精品解析：福建福州江南水都中学2026-2027学年九年级上学期数学阶段性练习（一）

福州江南水都中学九年级上学期数学阶段性练习（一） 一、选择题（共10小题） 1. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. AO=BO B. BO=EO C. 点A关于点O的对称点是点D D. 点D 在BO的延长线上 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 14. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 15. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 16. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 三、解答题（共9小题） 17. 解方程： 18. 如图，在中，点是弧的中点，于，于，求证：． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 22. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为米，面积为平方米． （1）写出与的函数关系式 ，并写出的取值范围 ； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米． 23. 已知，，是实数，且． （1）求证：是正数； （2）已知，求与的值． 24. 如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求圆的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 25. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州江南水都中学九年级上学期数学阶段性练习（一） 一、选择题（共10小题） 1. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 2. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：B 4. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由点与圆的位置关系可知，的半径，进而可得出结果． 【详解】解：由点与圆的位置关系可知，的半径 故选D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 5. 已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. AO=BO B. BO=EO C. 点A关于点O的对称点是点D D. 点D 在BO的延长线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可． 【详解】解：A、AO=OE，原选项错误； B、BO=DO，原选项错误； C、点A关于点O的对称点是点E，原选项错误； D、点D 在BO的延长线上，原选项正确； 故选：D. 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 9. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等，构造全等三角形是解题的关键．先证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，作于 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质，一元二次方程根的判别式及数形结合思想．根据每个选项的结论逐一分析判断即可得到结果． 【详解】解：A项：二次函数与x轴有两个交点，无法判断a的正负情况，不符合题意； B项：若，则有，即，， ∴， 若，则有或，即与同号， ∴，不符合题意； C项：若，则有；若，则有或，由于a的正负不能确定，不符合题意； D项：若，由B项知，， ∴， 若，由B项知，， ∴，符合题意． 二、填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点 关于原点的对称点 的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 14. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 15. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB＝|k|＝3， 而k＜0， ∴k＝−6． 故答案为−6． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 16. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 三、解答题（共9小题） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】采用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： ， 18. 如图，在中，点是弧的中点，于，于，求证：． 【答案】 证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴OC平分∠AOB ∵，， ∴ 【解析】 【分析】连接，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可证出，然后根据角平分线的性质即可证出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是圆的基本性质和角平分线的性质，掌握在同圆中，等弧所对的圆心角相等和角平分线的性质是解决此题的关键． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求． ， 点的坐标为． （2） 如图：即为所求．点的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移变换和中心对称变换的定义是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 21. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃边为米，面积为平方米． （1）写出与的函数关系式 ，并写出的取值范围 ； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少平方米． 【答案】（1）， （2）6米 （3）的长为5米，围成的花圃面积最大，最大面积是45平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确列出与的函数关系式是解题的关键． （1）根据长方形周长公式进行求解即可； （2）根据（1）所求建立方程求解即可； （3）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得：， 即：， 解得：，（舍去）， ∴的长度为6米； 【小问3详解】 ∵， ∵，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时有最大值，最大值为45， ∴最大面积是45平方米． 23. 已知，，是实数，且． （1）求证：是正数； （2）已知，求与的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是正数． （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式对代数式进行配方，再把已知条件变形代入，根据平方非负性即可求解； （2）根据根与系数的关系构造方程，再根据平方非负性解得方程的根，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴由韦达定理，可构造方程以、为根的一元二次方程：， 对左边配方得：， ∵，， ∴，， ∴方程的根为， ∴，． 24. 如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求圆的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 25. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 【答案】 任务1：将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式， 设与的关系式为， 将，，三点的坐标代入得， 解得， ， 当时，， 当时，， 经验证，，，，，均满足， 与的关系式为； 任务2：，上午达到最大值 任务3：持续时长为20分钟 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 任务1，经过描点，观察，发现各点的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式，再根据待定系数法求出解析式，最后逐一验证其它点即可； 任务2，根据题意，当时，可列出，再根据二次函数的性质求解即可； 任务3，先判断只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况，再令，求得或150，结合t的取值范围，可求得，即可得到答案． 【详解】解：任务1，略 任务2，当时，， 对称轴为， ， 当时，y随着t的增大而增大， 当时，y取最大值， 此时时上午； 任务3，由任务1和任务2的解答中可知，只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况， 令，则， 解得或150， ， 符合条件的t的范围是， ， 该入口需要启动一级客流管控的持续时长为20分钟． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $