3.7 弧长及扇形的面积【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

3.7 弧长及扇形的面积【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．已知一个扇形的半径为 6，圆心角为 60°，则这个扇形的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 2．在半径为 3 的圆中，圆心角为 120° 的扇形的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 3．半径为 4 的半圆的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 4．若一条弧所对的圆心角是 30°，则这条弧的长是它所在圆的周长的（　　） A．　B．　C．　D． 5．圆心角为 90°、半径为 2 的扇形的周长是（　　） A．　B．　C．　D． 6．用一个半径为 9、圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（不计接缝），则这个圆锥的底面半径是（　　） A．2　B．3　C．4　D．6 7．如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4。将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，点 A 的对应点为 D，则点 A 经过的路径长是（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，点 A、B、C 在同一条直线上，AB＝4，BC＝2。分别以 AB、BC 为直径在直线的同侧作半圆，一只小虫沿图中实线从点 A 出发，先沿大半圆的弧爬到点 B，再沿小半圆的弧爬到点 C，则小虫爬过的路程是（　　） A．　B．　C．　D． 9．如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60°，则图中阴影部分（弓形）的面积是（　　） A．　B． C．　D． 10．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝2，点 C 是弧 AB 上的一个动点（可与点 A、B 重合）。则 △AOC 的面积的最大值是（　　） A．1　B．　C．2　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知一条弧所在圆的半径为 6，弧长为 ，则这条弧所对的圆心角的度数是　　　　　。 12．两个扇形的圆心角相等，半径之比为 2∶3，则它们的面积之比是　　　　　。 13．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 BC 为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部分的面积是　　　　　。 14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，分别以点 A、B 为圆心、2 为半径在正方形内画四分之一圆，两弧交于点 P，则图中阴影部分的面积是　　　　　。 15．如图，一个半径为 1 的圆在边长为 2 的正方形 ABCD 的外侧沿各边无滑动地滚动一周，则圆心 O 经过的路径长是　　　　　。 16．已知一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则这个圆锥的侧面积是　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知扇形 AOB 的半径为 4，弧 AB 的长为 。 (1) 求这个扇形的圆心角的度数； (2) 求这个扇形的面积。 18．（7 分）扇形的面积是 ，圆心角是 120°。 (1) 求这个扇形的半径； (2) 求这个扇形的弧长。 19．（8 分）一个扇形的面积为 ，弧长为 。 (1) 求这个扇形的半径； (2) 求这个扇形的圆心角的度数。 20．（8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 在半圆上，且 CD∥AB。已知半圆的半径为 2，∠COD＝90°。 (1) 求证：△ACD 的面积等于 △OCD 的面积； (2) 求图中阴影部分的面积（结果保留 ）。 21．（8 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1。将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A、B 的对应点分别为 D、E。 (1) 求点 A 经过的路径长； (2) 求线段 AB 扫过的面积（即图中阴影部分的面积，结果保留 ）。 22．（8 分）如图，扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 120°。点 P 从点 A 出发，沿弧 AB 向点 B 运动，每秒转过的圆心角为 30°。 (1) 当点 P 运动 1 秒时，求弧 AP 的长； (2) 设点 P 运动的时间为 t 秒（0＜t＜4），用含 t 的式子表示扇形 AOP 的面积（结果保留 ）； (3) 当 △AOP 的面积最大时，求扇形 AOP 的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7 弧长及扇形的面积【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．已知一个扇形的半径为 6，圆心角为 60°，则这个扇形的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 半径为 r、圆心角为 n° 的弧长 ＝。把 r＝6、n＝60 代入，得 ＝＝。 2．在半径为 3 的圆中，圆心角为 120° 的扇形的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 半径为 r、圆心角为 n° 的扇形面积 S＝。把 r＝3、n＝120 代入，得 S＝＝。 3．半径为 4 的半圆的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 半圆的弧所对的圆心角是 180°，所以它的弧长 ＝＝。半圆的弧长恰好等于它所在圆的周长的一半。 4．若一条弧所对的圆心角是 30°，则这条弧的长是它所在圆的周长的（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 在同圆中，弧长与它所对的圆心角成正比例。这条弧所对的圆心角占周角 360° 的 ＝，所以它的长也占所在圆周长的 。 5．圆心角为 90°、半径为 2 的扇形的周长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 扇形的周长由两条半径与一段弧组成。弧长＝＝，所以周长＝2＋2＋＝。注意不要把圆心角当成 180° 去算。 6．用一个半径为 9、圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（不计接缝），则这个圆锥的底面半径是（　　） A．2　B．3　C．4　D．6 【答案】B 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的周长。扇形的弧长＝＝。设底面半径为 r，由 2r＝ 得 r＝3。 7．如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4。将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，点 A 的对应点为 D，则点 A 经过的路径长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 点 A 绕点 C 旋转，它到点 C 的距离始终等于 CA＝3，所以点 A 经过的路径是以 C 为圆心、3 为半径的一段弧。旋转角是 90°，这段弧的长＝＝。求路径长只需要旋转半径与旋转角，与 BC 的长无关。 8．如图，点 A、B、C 在同一条直线上，AB＝4，BC＝2。分别以 AB、BC 为直径在直线的同侧作半圆，一只小虫沿图中实线从点 A 出发，先沿大半圆的弧爬到点 B，再沿小半圆的弧爬到点 C，则小虫爬过的路程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 以 AB 为直径的半圆，半径是 ×4＝2，它的弧长＝＝；以 BC 为直径的半圆，半径是 1，它的弧长＝。所以小虫爬过的路程＝＋＝。 9．如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60°，则图中阴影部分（弓形）的面积是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】A 阴影部分是由弧 AB 与弦 AB 围成的弓形，它的面积等于扇形 AOB 的面积减去 △AOB 的面积。扇形面积＝＝。因为 OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，所以 △AOB 是等边三角形，边长是 2，它的高为 ，面积＝×2×＝。所以弓形的面积＝。 10．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝2，点 C 是弧 AB 上的一个动点（可与点 A、B 重合）。则 △AOC 的面积的最大值是（　　） A．1　B．　C．2　D． 【答案】C OA＝OC＝2，把 OA 看作底，则 △AOC 的面积等于 ×OA×（点 C 到直线 OA 的距离）。点 C 在以 O 为圆心、2 为半径的弧上，它到直线 OA 的距离最大不超过半径 2，当 OC⊥OA 时取到 2（此时点 C 与点 B 重合）。所以 △AOC 面积的最大值＝×2×2＝2。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知一条弧所在圆的半径为 6，弧长为 ，则这条弧所对的圆心角的度数是　　　　　。 【答案】150 设圆心角为 n°，由弧长公式得 ＝，两边同时乘 ，得 n＝150。所以圆心角的度数是 150°。 12．两个扇形的圆心角相等，半径之比为 2∶3，则它们的面积之比是　　　　　。 【答案】4∶9 由扇形面积公式 S＝ 可知，圆心角相同时，扇形的面积与半径的平方成正比例。所以面积之比＝∶＝4∶9。 13．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 BC 为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部分的面积是　　　　　。 【答案】 用整体减部分。正方形的面积是 ＝16；半圆的直径等于 BC＝4，半径是 2，面积是 ××＝。所以阴影部分的面积＝16－。 14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，分别以点 A、B 为圆心、2 为半径在正方形内画四分之一圆，两弧交于点 P，则图中阴影部分的面积是　　　　　。 【答案】 两个四分之一圆都是半径 2、圆心角 90° 的扇形，每个扇形的面积＝＝。这两个扇形叠在一起时，正方形恰好被覆盖过一次的区域之外，多出来的部分就是它们的重叠区域。两个扇形的面积之和比正方形多算出的正是重叠部分，所以阴影部分的面积＝2－4。 15．如图，一个半径为 1 的圆在边长为 2 的正方形 ABCD 的外侧沿各边无滑动地滚动一周，则圆心 O 经过的路径长是　　　　　。 【答案】 沿正方形的每一条边滚动时，圆心与这条边的距离始终等于 1，走过的是一段长 2 的线段，四条边共 4×2＝8。每经过一个顶点时，圆心绕着这个顶点画一段半径 1、圆心角 90° 的弧，四段弧共 ×4＝。所以圆心 O 经过的路径长＝8＋。 16．已知一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则这个圆锥的侧面积是　　　　　。 【答案】 圆锥的母线 、底面半径 r、高 h 组成直角三角形，由勾股定理得母线的长 ＝＝5。圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径就是母线 5，弧长就是底面周长 2×3＝，所以侧面积＝××5＝。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知扇形 AOB 的半径为 4，弧 AB 的长为 。 (1) 求这个扇形的圆心角的度数； (2) 求这个扇形的面积。 【答案】(1) 135°；(2) (1) 设圆心角为 n°，由弧长公式得 ＝，解得 n＝135。所以这个扇形的圆心角是 135°。 (2) 已知弧长与半径时，用 S＝r 更简便：S＝××4＝。 18．（7 分）扇形的面积是 ，圆心角是 120°。 (1) 求这个扇形的半径； (2) 求这个扇形的弧长。 【答案】(1) 9；(2) (1) 设这个扇形的半径为 r，由扇形面积公式得 ＝，化简得 ＝，所以 ＝81。因为半径是正数，所以 r＝9。 (2) 弧长＝＝。求出半径后，也可以直接用 S＝r 检验：××9＝，与已知相符。 19．（8 分）一个扇形的面积为 ，弧长为 。 (1) 求这个扇形的半径； (2) 求这个扇形的圆心角的度数。 【答案】(1) 8；(2) 90° (1) 由 S＝r 得 ＝××r，解得 r＝8。所以这个扇形的半径是 8。 (2) 设圆心角为 n°，由弧长公式得 ＝，解得 n＝90。所以这个扇形的圆心角是 90°。 20．（8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 在半圆上，且 CD∥AB。已知半圆的半径为 2，∠COD＝90°。 (1) 求证：△ACD 的面积等于 △OCD 的面积； (2) 求图中阴影部分的面积（结果保留 ）。 【答案】(1) 证明见解析；(2) (1) 因为 CD∥AB，而点 A 与点 O 都在直线 AB 上，所以点 A、O 到直线 CD 的距离相等。△ACD 与 △OCD 都以 CD 为底，且这两条高相等，所以它们的面积相等。 (2) 图中阴影部分是由弧 CD 与折线 C-A-D 围成的，它可以看成弓形 CD 与 △ACD 拼成的。由 (1) 知 △ACD 与 △OCD 等积，把 △ACD 换成 △OCD，阴影部分就恰好拼成了扇形 OCD。这个扇形的半径为 2、圆心角为 90°，面积＝＝。所以阴影部分的面积是 。 21．（8 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1。将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A、B 的对应点分别为 D、E。 (1) 求点 A 经过的路径长； (2) 求线段 AB 扫过的面积（即图中阴影部分的面积，结果保留 ）。 【答案】(1) ；(2) (1) 点 A 经过的路径是以 C 为圆心、CA＝2 为半径、圆心角为 90° 的弧，它的长＝＝。 (2) 线段 AB 扫过的区域可以看成大扇形的内部去掉小扇形的内部：大扇形以 C 为圆心、CA＝2 为半径，小扇形以 C 为圆心、CB＝1 为半径，它们的圆心角都是 90°。所以扫过的面积＝－＝－＝。 22．（8 分）如图，扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 120°。点 P 从点 A 出发，沿弧 AB 向点 B 运动，每秒转过的圆心角为 30°。 (1) 当点 P 运动 1 秒时，求弧 AP 的长； (2) 设点 P 运动的时间为 t 秒（0＜t＜4），用含 t 的式子表示扇形 AOP 的面积（结果保留 ）； (3) 当 △AOP 的面积最大时，求扇形 AOP 的面积。 【答案】(1) ；(2) ；(3) (1) 运动 1 秒时，∠AOP＝30°，弧 AP 的长＝＝。 (2) 运动 t 秒时，∠AOP＝30t°，扇形 AOP 的面积＝＝。 (3) 因为 OA＝OP＝2，把 OA 看作底，△AOP 的面积最大就是点 P 到直线 OA 的距离最大。点 P 到直线 OA 的距离不超过半径 2，当 OP⊥OA、即 ∠AOP＝90° 时取到最大值。此时 30t＝90，t＝3，扇形 AOP 的面积＝＝。 学科网（北京）股份有限公司 $