25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.已知关于x的一元二次方程的两根分别为，且，，那么这个方程可以是( ) A. B. C. D. 2.若是关于x的方程的一个根，则方程的另一个根是( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 3.已知方程，写一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数，则此新方程是( ) A. B. C. D. 4.已知是方程的两个实数根，则的值是( ) A. B. C.3 D. 5.关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论正确的是( ) A.两个正根 B.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C.两个负根 D.一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 6.若m，n是方程的两个根，则的值为( ) A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 7.在解一元二次方程时，小刚看错了常数项c，得到的解为，.小明看错了一次项系数b，得到的解为，，则原来的方程为( ) A. B. C. D. 8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.若，则k的值是( ) A.3 B.-1 C.3或-1 D.不存在 9.已知关于x的方程的两实数根为，，若，则m的值为___________. 10.已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求m的值. 11.关于x的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.和一定异号 D.若，则 12.关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. D. 13.若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________. 14.我们知道若是一元二次方程的两个实数根，则我们可以把该方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现，.由此我们也能得到一元二次方程的根与系数的关系：，. （1）利用材料推导一元三次方程的根与系数的关系. 若是方程的三个实数根，试用a，b，c，d表示______，______，______. （2）若一元三次方程的三个实数根分别为，且. ①试说明. ②直接（不必书写过程）写出一个新的一元三次方程且使得该方程的三个实数根分别为，，. 答案及解析 1.答案：B 解析：，，，. 经验证，选项B中，，， 则， 且，满足条件，其他选项均不满足条件.故选B. 2.答案：B 解析：设另一个根为，由根与系数的关系得，解得.故选B. 3.答案：A 解析：设原方程的两根为m，n，则，，设新方程的两根为， 则，，经检验，符合此关系的只有A选项.故选A. 4.答案：A 解析：由根与系数的关系得，， 故选A. 5.答案：D 解析：设方程的两根为a，b，方程整理得， ，，，则该方程有一个正根，一个负根，且正根的绝对值比负根的绝对值小.故选D. 6.答案：C 解析：是方程的根， ，，， 则原式.故选C. 7.答案：A 解析：根据题意得，，解得，，∴原来的方程为.故选A. 8.答案：A 解析：由题意可知，解得，且，，， 整理得，解得或， ，.故选A. 9.答案： 解析：根据题意，得，.，，解得，.方程有两实数根，，，不合题意，. 10.答案：（1）证明见解析 （2）-1或-2 解析：（1）证明：，，， .，，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2），， .，， 整理得，， 解得，，的值为-1或-2. 11.答案：C 解析：关于x的一元二次方程存在两个实数根， A. 若，则，，故该选项正确，不符合题意； B. 若，则，，故该选项正确，不符合题意； C.，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D.，若，则. ，则 ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C. 12.答案：D 解析：一元二次方程满足，且有两个相等的实数根， 一元二次方程的解为， ， ， ， ，，，故A、B、C正确，不符合题意； ，故D错误，符合题意； 故选：D. 13.答案：7 解析：，n是一元二次方程的两个实数根，，，，，. 14.答案：（1）；； （2）①证明见解析 ② 解析：（1）；； 是方程的三个实数根，∴由材料可知，方程可写成.展开后，得，比较两个方程的对应系数，不难发现，，，，，. （2）∵一元三次方程的三个实数根分别为， ∴由（1）知，，. ①， . ②. 提示：由题意可设新方程为.新方程的三个实数根分别为，，，且，新方程的三个实数根分别可化为，，，，，，，，，新的一元三次方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $