6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量的数乘向量及线性运算，涵盖定义、几何意义、运算律及三点共线判断等核心知识。通过问题思考（如作图类比实数乘法）导入，衔接向量加法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和题型分类（如向量表示、三点共线证明）培养逻辑推理与直观想象，微专题结合三角形四心问题深化应用，规律方法总结助学生构建体系。教师使用可高效教学，学生能提升数学抽象与问题解决能力。

6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 　 第六章　6.1 平面向量及其线性运算 知识层面 1．掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．　 2．理解数乘向量的运算律．　 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 素养层面 通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养数学抽象和逻辑推理素养；借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 问题2．类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律． 问题导思 知识点一　数乘向量 1．数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时， ． 上述实数λ与向量a相乘的运算简称为 ． 新知构建 λa＝0 数乘向量 微提醒 (1)实数与向量可以求乘积，但不能进行加减运算．如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0. (3)对于非零向量a，当λ＝ 时，λa表示a方向上的单位向量． 2．数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a. 微提醒 数乘向量λa中，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关．当λ>0时，沿着向量a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍； 当λ<0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|>1)或缩小(0<|λ|<1)到原来的|λ|倍． 3．λ(μa)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ(μa)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量．可以看出 λ(μa)＝______ (λμ)a 知识点二　向量的线性运算 1．向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法． (1)一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有 λa＋μa＝________ (2)一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有 λ(a＋b)＝________ (λ＋μ)a λa＋λb 2．向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． (1)向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项． (2)由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量． (3)当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号． 知识点三　判断三点共线 利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形． 一般地，如果存在实数λ，使得 平行且有公共点A，从而 三点一定共线． A，B，C 1．(多选)如图，设P，Q是线段AB的三等分点(P靠近点A)，则下列向量表达式正确的是 自主检测 √ √ √ 分析可知A、B、C都是正确的，而 ，故D中表达式错误． 对于A，因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；对于B，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；对于C，当λ＜0时，λ ＜0，故C选项错误；对于D，当λ＞0时，－λ ＜0，故D错误．故选A. 2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 √ √ －2a 2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 5．化简：2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝________． 14a－9b 返回 合作探究 返回 题型一　数乘向量 (1)下列各式化简正确的是_________． ①－3×2a＝－5a； ④0×b＝0. (2)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________． [思路点拨]　(1)利用数乘运算法则判断． (2)a与λa若方向相同，则λ>0. 例1 ②③ (2)由向量数乘定义可知，2x－1>0，即x> 规律方法 1．λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数． 2．数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．　　 对点练1．(1)化简下列各式： 题型二　向量的线性运算 (3)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y. [思路点拨]　向量的线性运算与实数的运算类似，遵循括号内运算优先的原则，将相同的向量看成“同类项”进行合并，要注意所得的结果是向量． 例2 (3)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y. 解：将3x－y＝b的两边同乘以2，得6x－2y＝2b， 规律方法 向量线性运算的方法 1．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作向量的系数． 2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　 对点练2．设x是未知向量，a，b是已知向量，且满足3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝0，求x. 解：3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝3x＋3a＋2b－2a＋x－a－2b＝0，即4x＝0，得x＝0. 题型三　利用已知向量表示相关向量 例3 规律方法 用已知向量表示未知向量的技巧 1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律． 2．当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解．　　 