3.7弧长及扇形的面积（分层作业，9大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.7 弧长及扇形的面积 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧长计算 题型02 求半径 题型03 求圆心角 题型04 求图形运动扫过的弧长 题型05 求扇形面积 题型06 不规则图形面积的计算 题型07 计算弓形面积 B组 能力进阶 题型 弧长及扇形的面积·综合应用 C组 思维拔高 题型 求图形扫过的面积 弧长计算题型01 1．（25-26九年级下·福建泉州·质检）如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式即可求得结果． 【详解】， ∴的长为． 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度． 【详解】解：根据弧长的公式，知 =6， 即该扇形的半径为6． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值． 3．如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 【答案】C 【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案 【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的， ∴ ∴ ∴这条弧长所对的圆心角为 故选：C 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形周长公式计算即可得到结果； 【详解】解：由扇形周长公式和题意可得： 扇形的弧长， 故答案为： 5．已知扇形的弧长是，圆心角为，则扇形所在圆的半径为________． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行求解即可．此题考查了弧长公式，，其中n是圆心角度数，r为半径，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 则， 解得， 故答案为：． 求半径题型02 1．把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设半径为R，利用弧长公式构建方程求出R即可． 【详解】解：设半径为R． 由题意，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 2．若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设母线长为，利用弧长公式建立等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥底面圆半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，且扇形圆心角为， ∴可得等式， 化简得，两边同除以得， 解得， 即圆锥母线长为． 3．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若，水平面上点M与点B之间的距离为，则所在圆的半径是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：过A、B作的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得的度数，然后可得得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：过A、B作的垂线交于点O， 设圆的半径为r ∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B， ∴O为圆心， ∵， ∴， ∴， ∵水平面上点M与点B之间的距离为， ∴ ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧的圆心角． 4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是__． 【答案】2 【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可； 【详解】连接OB、OC． ∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是， ∴=， ∴r=2． 故答案为2．    ． 【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 5．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． (2)的半径为2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，连接，先求出，再利用弧长公式求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 如图，连接， ∵，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， ∴的半径为2． 求圆心角题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题关键． 根据弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设所对圆心角的度数为n， 由题意，得， 解得， 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 4．一个圆锥的母线长是 4，底面圆的半径是 3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是  ________． 【答案】270°##270度 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵底面圆的半径是 3，母线长是 4， ∴圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数为n度，母线长是 4，则， 解得：270； 故答案为：270°． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 求图形运动扫过的弧长题型04 1．（2026·江苏盐城·二模）如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意，重物上升的高度是. 2．如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（    ） A．π B．π C．2π D．2π 【答案】B 【分析】根据已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长． 【详解】 解：如图，设弧AB的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB' ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点， 根据垂径定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB． ∴OC＝＝3． ∴PC＝OP−OC＝5−3＝2． ∴AP＝＝． ∵将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′， ∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°． ∴弧PP′的长为：＝π． 则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 3．如图，半径为4的⊙O中，为直径，弦且过半径的中点，点为⊙O上一动点，于点，当点从点出发逆时针运动到点时，点经过的路径长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长． 【详解】解：连接AC，AO， ∵AB⊥CD， ∴G为AB的中点，即AG=BG=AB， ∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点， ∴OG=2， ∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=, 又∵CG=CO+GO=4+2=6， ∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC=， ∵CF⊥AE， ∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆， 当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合， ∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长， 在Rt△ACG中，tan∠ACG=, ∴∠ACG=30°， ∴所对圆心角的度数为60°， ∵直径AC=， ∴的长为， 则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为， 故选：C．    【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键． 4．（24-25下·上海·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：时钟从上午到中午，转过的角度为， 因为时钟的时针长， 所以时针的针尖经过的路程为． 故答案为： 5．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的； (2)求出点A走过的路径长． 【答案】(1) 解：如图，即为所作 (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换以及求弧长等知识点，掌握弧长公式以及旋转的性质是解决问题的关键． （1）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可； （2）求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：点走过的路径长为 求扇形面积题型05 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 2．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·学情自测）若一个扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是___________． 【答案】 【分析】扇形面积公式(其中为圆心角度数，为扇形半径)，将已知的面积和圆心角代入公式，通过解方程求出半径． 【详解】解：设这个扇形的半径为． 已知扇形面积，圆心角， 则， 解得． 4．图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，，且A，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为______cm．扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲．如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为______． 【答案】 【分析】当O、P、D、C四点共线时，CD最长，连接OB，根据勾股定理求出OP，然后根据CD=CP-PD求解即可；当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，，，，由勾股定理得，可知，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，OB， ∵，且A，，三点共线， ∴垂直平分， ∴， ∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长， ∵OB=OD=，PB= CP=， ∴在中，由勾股定理得OP=， ∴CD=CP-PD=CP-（OD-OP）=cm； 如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线， 则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，， ∴∠AOQ=∠BOQ=60°， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，正弦，扇形的面积等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．    （1）求∠C的大小； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） ∠C=30° （2）π﹣． 【分析】（1）根据垂径定理可得，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数． （2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠C=∠AOD， ∵∠AOD=∠COE， ∴∠C=∠COE， ∵AO⊥BC， ∴∠C=30°． （2）连接OB， 由（1）知，∠C=30°， ∴∠AOD=60°， ∴∠AOB=120°， 在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°， ∴AF=，OF=， ∴AB=， ∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××π﹣．    【点睛】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算． 不规则图形面积的计算题型06 1．如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（    ） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：cm，cm cm =cm2． 故选：C 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键． 2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（   ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积. 【详解】解：在中 ∵，, ∴, ∴BC=3, ∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 _______，（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， 的半径为3， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，的直径为10，弦在圆心的两侧，且，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，如图，过作于，交于，连接，，，，利用垂径定理与勾股定理求解，，可得，再进一步解答即可. 【详解】解：如图，过作于，交于，连接，，，， ∵， ∴， ∵，，的直径为10， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 5．（24-25八年级下·上海·月考）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 计算弓形面积题型07 1．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4 【答案】A 【详解】S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2． 故选：A． 2．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和三角形面积公式． 3．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 【答案】 【分析】连接OA，OB，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接OA，OB ∵点C为的中点 ∴ ∵CD=3 ∴OD=6-3=3 在中，sin= ∴ ∵为等腰三角形 ∴ 由勾股定理可得= ∴AB= ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弓形面积，掌握的思路是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)2或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，得AC=2BC，又因为矩形对边相等，所以AC=2AD； （2）设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求得和，由扇形的面积公式和三角形的面积公式计算求解即可； （3）当、B、三点共线时，的值最小，此时，由直角三角形的性质可求出的长度，根据即可求出最小值； （4）分类讨论与边和边相切两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=4 ∴三角形BAC是直角三角形 ∵∠BAC＝30°， ∴AC=2BC， ∴AC=8． 故答案为：8． （2）解：如图，当半圆过点时，设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点 ∵，， ∴， ， ， ∴． ∴，． ∴． （3）解：如图，连接，， 当、、三点共线时，的值最小，此时． ∵，， ∴AB==． ∴． ∴． （4）解：当半圆与矩形的边相切时，分为与边和边相切两种情况： ①如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则． ∵，， ∴． ∴； ②如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则，过点作于点，则四边形为矩形，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 综上所述，当半圆与矩形的边相切时，的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 弧长及扇形的面积·综合应用题型 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 2．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，根据图形和弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：图中管道的展直长度， 故选：D． 3．（2026·上海·期中）如图，上海市某处A位于北纬），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆心角为两地的纬度差，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：点A和点B之间的劣弧长约为（千米）． 4．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，，则图中的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式，圆周角定理是解决问题的关键．连接，，根据圆周角定义得，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接，，如图所示： 依题意得：， ， 的长为：， 故选：B． 6．已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，扇形的面积为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·江苏泰州·学情自测）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 【答案】3 【分析】设底面圆半径为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：如图所示， 设该圆锥底面圆半径为， 由题意得，侧面展开半圆的弧长为， 根据侧面展开扇形弧长等于圆锥底面周长，可得， 解得， 该圆锥底面圆半径为． 8．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长．根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【详解】解：∵圆锥的母线为， 设底面圆半径为r ∴ ∴． 故答案为：． 求图形扫过的面积题型 1．