6.1.5 向量的线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 6．1．5　向量的线性运算 (教师独具内容) 课程标准：了解平面向量的线性运算及其几何意义． 教学重点：向量的线性运算． 教学难点：应用向量的线性运算解决问题． 核心素养：通过学习向量的线性运算及应用向量的线性运算解决问题培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　向量的加法与数乘向量的混合运算 (1)一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a． (2)一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb． 知识点二　向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 1．(向量的线性运算)下列计算正确的个数是(　　) ①(－4)×3a＝－12a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 2．(利用向量的线性运算求模)已知e是单位向量，a＝2e，b＝－3e，则|a－2b|＝________． 答案：8 题型一　向量的加法与数乘向量的混合运算　 　计算下列各式并填写结果： (1)4×a＋2(a＋b)＋4b＝________； (2)2(3a＋2b)＋3(a＋5b)＋5(a＋4b)＝________． [解析]　(1)原式＝2a＋2a＋2b＋4b＝4a＋6b． (2)原式＝6a＋4b＋3a＋15b＋5a＋20b＝(6＋3＋5)a＋(4＋15＋20)b＝14a＋39b． [答案]　(1)4a＋6b　(2)14a＋39b 【感悟提升】向量的加法与数乘向量混合运算的关注点 (1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同． (2)数乘向量的运算律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量． (3)数乘向量有两个分配律(λa＋μa)＝(λ＋μ)a可称为第一分配律，λ(a＋b)＝λa＋λb可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律． 【跟踪训练】 1．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与(　　) A．相等 B．模相等 C．同向平行 D．反向平行 答案：D 解析：易得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行． 题型二　向量的线性运算　 　(1)化简：3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)． [解]　3a－[6a－2b－4(2a－3b)]＋(a＋8b)＝3a－(6a－2b－8a＋12b)＋(a＋8b)＝(3－6＋8＋1)a＋(2－12＋8)b＝6a－2b． (2)把满足5x－6y＝a，－4x＋5y＝b的向量x，y用a，b表示出来． [解]　由已知得 ①×4＋②×5得y＝4a＋5b， ①×5＋②×6得x＝5a＋6b， 所以x＝5a＋6b，y＝4a＋5b． 【感悟提升】 1．线性运算形式 (1)几何运算 ①三角形法则；②平行四边形法则； ③ (2)代数运算 ①类比法：向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用． ②方程法：“方程形式”的问题可以把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解． 2．数乘向量满足的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a． (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa． (3)λ(a＋b)＝λa＋λb．(λ，μ为实数) 【跟踪训练】 2．化简：． 解：原式＝ ＝ ＝＝a－b． 题型三　利用向量线性运算表示相关向量　 　如图，在四边形ABCD中，＝2，＝2，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b [解析]　因为＝2，＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝＋＋＝＋＋＝a＋b．故选C． [答案]　C 【感悟提升】用已知向量表示未知向量的求解思路 【跟踪训练】 3．如图所示，四边形OADB是平行四边形，且向量＝a，＝b，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，． 解：＝－＝a－b， ＝＝＝a－b， 所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b． 又因为＝a＋b，＝， 所以＝＝a＋b，所以＝－＝－＝a－b． 题型四　证明三点共线问题　 　已知非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线． [证明]　∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6，∴向量与共线．又向量与有共同的起点A，故A，B，D三点共线． 【感悟提升】解决三点共线问题的思路 先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线． 【跟踪训练】 4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)， ∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ， ∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． 又与有公共点A，故A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ， 若点B在线段AM上，则与同向， 且||>||>0，故λ>1， 即实数λ的取值范围为{λ|λ>1}． 1．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法： ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n． 其中正确的说法是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案：B 解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n． 2．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果为(　　) A．2a－b B．2b－a C．a－b D．b－a 答案：B 解析：原式＝×(2×2－4×4)a＋×(2×8＋4×2)b＝－a＋2b． 3．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 答案：A 解析：由＝＋λ(＋)，得＝λ(＋)，如图所示，设BC的中点为D，则＋＝2，所以＝2λ，当λ∈(0，＋∞)时，可知点P在射线AD上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选A． 4．(多选)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则(　　) A．＋＝0 B．＋＝0 C．＋＝ D．＋＋＝0 答案：CD 解析：显然＋＝成立，C正确；∵＋＝3，∴＝＋，∴＝＋＝＋＋＝－，＝＋＝－，∴＋＝－≠0，＋＝－－≠0，＋＋＝0，A，B错误，D正确．故选CD． 5．已知在四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量＝____________(用a，b，c表示)． 答案：3a＋3b－5c 解析：在四边形ABCD中，取AD的中点M，连接ME，MF，所以ME为△ACD的中位线，MF为△DAB的中位线，故＝－＝－＝(＋)＝[(a－2c)＋(5a＋6b－8c)]＝3a＋3b－5c． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 向量的线性运算 用已知向量表示其他向量 三点共线问题 用已知向量表示其他向量 向量的线性运算在几何计算中的应用 向量加法法则的应用；三点共线问题 用已知向量表示其他向量 利用向量的线性运算解向量方程 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 用已知向量表示其他向量 向量的线性运算；数乘向量的定义 向量的线性运算在几何证明中的应用 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量 利用向量的线性运算求参数 用已知向量表示其他向量；三点共线问题 三点共线问题；向量的线性运算在几何计算中的应用 一、单选题 1．化简：－＝(　　) A．a－b＋2c B．5a－b＋2c C．a＋b＋2c D．5a＋b 答案：A 解析：－＝3a＋b＋c－2a－b＋c＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c．故选A． 2．如图，在△ABC中，AD＝AB，E是CD的中点．设＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．a＋b C．a－b D．a＋b 答案：A 解析：在△ABC中，AD＝AB，E是CD的中点，所以＝－＝－(＋)＝－＝－＝－(－)＝－＝a－b．故选A． 3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，D三点一定共线 B．A，B，C三点一定共线 C．B，C，D三点一定共线 D．A，C，D三点一定共线 答案：A 解析：∵＝a＋5b，＝＋＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b，∴＝，∴A，B，D三点一定共线．故选A． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝(　　) A．a－b B．a＋b C．－a＋b D．－a－b 答案：B 解析：如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则GF∥AD，且G是DE的中点，所以＝＝＝，且△AHD∽△FHG，所以＝，所以＝．又＝＋＝b＋a，所以＝＝a＋b．故选B． 5．已知P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△ABP与△ACP的面积之比是(　　) A．3∶1 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶2 答案：B 解析：由＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，可得＝，即点P在线段BC上，且||＝||，则△ABP与△ACP的面积之比等于||∶||＝2∶3．故选B． 二、多选题 6．设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则M是BC的中点 B．若＝－＋，则M是△ABC的重心 C．若＝2－，则M，B，C三点共线 D．若＝，则＝＋ 答案：ACD 解析：对于A，如图1所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得＋＝＝2，若＝＋，可得M为BC的中点，故A正确；对于B，若M为△ABC的重心，则＋＋＝0，即＝－－，故B不正确；对于C，由＝2－，可得－＝－，即＝，所以M，B，C三点共线，故C正确；对于D，如图2所示，由＝，可得＝＋＝＋(－)＝＋，故D正确．故选ACD． 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－＋ D．＝－ 答案：ABC 解析：由题意，得＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确；∵＝3，∴＝＝－＋，∴＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确；＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选ABC． 三、填空题 8．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 答案：4b－3a 解析：由原方程得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，即x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a． 9．如图所示，已知＝，则可用，表示为________． 答案：＝－＋ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋． 10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________． 答案：2　2 解析：因为－3＋2＝0，所以－＝2(－)，所以＝2，所以＝2． 四、解答题 11．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形． 证明：如图所示， ∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2，∴与共线，且||＝2||， 又这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC． ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 12．如图所示，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量． 解：如图，连接AM并延长交BC于点D． ∵M是△ABC的重心， ∴D是BC的中点，且AM＝AD． ∴＝＝(＋) ＝＋＝＋ ＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c． ∴＝＋＝a＋＝(a＋b＋c)． 13．我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知＝3，＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 答案：A 解析：由题意＝＝(＋)＝＝＋＝＋(－)＝＋－，即＝＋＝a＋b，所以＝a＋b．故选A． 14．已知P，Q是△ABC所在平面内的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则实数λ＝________． 答案： 解析：由＋＝0，知＝－＝，所以P是边AC的中点，又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝． 15．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b． (1)用a，b表示，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC． 则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a． (2)证明：由(1)，知＝，∴，共线． 又，有公共点B， ∴B，E，F三点共线． 16．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0． (1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线； (2)求△ABC与△AOC的面积之比． 解：(1)证明：如图，＋＝2，＋＝2， ∵＋2＋3 ＝(＋)＋2(＋) ＝2(＋2)＝0， 即＋2＝0， ∴与共线． 又与有公共点O， ∴D，E，O三点共线． (2)由(1)，知2||＝||， ∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，∴＝3． 13 学科网（北京）股份有限公司 $