1.3矩形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学矩形性质与判定同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，覆盖从概念理解到动态问题解决的完整路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形定义、性质与判定|单选1-6直接考查判定条件，填空13-15聚焦折叠基础计算| |中档|性质与勾股定理、动点结合|单选7-12涉及坐标系与折叠综合，解答18-20融合等腰三角形与矩形证明| |拔高|动态最值与跨学科探究|填空16-17探究线段最值，解答22-23通过折纸、实践活动发展空间观念与创新意识|

1.3矩形的性质与判定 一、单选题（本大题共12小题） 1．依据所标数据，下列不一定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分 3．在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 4．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ） A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙都是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 7．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 的斜边 经过原点 ，连接 ．已知 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（      ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），过D作，，垂足分别是E，F，连接则的最小值是（   ） A．4 B． C．5 D．6 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 11．如图，在中，，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值是（   ） A．9 B． C． D． 12．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题） 13．如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 14．如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 15．如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 16．如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线翻折，得到.射线交线段于点，连接，则的面积为____,的最大值为______. 17．如图，点B坐标为，点A为x正半轴上一动点，，且面积为20，则最大值为_______． 三、解答题（本大题共6小题） 18．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答. 【初步尝试】 （1） 如图（1），在中，，过点作，，连接.点在线段上，满足，求的长. 图（1） 【类比探究】 （2） 如图（2），在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），.当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由. 图（2） 【拓展迁移】 （3） 如图（3），在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），.当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由. 图（3） 19．如图（1），在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． 图（1） （1） 如图（2），当直线经过点时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使是等边三角形，不需要说明理由． 图（2） （2） 如图（3），当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． 图（3） 备用图 （3） 在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 20．如图,点O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4.E,F是AC上的点(E,F均不与A,C重合),且AE=CF,连接BE,DF.用x表示线段AE的长度,点E与点F的距离为y1.矩形ABCD的面积为S,△ABE的面积为S1,△CDF的面积为S2,y2=. (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象,并分别写出函数y1,y2的一条性质; (3)结合函数图象,请直接写出y1<y2时x的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过0.2). 21．综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图①写出一个等式：___________； （2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： （3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点．过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值．若不是定值，请说明理由． 22．折纸的思考． （1）【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． （2）【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 23．综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图②中，矩形的周长为________； （2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D C B A A B B A B C 13． 14．4或16 15．/ 16．由题意可得的面积等于矩形面积的一半，的面积为.在中，， 当最大时，有最大值.由题意可得点在以为圆心，4为半径的圆弧上运动，当射线与圆相切时，最大，此时,两点重合，，，三点共线，如图.由题意可得， ， ， ，，，，，， 在中，.故答案为10，. 17．如图，过点C作，过点A作，过点B作BEx轴，交于点E，作轴于点F，连接， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∵面积为20， ∴矩形的面积为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴点E的坐标是， 取的中点为M，连接，， ∵是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∵点A是x轴正半轴上的动点， ∴点C也是动点， ∴， 当点O，C，M三点共线时，取最大值， ∴的最大值为． 18．（1），，，.又，，，. （2） .理由如下：连接 四边形为矩形，，，，，，，，即， 四边形为矩形，， ，，. （3） .理由如下：如图，延长至点，使得，连接，，，.同理（2）可得，，，， 四边形为矩形，，，，. 19．（1） （答案不唯一）. 由折叠可得，. 当 时， ， ， 是等边三角形. （2）四边形是菱形.理由如下： 四边形是矩形， . 由折叠的性质可得 ， ，. ， ， . ， . ，， ，． ，， 四边形是平行四边形. ，是菱形. （3） 2或. 当在上时，如图（1），设，则. 由折叠的性质可得， . 在中，， ，解得， ，. 设，则. ， ， 在中，， 即，解得， ，. 图（1） 图（2） 当点在上时，如图（2），连接. 四边形是矩形， . 在和中， ，. 又, ,. 20．(1)y1=y2=(0<x<5). ∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4, ∴∠ABC=90°,∴AC==5, ∴AO=CO=. 当0<x≤时,AE=CF=x,∴y1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x; 当<x<5时,AE=CF=x,∴y1=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5, ∴y1= 如图(1),过点B作BM⊥AC于点M. ∵S△ABC=AB·BC=AC·BM,∴BM==, ∴△ABE的面积S1=AE·BM=x×=x, 同理可得△CDF的面积S2=x. 又∵矩形ABCD的面积S=3×4=12, ∴y2===,∴y2=(0<x<5). 图(1) (2)作图如图(2). 图(2) 性质:当0<x≤时,y1随x的增大而减小;当<x<5时,y1随x的增大而增大(函数y1的性质不唯一). 当0<x<5时,y2随x的增大而减小. (3)结合函数图象,可得y1<y2时x的取值范围为0<x<3.3(或0<x<3.1或0<x<3.2或0<x<3.4或0<x<3.5). 21．(1)大正方形的面积可表示为：或， （2）设， ， ，，即，， ， 答：阴影部分的面积为17． 拓展应用： （3）∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∵，， ，是等腰直角三角形， 于点，于点， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴图中的所有三角形都是等腰直角三角形， 设， 依题意得：四边形是长方形， 22．（1）解：由折叠的性质得：是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形； （2）解：如图⑤所示； 在矩形中把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到； 再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上， 得到； （3）解：如下图所示， 是等边三角形， ， 过点作，则， ， ； 如下图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，． 23．（1）解：矩形的长宽 矩形的周长； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：直线符合要求，理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 直线将矩形分成周长相等的两部分， 直线符合要求． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $