1.1集合的概念（分层作业，12大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 1.1 集合的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断元素能否构成集合 题型02 元素与集合关系的判断 题型03 用描述法表示集合 题型04 用列举法表示集合 题型05 列举法求集合中元素的个数 B组 能力进阶 题型01 根据元素与集合的关系求参数 题型02 集合中元素特性的应用 题型03 集合表示方法的应用 题型04 根据集合中元素的个数求参数 题型05 集合与方程的综合问题 题型06 已知集合相等求参数 C组 思维拔高 题型 集合的新定义 判断元素能否构成集合题型01 1．（26-27高一上·辽宁·月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．π的近似值 B．比较小的数 C．与给定点A，B等距离的点 D．3班的高个子同学 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 元素与集合关系的判断题型02 1．已知集合，则与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·河南周口·质检）用符号或填空： _____； _____；____；____； ____. 5．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________. ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 用描述法表示集合题型03 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北高碑店·月考）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为______． 3．用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合______. 4．（25-26高一上·贵州·联考）已知点A，B，C在数轴上所对应的数分别为0，x，2，若点A与点C关于点B对称，则________；若点B到线段中点的距离小于2，则x的取值集合为________． 用列举法表示集合题型04 1．集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 3．用列举法表示集合：为不超过的质数______. 4．（26-27高一上·上海·月考）用列举法表示集合：_________. 5．（25-26高一上·江西·质检）用列举法表示集合______________________． 列举法求集合中元素的个数题型05 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 2．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 4．（25-26高一上·云南·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 5．设集合，，集合，则中元素的个数为___________. 根据元素与集合的关系求参数题型01 1．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 2．（26-27高三上·湖北·月考）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 集合中元素特性的应用题型02 1．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·四川达州·质检）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 3．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 4．（26-27高一上·上海·月考）给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数的最小可能值是_________． 5．（24-25高一上·云南·月考）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 集合表示方法的应用题型03 1．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·河南新乡·月考）请写出五个常用数集及其记法. 4．（24-25高一上·上海·质检）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 根据集合中元素的个数求参数题型04 1．（25-26高一上·江西九江·月考）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 4．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 集合与方程的综合问题题型05 1．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 2．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 3．（25-26高一上·上海·月考）设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 4．（24-25高一上·云南红河州蒙自·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 5．（25-26高一上·上海·月考）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 已知集合相等求参数题型06 1．（24-25高一上·湖南永州·月考）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 2．，则______． 3．（26-27高一上·上海·月考）已知实数满足，则的最大值为_________. 集合的新定义题型 1．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 2．（24-25高一上·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（24-25高一上·山东青岛·月考）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 集合的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断元素能否构成集合 题型02 元素与集合关系的判断 题型03 用描述法表示集合 题型04 用列举法表示集合 题型05 列举法求集合中元素的个数 B组 能力进阶 题型01 根据元素与集合的关系求参数 题型02 集合中元素特性的应用 题型03 集合表示方法的应用 题型04 根据集合中元素的个数求参数 题型05 集合与方程的综合问题 题型06 已知集合相等求参数 C组 思维拔高 题型 集合的新定义 判断元素能否构成集合题型01 1．（26-27高一上·辽宁·月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．π的近似值 B．比较小的数 C．与给定点A，B等距离的点 D．3班的高个子同学 【答案】C 【分析】根据集合的定义逐项判断. 【详解】对于A，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度， 该对象不具有确定性，故A中的对象不能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“与给定点A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线， 故C中的对象能构成集合； 对于D，描述的对象“班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3．下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【答案】②③⑤ 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 元素与集合关系的判断题型02 1．已知集合，则与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选:A 2．已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 4．（26-27高一上·河南周口·质检）用符号或填空： _____； _____；____；____； ____. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】是自然数，； 不是正整数，；不是整数，；是有理数，；是实数，. 5．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________. ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 用描述法表示集合题型03 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·河北高碑店·月考）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为______． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 3．用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合______. 【答案】 【分析】根据被7除余3的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为. 故答案为： 4．（25-26高一上·贵州·联考）已知点A，B，C在数轴上所对应的数分别为0，x，2，若点A与点C关于点B对称，则________；若点B到线段中点的距离小于2，则x的取值集合为________． 【答案】 1 【分析】利用对称可得，由距离小于2，可得，再解不等式即可． 【详解】点A与点C关于点B对称, ，解得； 中点对应的为1， 又点B到线段中点的距离小于2， 所以，解得． 故答案为：1；． 用列举法表示集合题型04 1．集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，再利用集合列举法表示即可得解. 【详解】 故选：C 2．已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【详解】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 3．用列举法表示集合：为不超过的质数______. 【答案】 【分析】根据质数的定义即可解答. 【详解】因为质数的定义为“如果一个大于的整数，除和自身外无其他正因数，则称这个正整数为质数”， 所以为不超过的质数. 故答案为：. 4．（26-27高一上·上海·月考）用列举法表示集合：_________. 【答案】 【详解】，故或1， 当时，，当时，，所以集合为. 5．（25-26高一上·江西·质检）用列举法表示集合______________________． 【答案】 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 列举法求集合中元素的个数题型05 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 2．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【详解】根据题意， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 3．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【分析】根据题意得到，再结合求解即可. 【详解】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B 4．（25-26高一上·云南·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 5．设集合，，集合，则中元素的个数为___________. 【答案】46 【分析】分，列举出集合对应的元素，除去重复的计算即得解 【详解】由题意，集合 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，对应，其中有3个数1，2，3与时重复； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 故中元素的个数为 故答案为：46 根据元素与集合的关系求参数题型01 1．（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 2．（26-27高三上·湖北·月考）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可. 【详解】由题意得，即，此时显然不成立，舍去， 或，此时集合，满足互异性， 所以. 3．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 集合中元素特性的应用题型02 1．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 2．（24-25高一上·四川达州·质检）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 3．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 4．（26-27高一上·上海·月考）给定5个正整数，从中任取4个数求和，所得的所有和数构成集合，则原来的五个数的最小可能值是_________． 【答案】18 【分析】令这5个正整数为，且它们的总和为，表示出任取4个数的求和结果，结合所有和数构成集合，可判断出这5个数必有2个数相等，再结合这5个和的总和为，必须是整数，即必须能被4整除，确定4个数的求和结果的重复情况，即可求解． 【详解】设这5个正整数为，它们的总和为． 任取4个数求和，得到的和分别为，，，，， 所以这5个和的总和为． 因为这些和构成的集合为，只有4个元素， 所以这5个数必有2个数相等，使得这2个数对应的和是相同的． 因为，由于其中1个和被重复计算了一次， 所以． 因为必须是整数，所以必须能被4整除． 又因为，余数为0，所以也必须能被4整除． 在集合中，能被4整除的数为92和96，所以分两种情况． 情况一：92重复．，解得． 此时这5个数分别为，，， ，，即这5个数为18，20，24，24，30； 情况二：96重复．，解得． 此时这5个数分别为，，， ，，即这5个数为19，21，21，25，31． 两组解均满足题意，故原来的五个数的最小可能值是18． 5．（24-25高一上·云南·月考）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 【答案】(1)且且且 (2) 【分析】（1）根据集合元素的互异性列不等式来求得正确答案. （2）结合（1）求得正确答案. 【详解】（1）根据集合元素的互异性可知， 解得且且且. （2）由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得（舍去）. 集合表示方法的应用题型03 1．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 2．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 3．（26-27高一上·河南新乡·月考）请写出五个常用数集及其记法. 【答案】 ①自然数集，记为；②正整数集，记为（或）；③整数集，记为；④有理数集，记为；⑤实数集，记为. 【详解】①自然数集，记为；②正整数集，记为（或）；③整数集，记为；④有理数集，记为；⑤实数集，记为. 4．（24-25高一上·上海·质检）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 根据集合中元素的个数求参数题型04 1．（25-26高一上·江西九江·月考）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 2．设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 4．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是________． 【答案】 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由方程可知，解得且， 方程可化简为， 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有两个相等且不为和的解， ，解得， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得，，此时方程的另一根为，满足题意； 综上所述：或或，即的所有可能值组成的集合是. 故答案为： 集合与方程的综合问题题型05 1．（24-25高一上·上海·期中）若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论参数a，结合集合的描述判断可能对应的集合. 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 2．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 3．（25-26高一上·上海·月考）设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 【答案】 当时，方程组的解集为； 当时，方程组的解集为. 【分析】先消去得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】消去得， 当，即时，不成立，则无解，原方程组的解集为； 当，即时，则， 原方程组的解集为. 综上所述，当时，方程组的解集为； 当时，方程组的解集为. 4．（24-25高一上·云南红河州蒙自·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1) 证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 5．（25-26高一上·上海·月考）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 已知集合相等求参数题型06 1．（24-25高一上·湖南永州·月考）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 2．，则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 3．（26-27高一上·上海·月考）已知实数满足，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】根据集合的意义，方程共有个根，但仅有个不同的值，说明存在一个重根.为使5个数的和最大，选取最大数作为重根，计算可得和的最大值. 【详解】由集合可知： 5个实数的不同取值只有，即这5个数均从中选取. 集合有4个元素，说明每个数至少出现一次，因此恰好有一个数重复出现两次，其余三个数各出现一次. 要让5个数的总和最大，应让重复出现两次的数取集合中的最大值4，此时5个数为，总和为，即所求最大值为14. 集合的新定义题型 1．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 2．（24-25高一上·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 3．（24-25高一上·山东青岛·月考）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由数域定义分析各说法可得答案. 【详解】①因数域G是非空数集，取其中任意元素，则由数域定义，故①正确； ②因数域G有非零元素，设为，则由数域定义，因，则，， 类推可得任意正整数都在数域中，故②正确； ③表示全体被3整除的整数，则，但，故③错误； ④设，则，，，当时，，则有理数集是一个数域，故④正确. 故选：C 4．已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 【答案】不具有性质；具有性质； 【详解】，不具有性质； ，，，具有性质. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $