 D 认同/体验数学在人工智能、节能管理等场景中的应用价值，形成理性决策意识与错题反思订正习惯 数学建模应用意识 反思语、作品倾向 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 单选 灯光节能分组方案数对应二项式系数，由组系数求参数 A 以节能情境考查二项式系数概念 概念辨析准确，列式正确即可得分 2 单选 求二项展开式中特定项的系数（压缩阈值情境） A 考查二项式通项公式 通项令指数相等求解，过程规范 3 单选 不同传感器分配到不同基站，每站至少1个且两元素不同站 B 考查有限制条件的分组分配 先分组后分配或排除法，方法选用合理 4 单选 平板两道检测，已知续航合格求屏幕合格的条件概率 B 考查全概率与条件概率 事件设定清晰，公式代入正确 5 单选 二项分布的期望方差关系求参数 A 考查二项分布数字特征 公式记忆准确，运算无误 6 单选 成绩近似正态分布，按对称区间概率估计人数 B 考查正态分布3σ与对称性 区间转化正确，估计合理 7 单选 由切线斜率定参数，求函数在闭区间上的最大值 C 考查导数几何意义与最值 求导—定点—比较端点极值，推理完整 8 单选 方程在区间内恰有两解求参数范围 C 考查数形结合与分类讨论 图像分析到位，临界值取舍正确 9 多选 超几何分布、独立事件、条件概率命题辨析 A 考查概念本质辨析 逐项判断，漏选得相应分 10 多选 二项式定理与杨辉三角结论判断 A 融入杨辉三角数学文化 赋值法与系数性质运用正确 11 多选 函数导数、单调性、切线平行等命题判断 C 考查导数性质综合判断 论证有据，选项排查完整 12 填空 二项展开式中特定项系数 A 巩固通项公式 结果准确，指数运算无误 13 填空 至少一名男生条件下恰有两名女生的条件概率 B 考查古典概型与条件概率 样本空间缩小正确 14 填空 曲线切线过定点求参数 B 考查切线方程综合 设切点列方程，求解规范 15 解答 书架贴芯片：组合数表达式、偶数方案数、kC(n,k)=nC(n-1,k-1)证明及意义 A、B、C 探究题：从特例归纳到一般证明 组合意义解释准确，恒等式证明逻辑严密 16 解答 社团任务得分随机变量：概率、分布列与期望、已知获奖格求答对拓展题概率 B、D 跨学科情境，考查分布列建模 分布列完整，期望计算正确 17 解答 互助小组与导数达标列联表：达标率比较、卡方计算、独立性检验 B、D 新情境统计，渗透反思订正习惯 卡方值计算准确，结论表述规范 18 解答 答题卡识别用时：人工核验概率、分布列期望、改进后平均用时不超阈值求参数最小值 B、C、D 开放题：多阶段试验优化决策 分阶段概率清晰，期望建模与不等式求解正确 19 解答 损失函数：单调区间与零点个数、恒成立求参数范围、区间内恰两零点求参数范围 C 压轴题：导数综合与分类讨论 求导变形正确，讨论完整，结论严谨 五、作业评价 维度 A(优秀) B(良好) C(待改进) 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 六、作业内容 高三一轮复习阶段作业 一、单项选择题 1．(原创) 在开展“校园灯光节能”模型研究时，某小组把一排 盏路灯中被选中调光的方案数按选中盏数 分组，发现每组方案数正好对应 展开式中的二项式系数。若第 组对应的方案数为 ，则它的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．(原创) 某图像压缩算法把多项式 展开式中 项的系数绝对值作为一个“压缩阈值”。这个阈值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．(原创) 某校科创节要把 个不同的传感器分配到 个不同的实验基站，每个基站至少有 个传感器。已知传感器 与 不能放在同一个基站，则不同的分配方案数为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．(原创·新情境题) 某批次学习平板要经过“屏幕检测”和“续航检测”。随机抽取一台，屏幕检测合格的概率为 ；若屏幕检测合格，则续航检测合格的概率为 ；若屏幕检测不合格，则续航检测合格的概率为 。已知这台平板续航检测合格，则它屏幕检测合格的概率为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．(原创) 设随机变量 ，且 。若 ，则 等于（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．(原创) 某校高二一次数学测验成绩 近似服从正态分布 。统计显示 ，且 。若从同一总体中随机抽取 名学生，则成绩低于 分的人数约为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．(原创) 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 。则 在区间 上的最大值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．(原创) 已知函数 。若方程 在区间 内恰有两个不同实数解，则 的取值范围是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、多项选择题 9．(原创) 下列说法正确的是（　　） A．从含有 件合格品、 件不合格品的总体中不放回抽取 件，若 表示抽到合格品的件数，则 服从超几何分布，且 B．若 ，则 C．若随机变量 相互独立，则 D．若 ，则事件 与事件 一定互斥 10．(原创) 关于二项式定理与杨辉三角，下列结论正确的是（　　） A．在 的展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等 B． 的展开式中各项系数之和为 C． 的展开式中 项的系数为 D．当 时， 的展开式中奇次项系数之和为 11．(原创) 已知函数 ，。下列说法正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． D．曲线 在点 处的切线与直线 平行 三、填空题 12．(原创) 在 的展开式中， 项的系数为____________。 13．(原创) 从 名女生、 名男生中随机抽取 人参加志愿讲解。已知抽到的人中至少有 名男生，则其中恰有 名女生的概率为____________。 14．(原创) 已知函数 （）。若曲线 在点 处的切线经过点 ，则 ____________。 四、解答题 15．(原创·探究题)某图书馆对一排 个互不相同的书架进行电子标签巡检。若从中选出 个书架贴上临时芯片，方案数记为 。为了观察规律，工作人员先记录了 时的书架编号如下表。 书架编号 1 2 3 4 5 6 7 8 是否贴芯片 （1）写出 的表达式，并说明 的组合意义； （2）当 时，求“贴芯片的书架个数为偶数（含 个）”的方案数； （3）利用 的展开式证明 ，并用一句话解释这个等式在“统计所有芯片使用次数”中的意义。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 16．(原创·跨学科题)某校在“数学建模与人工智能”社团活动中设置 道任务题：两道基础题 每题答对得 分，一道拓展题 答对得 分；答错不得分，不倒扣分。某同学独立完成三题，答对 的概率分别为 。设该同学本次任务得分为随机变量 。 （1）求 ； （2）写出 的分布列，并求 ； （3）若规定得分不低于 分才能参加展示，已知该同学获得展示资格，求他答对拓展题 的概率。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ 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秒；转人工核验在两轮基础上再用 秒。设处理一份答题卡的总用时为随机变量 。 （1）求一份答题卡转人工核验的概率； （2）求 的分布列与数学期望； （3）若通过算法改进把第一轮成功概率提高到 （第二轮成功概率与用时不变），要使平均总用时不超过 秒，求 的最小值。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 19．(原创)在机器学习模型调参中，常用函数刻画“损失值随参数变化的趋势”。已知函数 ，其中 为实数。 （1）当 时，求函数 的单调区间，并指出其零点个数； （2）求实数 的取值范围，使得对任意 ，都有 ； （3）若函数 在区间 内恰有两个不同零点，求 的取值范围。 【答题区域】 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 七、作业解析 高三一轮复习阶段作业解析 一、单项选择题 1．【答案】B 【难度】0.80 【知识点】组合数、二项式系数与实际方案数对应 【详解】第4组对应从8盏路灯中选3盏，方案数为 ，故选B。 2．【答案】D 【难度】0.68 【知识点】二项式展开式通项、指定项系数及符号处理 【详解】 展开式通项为 。 令 ，得 ，所以 项系数为 ，绝对值为80，故选D。 3．【答案】D 【难度】0.58 【知识点】分类加法、分步乘法、有限制的分配问题与容斥思想 【详解】 不考虑限制时，5个不同传感器分到3个不同基站且每站至少1个的方案数为 。 若传感器A与B在同一基站，先选它们所在基站，有3种；其余3个传感器要使另外两个基站都非空，方案数为 ，故不合要求的方案数为 。符合条件的方案数为 ，故选D。 4．【答案】A 【难度】0.70 【知识点】条件概率、全概率思想、贝叶斯公式 【详解】 设事件 表示屏幕检测合格，事件 表示续航检测合格。由贝叶斯公式， ，故选A。 5．【答案】D 【难度】0.72 【知识点】二项分布的期望、参数求解、概率计算 【详解】 由 且 ，得 ，所以 。于是 。 又 ，故 ，故选D。 6．【答案】B 【难度】0.66 【知识点】正态分布的对称性、区间概率转化、频数估计 【详解】 由 且 ，可得 。 抽取500名学生，成绩低于68分的人数约为 ，故选B。 7．【答案】A 【难度】0.60 【知识点】导数的几何意义、参数确定、函数在闭区间上的最值 【详解】。由点 处切线斜率为0，得 ，所以 。 此时 ，。在区间 上，函数在 上递增，在 上递减。 在 处取得极大值，即最大值 ，故选A。 8．【答案】C 【难度】0.52 【知识点】利用导数研究函数单调性与方程根个数、参数范围 【详解】 由 得 ，其中 。设 ，则 ，所以 在 上递减，在 上递增，最小值为 。 要使方程在 内恰有两个不同实数解，需 ，故选C。 二、多项选择题 9．【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】超几何分布、二项分布、方差性质、独立与互斥辨析 【详解】 A项为超几何分布，且 ，正确；B项符合二项分布概率公式，正确；C项由独立性得 ，正确；D项 说明事件A与B独立，不能推出互斥，错误。故选ABC。 10． 【答案】AD 【难度】0.62 【知识点】杨辉三角、二项式系数性质、系数和、奇偶项系数和 【详解】 A项中第5项与第7项二项式系数分别为 与 ，二者相等，正确；B项中令 ，各项系数之和为 ，错误；C项 ， 项系数为 ，错误；D项由令 与 可知奇次项系数之和为 ，正确。故选AD。 11【答案】ABC 【难度】0.55 【知识点】导数判断单调性、函数不等式、切线斜率与平行关系 【详解】 ，故A正确，且 在 上单调递增，B正确。又 ，对 有 ；同时 等价于 ，成立，故C正确。，曲线在点 处的切线斜率不是1，与 不平行，D错误。故选ABC。 三、填空题： 12．(原创) 在 的展开式中， 项的系数为____________。 【答案】-448 【难度】0.70 【知识点】展开式指定项系数求解 【详解】 项系数为 。 13．(原创) 从 名女生、 名男生中随机抽取 人参加志愿讲解。已知抽到的人中至少有 名男生，则其中恰有 名女生的概率为____________。 【答案】 【难度】0.66 【知识点】古典概型、条件概率、组合计数 【详解】 已知至少抽到1名男生，样本空间中符合条件的情况数为 。 其中恰有2名女生的情况数为 ，所以所求概率为 。 14．(原创) 已知函数 （）。若曲线 在点 处的切线经过点 ，则 ____________。 【答案】2 【难度】0.62 【知识点】导数的几何意义、切线方程、参数求解 【详解】，，所以 。 切线方程为 。将点 代入，得 ，所以 。 4、 解答题： 15． 【答案】（1）从 个互不相同的书架中选出 个贴芯片，方案数为 。 等式 的组合意义是：选出 个书架贴芯片，等价于确定剩下 个书架不贴芯片。 （2）128 （3）由二项式定理， 。 两边求导，得 。 令 ，得 。 意义：左边表示把所有“贴 个芯片”的方案各贡献 次芯片使用次数后相加；右边表示先指定一个书架使用芯片，再让其余 个书架自由选择是否贴芯片，二者统计的是同一总量。 【难度】0.60 【知识点】组合数意义、偶数子集计数、二项式定理求导恒等式及组合解释 【详解】 （1）从 个互不相同的书架中选出 个贴芯片，方案数为 。 等式 的组合意义是：选出 个书架贴芯片，等价于确定剩下 个书架不贴芯片。 （2）当 时，贴芯片个数为偶数的方案数为 。 （3）由二项式定理， 。 两边求导，得 。 令 ，得 。 意义：左边表示把所有“贴 个芯片”的方案各贡献 次芯片使用次数后相加；右边表示先指定一个书架使用芯片，再让其余 个书架自由选择是否贴芯片，二者统计的是同一总量。 16． 【答案】（1）（2）分布列见解析，E(X)=(3)1 【难度】0.62 【知识点】相互独立事件、分布列、数学期望、条件概率 【详解】 设基础题A、B得分之和为 。则 ， ， 。 拓展题C答对得4分的概率为 ，答错得0分的概率为 。 （1） 。 （2） 的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 所以 。 （3）记 A={X≥6} 为“获得展示资格”事件，B={答对拓展题C}。若拓展题C未答对，则两道基础题即使全对，总分最高也只有4分，不可能满足 X≥6，故 A⊆B。因此 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=P(A)/P(A)=1。 17．(原创·新情境题) 【答案】 （1）参加互助小组学生的达标率为 ；未参加互助小组学生的达标率为 。 两者不相同，且参加互助小组学生的达标率更高。 （2） 。 （3）有关。 【难度】0.64 【知识点】2×2列联表、达标率比较、卡方统计量计算、独立性检验结论 【详解】 （1）参加互助小组学生的达标率为 ；未参加互助小组学生的达标率为 。 两者不相同，且参加互助小组学生的达标率更高。 （2）由表中数据可取 a=32，b=18，c=22，d=28，n=100， 。 （3）因为 ，所以依据 的独立性检验，可以认为“是否参加数学错题订正互助小组”与“导数应用题是否达标”有关。 18．(原创·开放题) 【答案】（1）0.06（2）分布列见解析，E(X)= 7.10秒（3） 【知识点】分阶段概率模型、随机变量分布列、数学期望、期望约束下的参数优化 【难度】0.58 【详解】 （1）转人工核验表示第一轮失败且第二轮失败，故 。 （2） 的可能取值为5、9、34。 ， ， 。 T 5 9 34 P 0.85 0.09 0.06 所以 （秒）。 （3）改进后第一轮成功概率为 。若第一轮失败，则后续平均总用时为 。 故 。 由 ，得 。 所以 的最小值为 。 19．(原创) 【答案】见解析 【难度】0.45 【知识点】导数研究单调性、恒成立问题、函数零点个数与参数范围 【详解】 （1）当 时， 当 时，；当 时，。所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 又 ，所以 是函数的最小值点，函数 只有 个零点。 （2）由题意， 因此 在 上单调递增。 ① 当 ，即 时，对 ，有 ，从而 在 上单调递增，故 ，符合题意。 ② 当 ，即 时，由于 在 上单调递增，所以存在 ，使得 。在 上，， 单调递减，故 ，不符合题意。 综上，，即 。 （3）因为 当 时，， 单调递增，不符合题意。 当 时，令 ，得 。当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 要满足题意，需 即 由前两个不等式得 对第三个不等式，令 则 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。又 ，所以不等式 的解集为 综上， 或 ，即 学科网（北京）股份有限公司 $