2023届高考数学一轮复习数系的扩充与复数的引入

第四节　数系的扩充与复数的引入 一、课程标准 1.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数； (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 2.复数的运算 掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 二、知识梳理 知识点一　复数的有关概念及意义 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和 ．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数； (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)； (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R)； (4)复数的模： 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ ． 2．复数的几何意义 　 利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R是前提条件． 知识点二　复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； (4)除法：＝＝＝ (c＋di≠0). 2．复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝ ； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝ ． 知识点三 常用公式与结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi). 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 5．|z|2＝||2＝z·，|z2|＝||2. 6．|z1z2|＝|z1||z2|，＝(z2≠0)，|zn|＝|z|n.　 三．基础自测 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．1或2　　　　 D．－1 2． (2022·合肥质检)已知复数z满足z·(1－2i)＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设复数z满足＝i，则|z|＝________． 4．(易错题)若a为实数，且＝3＋i，则a＝________． 四、核心题型 　 题型一　复数的有关概念　　自主探究 1．(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　) A．－　　　　B．－ C． D． 2．(2022·郑州模拟)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 3．若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．设复数z＝1－，则z的共轭复数是(　　) A．1＋i B．1＋2i C．1－i D．1－2i 题型二　复数的几何意义　　多维探究 角度(一)　复数与点的关系 [例1]　(1)(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　) A．1＋2i　　　　　　B．－2＋i　　　C．1－2i D．－2－i (2)已知复数z满足(2＋i)z＝i2 023，则z在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 角度(二)　复数模的几何意义(与向量对应) [例2]　(1)(2022·青岛模拟)若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．x＝1 B．y＝1 C．x＋y＝0 D．x－y＝0 (2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 　(变条件)将例2(1)中的z满足条件变为|z－i|＝1.求z对应的轨迹方程． 　(变结论)若例2(1)中条件不变，求|z－(1＋i)|的最小值． 题型三　　复数的代数运算　　合作探究 [例]　(1)(2021·新高考全