2023届高中数学一轮复习平面向量的应用

平面向量的应用 一、课程标准 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2、 知识梳理 1．正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝ ＝ ＝2R a2＝ b2＝ c2＝ 常见变形 (1)a＝2R sin A b＝ c＝ (2)sin A＝ sin B＝ sin C＝ (3)a∶b∶c＝ (4)a sin B＝b sin A b sin C＝ a sin C＝ cos A＝ cos B＝ cos C＝ 2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 3、 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　 ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　) 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A. B. C. D. 3．在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝ . 4．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝ ，△ABC的面积＝ . 四、核心题型 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b; (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 高考改编 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C. (1)求A； (2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a. 题型二 　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形形状判断 例2　在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 命题点2　三角形的面积 例3　在①sin A，sin C，sin B成等差数列；②a∶b∶c＝4∶3∶2；③bcos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＋bsin B ＝csin C，c＝1， ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 命题点3　与平面几何有关的问题 例4　如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝. (1)求sin∠BCE的值； (2)求CD的长． 5、 当堂检测 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　) A. B. C. D. 2．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　) A. B. C．6 D．5 3．已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos 2A＝－，则△ABC外接圆半径为(　　) A．5 B．3 C. D. 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2b，sin2A－3sin2B＝sin Asin C，则角C等于(　　)