对点练3．(1)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ＝ √ (2)如图，在△ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点， √ 题型四　三点共线问题 设a，b是不共线的两个非零向量，若 ＝a－3b，求证：A，B，C三点共线． 例4 所以A，B，C三点共线． 规律方法 证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．　　 所以A，B，D三点共线． 返回 随堂演练 返回 1．将 [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为 A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a C．a－b D．b－a √ √ √ 微专题(三)　利用向量的线性运算解决三角形中的问题 微点一　判断三角形的形状 1．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足 则△ABC的形状为 A．等边三角形　　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 √ 即以AB，AC为邻边的平行四边形中，两条对角线长度相等，该平行四边形是矩形，所以 .所以△ABC为直角三角形．由于AB不一定等于AC，因此△ABC不一定为等腰直角三角形． 微点二　求三角形的面积之比 2．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足 则△PBC与△ABC的面积之比是________． 所以A，P，C三点共线，即点P在边CA上，且PC∶AC＝2∶3，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 2∶3 名师点评：　利用向量的加法、减法、数乘向量等知识可以解决平面几何中的线段(或直线)平行、重合及图形相似等问题，解题的关键在于把平面几何语言转化为向量语言． 微点三　解决三角形的“四心”问题 3．若G是△ABC内一点，且 则点G是△ABC的 A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 √ 名师点评：内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点，垂心是高的交点，重心是中线的交点． 4.O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足 λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 A．外心　　　　　　　 B．内心 C．重心 D．垂心 √ 名师点评：　三角形的“四心” 1．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等． 2．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．若M是△ABC内一点，满足 则点M为△ABC的外心． 3．三角形的垂心：三角形三条高线的交点． 4．三角形的重心：三角形三边中线的交点． 返回 课时测评 返回 ①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选B. 1．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，则m＝n. 其中，正确的说法是 A．①②③　　　　　　 B．①②④ C．①③④ D．②③④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示 √ 2．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则 ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知c是非零向量，且a＝－2c，3b＝c，判断a与b是否平行．答：________________． 因为a＝－2c，3b＝c且c为非零向量，所以a＝－6b，故a与b平行且方向相反． 平行且方向相反 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)化简： (1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(4分) 解：原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b. (2)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b).(m，n是实数)(6分) 解：原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则 A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 当k＝ 时，m＝－e1＋ e2，n＝－2e1＋e2，所以n＝2m，此时m，n共线．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. ＝λ，则与 A．＝　　　　 B．＝ C．＝－ D．＝ ＝－ C．＝λ D．＝－λ 3．在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则＋－等于 A．0 B．4 C．4 D．4 点M是△ABC的重心，所以＋－＝2－＝2－(－2)＝4.故选C. 4．化简：(－4)×a＝________． (－4)×a＝(－4×)a＝－2a. . ②a×3×(－2)＝－3a；③－2×＝2； x> (1)因为－3×2a＝－6a，a×3×(－2)＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以，①④错误，②③正确． ± 由a＝λb，得＝＝.因为＝3，＝5，所以＝，即λ＝±. ①4×a；②－2××(－3a). (2)已知向量a，b满足＝3，＝5，且a＝λb，则实数λ的值是 ________． ①4×a＝－a. ②－2××(－3a)＝3a. (1)计算：[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a). 解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j. (1)计算：[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]. 解：原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a). 与5x＋2y＝a相加得11x＝a＋2b，即x＝a＋b. 所以y＝3x－b＝3(a＋b)－b＝a－b. 　如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. [思路点拨]　解答本题时可先把，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，. 解得x＝e2－e1， 即＝e2－e1. 由＝－，＝e1－x， 解：方法一　设＝x，则＝x，＝x， 得＝－e1＋e2. 所以＝＋＝e1－x，＝e1－x. 由＋＝，得x＋e1－x＝e2， 得 －2×②＋①，得x－2x＝e1－2e2，即x＝(2e2－e1)， 所以y＝(－2e1＋e2). 