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 2．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可． 【详解】解：绕点旋转得到△， △， ，． 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，扇形的面积，熟练掌握性质和面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 正方形的边长为2，则对角线长为， 点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积， 根据正方形的性质，得到三个扇形的圆心角都是，半径分别为2，，2， 故图形的面积为： ， 故答案为：． 4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上． (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1； (2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π) 【答案】(1)如图，△A1B1C1即为所求三角形； (2)扫过的图形面积为2π． 【分析】（1）先确定A、B、C三点分别绕O点旋转90°后的点的位置，再顺次连接即可得到所求图形； （2）先运用勾股定理求解出OA的长度，再求以OA为半径、圆心角为90°的扇形面积即可. 【详解】(1)略 (2)由勾股定理可知OA＝， 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形， 则S扇形OAA1＝ 答：扫过的图形面积为2π． 【点睛】本题结合网格线考查了旋转作图以及扇形面积公式，熟记相关公式是解题的关键. 5．图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． (1)求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） (2)当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作于点G，过点A作于点H，四边形是矩形，易得，利用三角函数求出，，再求出，已知，利用角的正切求出，根据，求出塔高； （2）过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q，同（1）可得，求出，在中，求出，利用三角函数值得到，再求出，利用扇形的面积公式，求出单个叶片扫过的面积，再乘以3，得到三个叶片扫过的面积． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，过点A作于点H， 由题意可知， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 答：风电塔筒的高度为． （2）解：如图，过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q， 同（1）可得，， 由题意可得， 在中，， ， ， 叶片扫过的区域面积是， 所有叶片扫过的区域面积是． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.7 弧长及扇形的面积 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 弧长计算 题型02 求半径 题型03 求圆心角 题型04 求图形运动扫过的弧长 题型05 求扇形面积 题型06 不规则图形面积的计算 题型07 计算弓形面积 B组 能力进阶 题型 弧长及扇形的面积·综合应用 C组 思维拔高 题型 求图形扫过的面积 弧长计算题型01 1．（25-26九年级下·福建泉州·质检）如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为（　　） A． B． C． D． 2．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A． B．6 C．12 D． 3．如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A．15度 B．16度 C．20度 D．24度 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长为________．（结果保留） 5．已知扇形的弧长是，圆心角为，则扇形所在圆的半径为________． 求半径题型02 1．把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若，水平面上点M与点B之间的距离为，则所在圆的半径是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是__． 5．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，的长为，求的半径． 求圆心角题型03 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 4．一个圆锥的母线长是 4，底面圆的半径是 3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是  ________． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证； (3)若弧长是周长的，，求的值． 求图形运动扫过的弧长题型04 1．（2026·江苏盐城·二模）如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（    ） A．π B．π C．2π D．2π 3．如图，半径为4的⊙O中，为直径，弦且过半径的中点，点为⊙O上一动点，于点，当点从点出发逆时针运动到点时，点经过的路径长是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25下·上海·期中）时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为_____． 5．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为．请解答下列问题： (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的； (2)求出点A走过的路径长． 求扇形面积题型05 1．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 2．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·学情自测）若一个扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是___________． 4．图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，，且A，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为______cm．扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲．如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为______． 5．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．    （1）求∠C的大小； （2）求阴影部分的面积． 不规则图形面积的计算题型06 1．如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（    ） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（   ） A．4 B．5 C．7 D．6 3．如图，等边三角形内接于，半径，则图中阴影部分的面积是 _______，（结果保留） 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，的直径为10，弦在圆心的两侧，且，，，则图中阴影部分的面积为______． 5．（24-25八年级下·上海·月考）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 计算弓形面积题型07 1．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4 2．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 弧长及扇形的面积·综合应用题型 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·期中）如图，上海市某处A位于北纬），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 4．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江温州·月考）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，，则图中的长为（  ） A． B． C． D． 6．已知扇形的圆心角度数为，面积为，则该扇形的弧长为__________． 7．（25-26九年级下·江苏泰州·学情自测）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 8．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是______． 求图形扫过的面积题型 1．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上． (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1； (2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π) 5．图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． (1)求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） (2)当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $