6.1.5 向量的线性运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算 6.1平面向量及其线性运算 学 习 目 标 1 2 理解向量线性运算的定义；熟练掌握数乘向量三条运算律，能对向量加、减、数乘混合式子化简；能解简单的向量方程；会用线性运算表示几何图形中 重点：向量线性运算的运算律、向量代数式化简。 难点：向量方程求解、几何图形中向量的线性表示；区分向量与实数，向量不能直接等于实数。 复习回顾 我们已经学了向量加法、减法、数乘向量。 提问： ① 可以写成 ；？ ② ？能不能像代数式一样去括号？ 引出：把加、减、数乘混合在一起的运算，就是向量的线性运算。 类比：实数整式可以去括号、合并同类项；向量的混合运算有没有类似规则？今天研究向量线性运算。 目标一：新知探究 探究1：数乘向量的运算律 知识讲解 互动探究 新课引入 结合律 第一分配律（数对向量分配） 第二分配律（数对两个向量和分配） 说明：运算顺序——先数乘，后加减；有括号先算括号。 5 探究2：向量线性运算定义 知识讲解 互动探究 新课引入 向量的加法、减法、数乘向量，以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算。 线性运算结果仍然是向量。 类比提示：向量运算类似多项式运算，可以去括号、合并同类向量、提取系数； 易错警示：向量和实数不能直接相等， 是错误写法。 6 探究3：向量方程思想 知识讲解 互动探究 新课引入 把向量看作未知数，利用运算律移项、合并，解向量方程。 本质：方程变形规则和实数方程一致，但所有未知数都是向量。 7 探究4：几何意义（简要） 知识讲解 互动探究 新课引入 线性运算 可以用来表示平面内新向量，常用于三角形、平行四边形中向量转化，为后面共线向量、平面向量基本定理铺垫。 8 目标二 ：向量表示 题型1 向量表示 错解 例1 已知点 分别为四边形 的对角线 的中点，设 ，则用 表示 。 典例分析 牛刀小试 如图 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 。 因为点 是 的中点，所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 又 是 的中位线，所以 ，所以 (+b)。 题型1 向量表示 正解 例1 已知点 分别为四边形 的对角线 的中点，设 ，则用 表示 。 典例分析 牛刀小试 如图 ，取 的中点 ，连接 。 在 中， 是中位线， 所以 。 在 中， 是中位线， 所以 。在 中，。 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质。首先应根据题意判断所给图形是不是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解。 题型1 向量表示 例2 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 ( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解 方法一：。 方法二：。 题型1 向量表示 例3 设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 ( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 【解析】因为 中 边上的中线为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ，所以 。故选 A。 题型1 向量表示 例4 已知 分别是 的边 上的点，且 ，那么 与 ( )。 A.相等 B.模相等 C.同向平行 D.反向平行 典例分析 牛刀小试 【解析】， ，从而 ，故 与 反向平行。 题型1 向量表示 例5 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注释时给出的，被后人称为“赵爽弦图”。“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽。如图 ，大正方形 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ， 为 的中点，则 ( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 【解析】设 ，则 。在 中， 得 。 如图，过点 作 ，垂足为点 ，则 ，所以 ，所以 。故选 A。 目标三 ：线性运算求参 题型2 求参 例6 在矩形 中，已知 分别是 上的点，且满足 。若 （），则 的值为 典例分析 牛刀小试 【解析】 如图，结合题意绘出图形。因为 ， 所以 ， 则 ，故 。 题型2 求参 例6 在矩形 中，已知 分别是 上的点，且满足 。若 （），则 的值为 典例分析 牛刀小试 因为 ，所以 解得 ，故 。 题型2 求参 例7 已知 是 所在平面内的一点，若满足 ，且 ，则实数 的值是________。 典例分析 牛刀小试 【解析】 连接 (图略)，由条件得 ，即 ，令 分别是 的中点，连接 ，则 ，所以 ，所以 三点共线，所以 第六张图： ，所以 ，故 。 题型2 求参 例8 在 中，， 是 上一点，若 ，则实数 的值为( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 因为 ，所以 。设 ，则 ，又 ，所以 ，由 与 不共线，得 解得 。故选 C。 题型2 求参 例9 如图所示，在 中，在 上取一点 ，使得 ，在 上取一点 ，使得 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，在 的延长线上取点 ，使得 时，，试确定 的值. 典例分析 牛刀小试 解 ，， 又 ，， 即 ，。 目标四 ：几何应用 题型3 几何应用 例10 已知 是 内一点，，记 的面积为 ， 的面积为 ，则 ( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 典例分析 牛刀小试 【解析】 ，。设线段 的中点分别为点 ，连接 ，如图所示， 则 ，，，即 三点共线，且 ，则 。又 ，，即 。故选 D。 题型3 几何应用 例11 若 是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为________。 典例分析 牛刀小试 .直角三角形 【解析】 ，所以 。故 为矩形的三个顶点， 为直角三角形。 题型3 几何应用 例12 如图 ， 是点 关于点 的对称点， 是线段 靠近点 的三等分点，设 。 (1) 用向量 与 表示向量 ； (2) 若 ，求证： 三点共线。 典例分析 牛刀小试 (1) ，， 。 (2) ，， 三点共线。 。 目标五 ：针对训练 举一反三 1.在 中，若 ，则 () A. B. C. D. 解析： 由 ，得 。 。 举一反三 2.如图，在四边形 中，，，设 ，，则 () A. B. C. D. 解析： 连接 ，，因为 ，，， 所以 ，整理得 ， 又因为 ，，，， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 。 举一反三 3.如图，已知 ，则 () A. B. C. D. 解析： 因为 ，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 则 。故选:C 举一反三 4.已知 是平行四边形 边 上的一点，则下列正确的是()。 A. B. C. D. 解析： 已知 是平行四边形 边 上的一点， ，A 选项错误； ，B 选项错误； ，C 选项正确； ，D 选项错误；故选:C 举一反三 5.在平行四边形 中， 为 的中点，若 ，则() A. B. C. D. 解析： 在平行四边形 中， 为 中点， 则 ， 因为 ，所以 ， 若 ，则 ，所以 。 目标六：小结 学海拾贝 一、 核心概念 1. 线性运算的定义：向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算。 2. 共线向量：方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量共线。 二、 运算法则与运算律 加法法则：三角形法则（首尾相接）与平行四边形法则（共起点）。 减法法则：共起点，指向被减向量 数乘向量：实数 λ 与向量 的乘积 λ 仍是一个向量。 模：|λ |=|λ|| | 方向：当 λ>0 时与 同向；当 λ<0 时与 反向。 学海拾贝 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa 第二分配律：λ(a+b)=λa+λb 三、 重要定理与公式 共线定理：向量 与 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使 。 中点公式：若 为线段 的中点，则 （ 为任意一点）。 学海拾贝 三角形重心公式：若 为 的重心，则 。 三点共线判定：对于平面内任意三点 ，若存在实数 满足 ，使得 ，则 三点共线。 四、 数学思想方法 1. 类比思想：向量线性运算与多项式代数运算类似，可以合并同类项、提取公因式。 2. 数形结合：利用几何图形的性质（如平行四边形、三角形中位线）来简化向量运算，或通过向量运算证明几何结论。 3. 化归与转化：将几何问题转化为向量问题，通过向量运算解决后再回归几何解释。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $