25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（同步练习） （2026-2027学年九年级上学期数学人教版） 班级： 　　姓名： 　　学号： 　　得分： 　　 一、利用根与系数的关系求代数式的值 1．设方程x2－6x＋5＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2的值为（　　） A．6　　B．－　　C．　　D．－6 2．下列方程中两实数根的积等于－4的方程是（　　） A．3x2＋4x－4＝0　　B．3x2－4x－4＝0 C．x2＋2x－4＝0　　D．2x2－5x＋4＝0 3．若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则（1＋x1）＋x2（1－x1）的值是（　　） A．4　　B．2　　C．1　　D．－2 4．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x12＋x22＝（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 5．已知α，β是一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根，则α2－3α＋αβ的值是 . 6．已知x1，x2是方程x2＋3x－2＝0的两个实根，则（x1－2）（x2－2）＝ . 7．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）x2＋2x＋1＝0； （2）2x2＋3＝7x2＋x. 8．若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值. （1）（x1－x2）2； （2）（x1＋）（x2＋）. 二、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 9．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 10．已知关于x的一元二次方程x2－mx＋1＝0的两根之差为2，则m等于（　　） A．1或－1　　B．2或－2 C．或－　　D．2或－2 11．已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋2）x＋m＝0. （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋2x1x2＝1，求m的值. 12．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2－7x＋14＝0　　B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0　　D．x2－7x＋12＝0 13．已知关于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若＋＝4m，则m的值为 . 14．已知关于x的方程x2－4x－k＝0有两个不相等的实数根. （1）求实数k的取值范围； （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根. 15．已知关于x的一元二次方程：x2＋（m－2）x－2m＝0. （1）设x1，x2是方程的两个根，求x12＋x22（用含m的式子表示）； （2）当m＝－3时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积. 16．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2. （1）求k的取值范围； （2）如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k为整数，求k的值. 三、拓展探究 17．先阅读下面的材料： 已知方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q.反过来，如果x1＋x2＝－p，x1x2＝q，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是x2＋px＋q＝0. 请根据以上结论解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0（m≠0），求出一个关于x的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值. 参考答案 1．A 2．C 3．A 4．C 5．0 6．8 7．（1）x1＋x2＝－2，x1x2＝1； （2）x1＋x2＝－，x1x2＝－. 8．根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－. （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（）2－4×（－）＝； （2）（x1＋）（x2＋）＝x1x2＋1＋1＋＝－＋2－2＝－. 9．B 10．D 11．（1）证明：∵Δ＝（m＋2）2－4m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1＋x2＝－（m＋2），x1x2＝m，∵x1＋x2＋2x1x2＝1， ∴－（m＋2）＋2m＝1，解得m＝3，即m的值为3. 12．D 13．2 14．（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（－4）2－4×（－k）＞0，解得：k＞－4； （2）设方程的另一个根为a，∴a＋5＝－＝4，解得：a＝－1，∴方程的另一个根为－1. 15．（1）∵a＝1，b＝m－2，c＝－2m，∴x1＋x2＝－（m－2），x1x2＝－2m， ∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝［－（m－2）］2－2（－2m）＝m2－4m＋4＋4m＝m2＋4； （2）当m＝－3时，x1x2＝－2×（－3）＝6，此时菱形ABCD的面积为x1x2＝×6＝3. 16．（1）由题意，得Δ＝4－4（k＋1）≥0，解得k≤0； （2）由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，∴－2－（k＋1）＜－1，解得k＞－2. 又∵k≤0，且k为整数，∴k＝－1或0. 17．（1）设x2＋mx＋n＝0（m≠0）的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1x2＝n，则所求新方程的两根为，. ∵＋＝＝－，•＝＝， ∴所求的方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0； （2）从a，b满足的同一种关系可知：①当a≠b时，a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根， ∵Δ＝（－15）2－4×（－5）＝245＞0，∴a＋b＝15，ab＝－5， 从而＋＝＝＝＝－47； ②当a＝b时，＋＝1＋1＝2.∴＋的值为－47或2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $