1.1.1集合及其表示方法（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

1.1.1集合及其表示方法 题型一 集合的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 4．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 5．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 题型二 常用数集及其应用 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 判断元素与集合的关系 10．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 题型四 根据元素与集合的关系求参数 13．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A．B． C． D． 17．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 题型五 利用集合的互异性求参数 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 19．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 21．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 22．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型六 列举法表示集合 23．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 25．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 26．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 27．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 题型七 描述法表示集合 28．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 29．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 30．【多选】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 31．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 32．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 33．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型八 区间表示集合 34．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 36．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 37．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 题型一 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 4．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 5．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 根据集合中元素的个数求参数 6．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 题型三 集合新定义 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 11．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 4．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 6．【多选】（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 7．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则中的元素个数为 ． 9．（24-25高一上·全国·课前预习） ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 11．（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 12．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 13．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 15．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1集合及其表示方法 题型一 集合的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 4．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 题型二 常用数集及其应用 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 7．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 8．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 9．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 题型三 判断元素与集合的关系 10．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 11．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 12．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系判断得解. 【详解】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 题型四 根据元素与集合的关系求参数 13．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 17．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 题型五 利用集合的互异性求参数 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 19．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 20．（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据集合中元素的互异性得出且，即可写出一个满足的条件的. 【详解】解：由集合中元素的互异性可知：， 解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 21．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 22．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的互异性分析求解. 【详解】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 题型六 列举法表示集合 23．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 24．（24-25高一上·北京·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 25．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【详解】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 26．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【详解】（1）由可得：，所以. （2）. （3）. 27．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 题型七 描述法表示集合 28．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)，且 (2)且 【分析】（1）先考虑被3除余2的正整数用表示，再考虑正整数及1000以内这两个限制条件，用描述法表示即可； （2）先考虑平面直角坐标系中第二象限内的点的特点是，再考虑集合是点集，用描述法表示即可． 【详解】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且． 29．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 30．【多选】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 31．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 32．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 33．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 题型八 区间表示集合 34．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 35．（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 36．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 【答案】 【分析】且解集，即为不等式组的解集，求解并将解集写成区间即可. 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 37．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    题型一 利用集合中元素的性质求集合元素个数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合中的元素的特征，确定集合的元素即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 所以，共有个元素． 故选：C. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 4．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 5．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 题型二 根据集合中元素的个数求参数 6．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 【答案】B 【分析】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值. 【详解】由，消去整理可得， 当时，解得，此时方程组的解为，符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为，符合题意； 综上可得或. 故选：B 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 题型三 集合新定义 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 11．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 3．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【答案】B 【分析】分类讨论方程根的个数即可. 【详解】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 4．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可. 【详解】因为，，所以． 故选：B． 5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 6．【多选】（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 7．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的描述法写出集合的元素即可得解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 9．（24-25高一上·全国·课前预习） ． 【答案】 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得， 则. 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【详解】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 11．（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 12．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 13．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析 (2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解； （2）根据集合中元素的特征判断求解； （3）设，，进而根据集合中元素的特征判断求解. 【详解】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 15．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$