25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程根与系数的关系同步练，新授课场景下采用“基础巩固+培优训练”分层设计，通过中考真题及变式题构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|根与系数关系直接应用、代数式求值、待定系数求解|以中考真题及变式题为主，梯度从概念辨析（如第1题及变式）到简单应用（如第5题），强化基础运算与推理| |培优训练|新定义问题、阅读理解综合应用|结合中考新趋势，设计“三倍根方程”（第9题）、黄金分割数（第10题）等情境，提升创新意识与综合思维能力|

第二十五章　一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 　根与系数的关系 1.(2025•湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　 　　) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 【变式1－1】(2025•广西)已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　 　　) A.－25 B.－20 C.20 D.25 【变式1－2】(2025•遵义模拟)已知x1，x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则x1x2的值为(　　 　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 2.(2026•湖北模拟)方程x2＋4x－5＝0与x2－6x＋1＝0所有实数根的乘积等于(　　 　　) A.－5 B.2 C.－24 D.5 3.(2025•济南模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是－6，则另一个根是(　　 　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 4.(2025•河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　 　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 　利用根与系数的关系求代数式的值 5.(2025•绵阳模拟)已知a和b是方程x2＋2 025x－3＝0的两个解，则a2＋2 024a－b的值为(　　 　　) A.2 020 B.2 024 C.2 026 D.2 028 6.(2025•乐山)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值为(　　 　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 【变式6－1】(2026•南京模拟)设a，b是方程x2－12x＋9＝0的两个根，则＋等于　 　. 【变式6－2】(2025•江西校级模拟)已知α，β是一元二次方程x2－2 020x＋1＝0的两个实数根，则代数式(α－2 020)(β－2 020)＝　 　. 　利用根与系数的关系求待定系数的取值或范围 7.(2026•南京模拟)设x1，x2是方程x2－3x＋m＝0的两个根，且x1＋3x2＝5，则m的值为　 　. 8.(2025•成都校级模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根.若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且＋＝12，则m的值为　 　.　 9.［中考新趋势•新定义］(2025•昆山市模拟)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如，方程x2－4x＋3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”. (1)下列方程是“三倍根方程”的是　 　.(填序号) ①x2－3x＋2＝0； ②x2－3x＝0； ③x2－8x＋12＝0. (2)若关于x的方程x2－6x＋c＝0是“三倍根方程”，则c＝　 　. (3)若x2－(m＋n)x＋mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值. 　 　 　 　 　 　 10.［中考新趋势•阅读理解］阅读材料： 材料1　如果实数m，n满足m2＋m－1＝0，n2＋n－1＝0，且m≠n，那么可利用根的定义构造一元二次方程x2＋x－1＝0，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根. 材料2　关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数.黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域. 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：a2＋a－1＝0，b2＋b－1＝0，且a≠b，则＋＝　 　. 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)求黄金分割数； 　 　 　 　 　 　 　 　 (3)已知实数m，n，t，满足m2－4m＝11＋t，n2－4n＝11＋t，且0＜m＜n，求(m＋1)(n＋1)的取值范围. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案 基础巩固 1.D 【变式1－1】C　【变式1－2】B 2.A　3.D　4.C　5.D　6.C 【变式6－1】3　【变式6－2】1 7.2　8.－2 培优训练 9.（1）③　（2）　（3） 10.（1）1　（2）黄金分割数为． （3）5＜（m＋1）（n＋1）＜9 学科网（北京）股份有限公司 $