精品解析：江西南昌大学附属学校2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

南昌大学附属学校2026-2027学年度上学期第一次月考高一数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：因为，，，所以 所以 故选：B 2. 命题“”的否定是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据全称命题的否定，改量词、否定结论即可得解． 因为全称命题的否定是特称命题， 而命题“”是全称命题， 所以命题“”的否定是“”， 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 4. 某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 【答案】D 【解析】 【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人， 则仅参加项的有人，仅参加项的有人， ，两项公益活动都不参加的有人， 由题意得，解得， 所以只参加项不参加项的有人）. 故选D． 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先变形，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：C. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式　的解集是 （　　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：关于x的不等式的解集为(1,+). 则关于x的不等式()()0可化为且, 解得或. 关于x的不等式的解集为. 故答案为:A. 点睛：本题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于中档题 8. 已知条件：﹔条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用一元二次不等式的解法化简、，再根据是的充分不必要条件，由是的真子集求解. 【详解】解不等式，解得或. 解不等式，即，即，解得. 所以，或，. 因为是的充分不必要条件，所以，或， 可得或，所以， 故选：B. 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：BD 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 已知函数，当时，的最大值为6，则实数_______________ 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，由对称轴与区间中点的位置进行分类讨论，建立方程，可得答案. 【详解】由二次函数，则其对称轴为直线， 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取； 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取. 综上所述，或. 故答案为：或. 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 四．解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知集合，且． （1）若，求m，a的值． （2）若，求实数a组成的集合． 【答案】（1），；）（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出； （2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值； 【详解】解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得 （2）若，所以，因为，所以 当，则； 当，则； 当，则； 综上可得 16. 设全集，集合，非空集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，A是B的真子集，即可解出； （2）根据题意可知B是A的子集，即可解出. 【小问1详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 则，等号不能同时取到， 所以； 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，所以， 因为，则，又， 所以. 17. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 【答案】（1），且； （2）11 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式，求出，结合和实际意义得到的取值范围； （2）由题意得到不等式，参变分离得到恒成立，由基本不等式求出，求出，得到答案. 【小问1详解】 ， 解得， 又，故的取值范围为，且； 【小问2详解】 ， 整理得恒成立， 因为，且，由基本不等式得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以的最大值为11. 18. 已知关于的一元二次不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案） 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围. （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 【答案】（1） 当时，集合；时，集合；当时，集合. （2） （3）问题①：；问题②： 【解析】 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）由（1）中集合，分和，结合题意，列出不等式，即可求解； （3）选择问题①，得到，即满足不等式，即可求得的取值范围为；选择问题②：由（1）中的集合，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由不等式，可得 令，解得或， 当时，即时，不等式即为，解得，此时； 当时，即时，解得，此时； 当时，即时，解得，此时， 综上可得：当时，集合；时，集合；当时，集合. 【小问2详解】 由（1）知，当时，集合， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得； 当时，集合， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围. 【小问3详解】 若选择问题①：由集合， 对于，都有，则， 即满足不等式，可得， 解得，即实数的取值范围为. 若选择问题②：由集合，若，则，满足， 由（1）可知，， 因为，则， 所以. 所以实数的取值范围为. 19. 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. （1）若，证明：. （2）若恒成立，求参数的取值范围. （3）若，求的最小值. 【答案】（1）证明:由题意可得, 则, 当且仅当即时等号成立； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干条件变形可得,再利用基本不等式即可证明； （2）逆用基本不等式可得,从而得到,解之可得参数的取值范围； （3）观察题干条件和所求式子，发现可配凑出完全平方式， 利用平方非负可求得的最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，根据基本不等式,当且仅当时等号成立， 若恒成立，则恒成立，因为, 得到,解得或, 故参数的取值范围为; 【小问3详解】 题干条件可变形为,而, 注意到, 当且仅当时等号成立，故,所以, 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌大学附属学校2026-2027学年度上学期第一次月考高一数学试卷 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（   ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式　的解集是 （　　　　） A. B. C. D. 8. 已知条件：﹔条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 已知函数，当时，的最大值为6，则实数_______________ 14. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 四．解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知集合，且． （1）若，求m，a的值． （2）若，求实数a组成的集合． 16. 设全集，集合，非空集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 17. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 18. 已知关于的一元二次不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案） 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围. （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 19. 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. （1）若，证明：. （2）若恒成立，求参数的取值范围. （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $