26.3 二次函数与一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，以(1，一4)为顶点的二次函数y=ax2十bx十c的图象与x轴的负半轴交于 A 点A,则关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0的正数解的取值范围是( -32 0 A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 (第1题) 2.已知x1x,分别是抛物线y=x2一原x一4与x轴交点的横坐标，则上+1的值为 () A号 B一 4 c D43 3 3.易错题若函数y=x2一2x十b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 4.抛物线y=ax2+bx十c经过A(-3,0),B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x一1)2+c= b一bx的解是 5.已知二次函数y=x2十mx十m2-3(m为常数，且m>0)的图象过点P(2,4). (1)求m的值， (2)试判断二次函数y=x2十mx十m2一3的图象与x轴交点的个数，并说明理由 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.数形结合思想已知二次函数y=一x2十bx十c的图象经过（一2,0）与(1,0)两点，若x1,x2(x1< x2)是关于x的一元二次方程一x2十bx十c十m2=0的两根，则下列结论中，正确的是() A.-2<x1<x2<1B.x1≤-2<1≤x2C.x1<-2<1<x2 D.-2≤x1<x2≤1 7.[2024泰安中考]如图所示为二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)的部分图象， 该函数图象的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2.有下列 结论：①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和一1之 /0 23 3 间；③方程am2+bm十c一2=0一定有两个不相等的实数根；④b一a<2.其 (第7题) 中，正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 33 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 8.二次函数y=x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次 方程x2+bx一t=0(t为实数)在一1<x<4的范围内有解，则t的取值范围是 9.已知二次函数y=x2+2(m一2)x一十2的图象与x轴最多有一个公共点，若y (第8题) m2一2tm一1的最小值为2，则t的值为 10.已知抛物线y=a.x2+bx十c经过A(2,0),B(21-1,y1),C(n十2，y2)三点，对称轴是直线x= 1.关于x的一元二次方程ax2+bx十c=x有两个相等的实数根. (1)求抛物线对应的函数解析式， (2)若n<一1，试比较y1与y2的大小. (3)若B,C两点在直线x=1的两侧，且y1>y2,求n的取值范围. 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.已知抛物线y=-x2+bx十3与x轴交于A(一1,0)，B(3,0)两点. (1)求b的值， (2)如图，过点A的直线：y=一x一1与抛物线的另一个交点为C,P为抛物线对称轴上的一 点，连接PA,PC,当PA=PC时，求点P的坐标 (3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到线段MV,若抛物线 y=a(一x2+2x十3)(a≠0)与线段MN只有一个交点，求a的取值范围. (第11题) 34 >“答案与解析”见PI9录小值2，即2=a十u十a-6,解得a=1或a=号 a<0a=-景 3.4或-日 :二次函数解析式为y=mx2一2mx+2 (m≠0)∴二次函数图象的对称轴为直线x=一2m 2m 1.①当m>0时，在-2≤x≤2时有最小值-2，∴.当 x=1时，y=m-2m+2=-2.∴.m=4.②当m<0时， 在-2≤x≤2时有最小值一2，∴.当x=一2时，y= 4m十m十2=-2.m=-号综上所述，m=4或m 4.B将二次函数y=2x2一4x一1转化为顶点式，得y= 2(x一1)2一3，∴.抛物线的对称轴为直线x=1,顶，点坐标 为(1，-3)，当x=0时，y=-1.2>0,.开口向上 .在对称轴的右侧，y随x的增大而增大..当0xa 时，y取得最大值为15，∴.2(a-1)2-3=15,解得a=4或 a=一2（舍去） 5.把(-6，-3)代入y=-x2+bx-3,得b=-6,∴.y= 一x2一6x一3..y=一x2-6x一3=-(x十3)2+6，∴.当 x=-3时，y有最大值，为6.①若-3<m≤0，则当x=0 时，y有最小值，为一3，当x=m时，y有最大值，为一m2 6m-3,.∴.一m2-6m-3十（一3）=2.∴.m=一2或m= 一4（舍去）.②若一6m一3，则y的最大值为6，最小值 为-3,6一3≠2，∴.此种情况舍去.③若m<一6，则当 x=一3时，y有最大值，为6，当x=m时，y取最小值y 的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4.∴.一(m十 3)2+6=-4,∴.m=-3-√10或m=-3+√10（舍去）. 综上所述，m=一2或一3一√10. -2a 6.抛物线的对称轴为直线x=一2X=a.①若a≤1，则 当x=1时函数取得最小值，∴.1-2a十3=2a,解得a=1. ②若1<a<3,则当x=a时函数取得最小值，∴.a2 2a·a十3=2a,解得a1=1(舍去)，a2=-3(舍去).③若 a≥3，则当x=3时函数取得最小值，∴.9-6a十3=2a,解 得a=号（舍去）.综上所述，a的值为1. 7.二次函数y=x2一2hx十h图象的对称轴为直线x=h. 若h≤一1，则当x=一1时y取最小值，此时n=1+2h十 h=1+3h.:h≤-1，.n=1+3h≤-2.∴.n的最大值 为一2.若-1<h<1,则当x=h时，y取最小值，此时n= 方-2弥+A=-+h=一(-2)》'+：-1< 0,-1<h<1,当h=号时，n的最大值为子，若h≥1， 则当x=1时y取最小值，此时n=1一2h+h=1一h. :h≥1，∴.n=1-h≤0.∴.n的最大值为0.-2<0< 子以的最大值为 8.一3或5易知抛物线的对称轴为直线x=a.把x=2a 代入y=x2-2az+5,得y=5;把x=2a+2代入y=x2 2a.x+5,得y=4a+9.当2a+2≤a,即a≤-2时，y1=5, y2=4a+9.y1一y2=a2-1,∴.5-(4a十+9)=a2-1,解 得a1=-1(舍去)，a2=-3.当2a≥a,即a≥0时y2=5, y1=4a+9.:y1一y2=a2-1.4a+9-5=a2-1,解得 a3=5,a1=一1（舍去）.当一2<a<0时，在取值范围内函 数在x=a时，取得最小值，即y2=a2-2a2+5=一a2+ 5.y1-y2=a2-1,.y1=y2十a2-1=4.当x=2a 时，y=5≠4，∴.在取值范围内，y的最大值至少为5，与 y1=4相矛盾.故-2<a<0不符合题意.综上所述，a的值 为-3或5. 26.3二次函数与一元二次方程 1.C二次函数y=ax2+ba十c图象的顶点为(1， 一4)，∴.对称轴为直线x=1.:对称轴左侧图象与x轴 交点横坐标的取值范围是一3<x<一2，∴右侧交点横坐 标的取值范围是4<x<5. 2.B根据题意，得x1,x2为方程x2一3x一4=0的两 根，由根与系数的关系，得x1十x2=√3，x1x2=一4， 1+1-+=- x1x2x1x2-441 3.b<1且b≠0令x2-2x十b=0,根据函数的图象与 坐标轴有三个交点，可得（一2）2一4b>0且b≠0，解得b< 1且b≠0. 易错警示 抛物线与坐标轴交点问题 本题中函数图象与y轴的交，点不能在原点，即b≠ 0,否则函数图象与坐标轴只有两个交点，解题时易混淆 “与x轴的交点”和“与坐标轴的交，点”而致错 4.x1=-2,x2=5关于x的一元二次方程a(x一1)2+ c=b-bx可变形为a(x-1)2+b(x一1)十c=0.:'抛物 线y=ax2+bx十c经过点A(-3,0),B(4,0),∴.方程 a.x2十bx十c=0的解为x=一3或x=4.对于方程a(x 1)2十b(x一1)十c=0,则x一1=一3或x一1=4，解得x= 一2或x=5,∴.一元二次方程a(x-1)2十b(x-1)十c=0 的解为x1=一2，x2=5. 5.(1)将P(2,4)代入y=x2+ma+m2-3,得4=4+ 2m十m2-3,解得m1=1,m2=-3..m>0,∴.m=1. (2)二次函数y=x2+m.x十m2一3的图象与x轴交点的 个数为2.理由：：m=1,∴y=x2十x一2.：在方程 x2+x一2=0中，△=12一4X1×(一2)=9>0，..二次函 数y=x2十mx十m2一3的图象与x轴交，点的个数为2. 6.B:'x1,x2(x,<x2)是关于x的一元二次方程一x2十 bx十c十m2=0的两根，.x1,x2(x1<x2)是二次函数 y=一x2+bx十c的图象与直线y=一m的交点的横坐 标.如图，由图象可得，x1≤-2<1≤x2. -201 y=-m (第6题) 7B“地物线的对称轴为直线x=1心一会-1.二6 一2a.∴.2a十b=0.故①正确.，抛物线y=ax2十ba十c 的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点横坐标在2,3之 间，∴.与x轴的另一个交点横坐标在一1,0之间..方程 ax2十ba十c=0一定有一个根在一1和0之间.故②错误， :抛物线y=ar2+br十c与直线y=号有两个交点， “方程ar十bc十c一号-0一定有两个不相等的实数 根.故③正确.抛物线与x轴的另一个交点在一1,0之 间，∴.当x=一1时，y=a一b十c<0.:图象与y轴交点 的纵坐标是2，.c=2.∴.a一b十2<0..b一a>2.故④ 错误.综上所述，正确的结论有2个 8.一1区1<8：对称轴为直线x=一2X1-1心6- 一2.∴.二次函数解析式为y=x2-2x.当x=一1时，y= 1+2=3:当x=4时，y=16-2×4=8;当x=1时，y=1 2=一1.：x2十bx-t=0的解相当于y=x2十bx与直线 y=t的交点的横坐标，∴.当一1≤t<8时，方程在-1< x<4的范围内有解 9.一1由题意，得△=[2(m-2)]2-4(2-m)≤0，解得 1≤m≤2.若t≥2，则当m=2时，y取得最小值，即4一 4-1=2,解得=（舍去）：若≤1，则当m=1时，y取 得最小值，即1一2t-1=2,解得t=-1;若1<t<2,则当 m=t时，y取得最小值，即t一2t2一1=2，方程无实数根. 综上所述，t=一1. 10.(1)抛物线y=ax2+bx十c经过A(2,0),∴.0=4a+ 20十①.：对称轴是宜线x=1一会-1@.：关于7 的一元二次方程ax2十bx十c=x有两个相等的实数根， ∴.关于x的一元二次方程a2+(b一1)x十c=0有两个 相等的实数根.∴.△=(b一1)2一4ac=0③.由①②③可得 1 a=一2 ìb=1, 抛物线对应的函数年析式为y=产十杠 c=0 (2)n<-1,.2m-1<-3,n+2<1..点B,点C在 1 对称轴直线x=1的左侧：抛物线y=一2x2十x中， 4=一号<0，.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 2 (n+2)-(2n-1)=-n+3>0,∴.2n-1<n+2. ∴.y1<y2 (3)当点B在对称轴直线x=1的左侧， 点C在对称轴直线x=1的右侧时，由题意，得 2m-1<1, n+2>1, 解得了<m<1.当点C在对称轴 1-(2m-1)n+2-1, 直线x=1的左侧，点B在对称轴直线x=1的右侧时，由 2n-11, 题意，得n+2<1, 此不等式组无解.综上所 2n-1-1<1-(n+2), 述，号<<1 11.(1)把A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得b=2. (2):抛物线的对称轴为直线x=二，十3-1，设P(1, 2 m).由一x2+2x+3=一x-1,得x1=-1,x2=4.当x=4 时，y=-4-1=-5,∴.C(4,-5).由PA2=PC2,得22+ m2=(4-1)2+(m十5)2，.m=-3.∴.点P的坐标为 (1,-3).(3)由题意，得M(0,6),N(4,6).当a>0时， :y=一a(x-1)2十4a,∴.抛物线的顶点为(1,4a).当 4a=6时，抛物线与线段MN只有一个公共点，a=2· 3 3a>6, 当x=0时，y>6:当x=4时，y≤6，∴.-5a≤6，解得 a>0, a>2.a>2或a=是当a<0时，：当x=0时y<6 f3a<6 当=4时≥6∴{-50≥6解得a≤-号综上所述， a<0, 。>2或a=2或a<-号 3 专题特训五二次函数图象信息题 1.Ca>1,.函数图象开口向上.选项D中图象开 口向下，故该选项不符合题意.：对称轴为直线x=2, ∴.对称轴在y轴右侧.：选项B的对称轴在y轴左侧，故 该选项不符合题意.令a.x2一4a.x+3a+1=0,则△= (-4a)2-4a(3a+1)=16a2-12a2-4a=4a2-4a= 4a(a一1).a>1,.△>0.∴.方程有两个不相等的实数 根，即二次函数y=ax2一4ax十3a十1的图象与x轴有两 个交点.选项A的函数图象与x轴无交点，故该选项不 符合题意.：选项C的函数图象与x轴有两个交点，故该 选项符合题意， 2A由抛物线可知>0=一品<0,6>0由直线 可知a>0,b>0,故选项A符合题意.由抛物线可知a<0, 由直线可知a>0,故选项B不符合题意.由抛物线可知 a>0,由直线可知a<0,故选项C不符合题意.由抛物线可 知a<0,x= 会<06KQ由宜线可知a<0.6>0,故 选项D不符合题意 3.D由图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴 ∴a<0c>0:对称轴为直线x=一名-26=-a >0.∴.bc>0,4a十b=0.故选项A,B正确，不符合题意 a.x+bx1=ax号+bx2且x1≠x2,∴.ax号+bx1+c= a.x号十ba2十c.∴.x=x1和x=x2关于对称轴直线x=2 对称，∴.x1十x2=4.故选项C正确，不符合题意.抛物 线的开口向下，∴.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越 小.（一1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2十bx十c 上，-1-2>|3-2，.y1<y2.故选项D错误，符合 题意 4.C根据图象可得，抛物线的开口向下，交y轴于正半 轴，∴.a<0,c>0.又抛物线的对称轴在y轴右侧，x 一，>0，b>0.abc<0.故结论①正确.由函数的图 2a1 象可得，当x=-2时，y<0,即4a-2b十c<0,.4a十c< 2b.故结论②错误.，'二次函数y=ax2+bx十c的图象交 x轴于A,B两点，点A(一1,0)，点B(n,0),∴关于x的 b一 方程ar2+br十c=0的解是21=-1，=1，一 一，故结论③0正确综上所述，结论正确的有3个 5.①②④由表中数据，可知当x=1和x=3时，y= 一4“抛物线的对称轴为直线x-生=2。一名=2 b .b=-4a.当x=0时，y=m,∴.m=c.:0<m<2, ∴.0<c<2.当x=1时，y=a十b+c=-4,∴.a-4a十 c=-4,即c=-4+3a.0<-4+3a<2,解得号<a< 2.故结论④正确.：a>0,b=-4a<0,c>0,∴.abc<0. 故结论①正确.抛物线开口向上，点（一1，y1)到对称轴 的距离为3，点(6，y2)到对称轴的距离为4，∴.y2>y1.故 结论②正确.当m=1时，c=1,代入c=一4+3，得a= 号6=-a=-y=号2-1当y=1 5 时，x=0或x=4.:当t≤x≤t十2时，y有最小值为1， ∴.t=一2或4.故结论③错误.由表格数据和抛物线的对 称性可知，当x=0和x=4时，y=k=m,∴.方程ax2十 ba十c|=k(0<k<2)等价于a.x2+bz+c=k或a.x2+ bx十c=一k.由于抛物线开口向上且顶点的纵坐标 一4，∴.抛物线与直线y=k和直线y=一k各有两个交点， 即方程有四个实数根.故结论⑤错误. 6.C过点O作OM LAB于点M.:'AC⊥BC,∠ABC= 60°，∴.∠BAC=30°.BC=4,∴.AB=8,AC=43. :四边形ABCD为平行四边形，·AO-2AC=2B. 六.0M=zA0=B.∴AM=√A0-OMr=3.M= AB-AM-BE=8-3-x=5-x.OE2=OM2+EM2, ∴y=(x一5)2+3.∴.抛物线开口向上，顶点坐标为(5， 3),与y轴的交点为(0,28).0≤x≤8，∴当x=8时 y=12.故C选项中的图象符合题意， 7.B,正方形的边长为4cm,.当0<x≤4时，y= 1 1 SAMn-S△A0=2X4X4-2·x·x=-2x2+8;当 1 4<8时，y=SAwm-SAw=7X4X4-)·(8-2)· (8-x)=-号(8-x)+8“y与x之间的函数关系可 以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图 象符合 8.当点P在BC上时，在Rt△PCD中，CD=√2，PC=t, ,∴.S=PD=t2+(2)2=t2+2.当S=6时，6=t2+2,解