方法二　设＝x，＝y， 故＝e2－e1，＝－e1＋e2. 则＝x，＝－y，＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝， A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 根据题意得，＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝(＋＋)＝＋.故选D. 则＋＝ A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ ＋＝－＋－＝＋－2＝＋－＝＋－(＋)＝＋－×＝＋－(－)＝＋.故选B. ＝2a－b，＝3a＋b， [思路点拨]　可先求，，再求＝λ即可． 证明：　由题意，得＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2， 所以与共线，且有公共端点B， 对点练4．已知非零向量e1，e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B， 原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝(－12a＋24b)＝2b－a.故选B. 2．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于 A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.故选D. 3．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则 A．＋＝0 B．＋＝0 C．＋＝0 D．＋＋＝0 因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确． 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以解得k＝－. 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______． － 因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ， |－|＝|＋－2|， 因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|， ⊥ ＋＋＝， 因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2， ＋＋＝0， 如图，以GB，GC为邻边作平行四边形GBPC，连接GP，交BC于点D，显然D为BC中点，且＋＝. 因为＋＋＝＋＝＋2＝0，所以＝ 2，所以A，G，D三点共线，且AG∶GD＝2∶1.又D为BC中点，所以AD是△ABC的中线．所以G是△ABC的重心． ＝＋λ， 由＝＋λ，得－＝λ，则＝λ. 设1＝是与同向的单位向量，1＝是与同向的单位向量，以AB1，AC1为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，所以＋＝1＋1＝1，则＝λ1.由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的角平分线上．所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心． ||＝||＝||， A．－＋ B．－ C．＋ D．－ 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，因为E是CD的中点，所以＝＝－，所以＝＋＝－＋.故选A. 3．已知任意两个向量a，b不共线，若＝a＋b，＝a＋2b，＝2a－b，＝a－b，则下列结论正确的是 因为＝－＝b，＝－＝－2b，所以＝－2，和共线，又因为和有公共点A，所以A，B，D三点共线．故选B. 4．设D是△ABC所在平面内一点，＝3，则＝ A．＋ B．－ C．－ D．－＋ 因为＝3，所以－＝3－3， 所以＝－＋.故选D. 5．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是 因为＝－，所以∥，且||≠||，而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形． 7．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝__________． b－a 因为(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，所以a－2c＋15c－12b＝0.化简得13c＝12b－a，所以c＝b－a. ＝＋＝＋2　①，又＝＋，2＝2＋2＝2－2　②，①＋②得，3＝＋2，所以＝＋，因为由题知＝＋λ，所以λ＝. 8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________． △ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝＋λ，如图所示： 10．(10分)如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF＝AB，BD＝BC，CE＝CA，若记＝c，＝b，试用b，c表示，，. 所以＝＋＝a＋b＝(－b－c)＋b＝－b－c，＝＋＝b＋c， ＝＋＝c＋a＝c＋(－b－c)＝－b＋c. 解：＝＋＝－b－c.设＝a，则a＝－b－c. 由AF＝AB，得＝＝c. 同理，＝a，＝a，＝b，＝b. 12．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝ A．a－b B．a＋b C．－a＋b D．－a－b 如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则GF∥AD，且G是DE的中点，所以＝＝＝，且△AHD∽△FHG，所以＝，所以＝.又＝＋＝b＋a，所以＝(b＋a)＝a＋b.故选B. 于是有2＝＋，＝(＋)，即＝(a＋b). 13．(10分)如图所示，D是△ABC中BC边的中点，＝a，＝b， (1)试用a，b表示；(2分) 解：如题图，＝＋，＝＋. 因为D为BC的中点，所以＋＝0. (3)若点G是△ABC的重心，化简＋＋.(5分) 解：＋＋＝＋2＝＋＝0. (2)若点G是△ABC的重心，试用a，b表示；(3分) 解：因为G为△ABC的重心(三条中线的交点)，所以||∶||＝2∶1. 因为＝＋，所以＝＝×(a＋b)＝(a＋b). 14．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于 A． B．－ C．－6 D．6 ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋.因为＝x＋y，所以x＋y＝＋，所以(x－)＝(－y)，又与不共线，所以x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.所以3x＋6y＝6. 15．(15分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足＝2＋3，BM的延长线与AC的交点为N. (1)设＝a，＝b，请用a，b表示；(5分) 解：因为＝2＋3，则＝2＋3， 解得＝＋，即＝a＋b. 所以＝＝，所以＝，即λ＝. (2)设＝λ，求λ的值．(10分) 解：过M作MP∥AC交AB于P，过M作MQ∥AB交 AC于Q，则＝＋， 因为＝＋，则＝，又因为△BPM∽△BAN， $