26.3 二次函数与一元二次方程 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3 二次函数与一元二次方程 1.小兰画了一个函数的图象如图所示，则关于x的方程的根是( ) A.无解 B. C. D. 2.根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程的一个解x的范围是 x 0.5 1 1.1 -8.75 -2 -0.59 x 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 3.已知，若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 4.抛物线与x轴交于两点，其中一个公共点的横坐标大于1，另一个公共点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.命题：“二次函数，当时必与x轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是( ) A. B. C. D. 7.在二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是x与y的几组对应值： x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 -2.35 -6.05 则关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于__________（结果保留小数点后一位）. 8.如图，抛物线与直线的两个交点分别为点，，则关于x的方程的解为__________. 9.二次函数的图象与x轴的一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______.（填一个值即可） 10.如图，已知抛物线（为常数，）交x轴于，两点，交y轴于，将该抛物线位于直线（m为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”. （1）求翻折前抛物线的表达式. （2）若，直线与图象W有三个公共点，求n的值. 11.已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.点在抛物线上，则关于x的一元二次方程的解是( ) A.， B. C.， D.， 13.已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有___________个. 14.利用函数图象探究方程的实数根的个数. （1）设函数，则这个函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根. （2）分类讨论：当时，；当时，______. （3）如图，在给定的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点、连线，画出当时的函数图象. （4）如图，在给定的坐标系中画直线，观察图象可知方程的实数根有______个. （5）深入探究：若关于x的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是______. 答案及解析 1.答案：D 解析：因为该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，所以关于x的方程的根是，. 2.答案：B 解析：∵当时，，当时，，关于x的方程的一个解x在1.1和1.2之间.故选B. 3.答案：B 解析：关于x的方程的解为抛物线与直线的公共点的横坐标，关于x的方程的解为抛物线与直线的公共点的横坐标，如图： 由图象可知，，故选B. 4.答案：A 解析：抛物线与x轴交于两点，设这两点分别为和，且，. 方法一：根与系数关系法：，，，，，，由根与系数的关系可得，，.故选A. 方法二：图象法：的图象开口向下，∴当时，，.故选A. 5.答案：A 解析：通解：要判断方程的根的情况，只需判断抛物线与直线的交点情况.因为抛物线开口向下，顶点坐标为，所以画出抛物线与直线，如图所示.由图可知，抛物线与直线有两个交点，故方程有两个不相等的实数根. 另解：由题意，知二次函数的解析式为，，即，解得或，故该方程有两个不相等的实数根. 6.答案：A 解析：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与x轴无交点， ∵命题的条件为， ∴、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴二次函数与x轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴二次函数与x轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意. 7.答案：3.1（答案不唯一） 解析：从题表中数据可知，当时，；当时，，因此方程的一个根在3和4之间，因为，所以根更接近，所以关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于3.1. 8.答案：， 解析：关于x的方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，故关于x的方程的解为，. 9.答案：（答案不唯一） 解析：设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，即一元二次方程的两根为，由根与系数的关系得，.∵二次函数的图象开口向上，其对称轴为直线且图象与x轴的一个交点在y轴右侧，异号，，故n的值可以为-3（答案不唯一）. 10.答案：（1） （2）n的值是-1或 解析：（1）由题意得解得∴翻折前抛物线的表达式为. （2）当，且直线与图象W有三个公共点时，存在两种情况： ①当直线过点A时，与图象W有三个公共点，此时； ②当直线与图象W位于线段AB正上方的部分仅有一个公共点时，有，即，则，.综上，n的值是-1或. 11.答案：C 解析：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限. 12.答案：C 解析：通解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， 点也在这个抛物线上. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的抛物线的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， 关于x的一元二次方程的两个解为，，即关于x的一元二次方程的解是，. 另解：∵点在抛物线上， ，，，， ，.，，解得，. 13.答案：3 解析：∵抛物线的对称轴为直线，，. 又∵抛物线与x轴的一个交点为， 把代入，得， ，，则函数的最大值为， 抛物线的顶点坐标为. 令，即，解得或， 当时，抛物线始终与x轴交于，. 如图所示，当有实数根时，，，其中x为整数时，，∴一元二次方程的整数根有5个. 由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，与时的函数值相等，当时，直线恰好过抛物线顶点，的值有3个.故答案为3. 14.答案：（2） （3）见解析 （4）3 （5） 解析：（2）当时，，故答案为. （3）如图（1）所示. （4）如图（1），直线与的图象有3个交点，故方程的实数根有3个.故答案为3. （5）根据题意画出图象，如图（2），此时直线与函数图象的交点的横坐标，且，，，∴关于x的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是，故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $