上海市进才中学2026-2027学年第一学期10月阶段检测高一数学试卷

上海市进才中学 2026学年第一学期10月阶段检测 高一数学试卷（时间90分钟，满分100分) 一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分) 1.己知集合A={1,1-a2},且0∈A,则a=_。 2.己知a∈R,则“a2>4”是“a>2”的条件。（充分不必要；必要不充分；充要；既不充 分也不必要) 3.若集合A满足{1,2}二A二{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A的个数有一个。 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围是 反不等式子>1的解集为 6.某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则 喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为人。 7.己知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式(ax+b)(bx+c)<0的解集是 8.己知集合A={|ax=6},满足A二Z,则整数a的所有可能取值有一个。 9.设关于x的方程2+kc+n=0有两个不同实根1、2，且1+1=2，则实数n的取值范 x12 围是 10.某船从甲码头顺流航行75km到达乙码头，停留30min后再逆流航行126km到达丙码头。如 果水流速度为4km/h,该船要在5h内（包含5h)完成整个航行任务，那么船的速度至少达 到km/h。 1.设实数a,bc满足a2+P≤c<1,则a++c的最小值为一。 12.已知集合A={a∈N*|1≤x≤2026}。设集合B={b1,b2,b3,·,bn}满足BCA,且对任意 的b,bj,bk∈B(i,j,k∈{1,2,3，..，n}),存在m∈N*，,使得b:+bj+b=39m,则n的最大 值为。 二、单选题（本题满分12分，共有4题，每小题3分) 13.已知a,b∈R,则“|a>b”是“a>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.如果关于x的一元二次方程x2+2mx+(m+2)=0有一正根一负根，那么m的取值范围为 () A.(-2,-1) B.（-1,2) C.(-o∞，-1)U(2,+o∞) D.(-0,-2) 15.若不等式3x-a≤x+2的解集包含集合0,1，则实数a的取值范围为() A.[0,2 B.0,1 C.[1,2 D.(1,2) 16.数学组Y老师在白纸上写下以下四个命题： ①这四个命题中至少有一个是真的： ②这四个命题中至少有两个是真的： ③这四个命题中至少有两个是假的： ④这四个命题中至少有一个是假的。 每个命题非真即假。问Y老师在纸上写的假命题有几个？() A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（本题满分52分，共有5小题） 17.（本题满分8分)已知x∈R,a=x2-1,b=4x+5。求证：a,b中至少有一个大于等于0。 18.(本题满分10分)已知集合A={x|4≤x≤12}，B={x|a≤x≤2a+1}。 (1)若a=2,求A∩B: (2)已知AUB=A,求实数a的取值范围。 19.(本题满分10分) (1)若关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集不是空集，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集。 20.（本题满分12分)设命题p:对任意x∈R,不等式mx2-m+2>0恒成立；命题q:存在 0≤x≤3，不等式2x-2≥m成立。 (1)若p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围。 21.(本题满分12分)己知集合A={a1,a2,·,ak}(k≥2)，其中a∈N*(i=1,2,.·,k)。若对 于任意的a∈A,总有三生A,则称集合A具有性质P。由A中的元素构成两个相应的集合： S={a,la∈A,a∈A,b∈A,T-{a,)1a∈Ab∈A,g∈A} 其中(a,b)是有序数对。集合S和T中的元素个数分别为m和n。 (1)检验集合{2,3,6}与{1,2,4}是否具有性质P,并对其中具有性质P的集合，写出相应的 集合S和T; (2)对任何具有性质P的集合A,n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论。上海市进才中学 2026学年第一学期10月阶段检测 高一数学试卷（时间90分钟，满分100分） 参考答案与解析 一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分) 1.己知集合A={1,1-a2},且0∈A,则a=一 【答案】a=1或a=-1。 【解析】由0∈A得1-a2=0,解得a=土1。检验：当a=1时A={1,0}:当a=-1时 A={1,0},均满足集合中元素的互异性，故a=士1。 2.己知a∈R,则“a2>4”是“a>2”的 条件。（充分不必要：必要不充分；充要：既不充 分也不必要) 【答案】必要不充分条件。 【解析】a2>4←→a>2或a<-2。由a>2可以推出a2>4;但由a2>4不能推出a>2 （如a=-3时a2=9>4,而a<2)。故“a2>4”是“a>2”的必要不充分条件。 3.若集合A满足{1,2}三AC{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数有个。 【答案】8。 【解析】由{1,2}≤A知1,2∈A;又AC{1,2,3,4,5},所以A={1,2}UC,其中C是 {3,4,5}的任意子集，共23=8个。 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围是 【答案】(5,8)。 【解析】由2<a<3得4<2a<6:由-2<b<-1得1<-b<2.两式相加得5<2a-b<8, 即2a-b的取值范围是(5,8)。 5.不等式0-3 x-1 >-1的解集为 【答案】(-∞，1)U(2,+∞) 【解析】移项通分得工一3 小+1=2二之0，即之、 -1>0,它等价于(c-2c-1)>0.解 得x<1或x>2。故解集为(-∞，1)U(2,+∞)。 6.某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则 喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为人。 【答案】15。 【解析】设喜爱篮球运动的同学组成集合B,喜爱乒乓球运动的同学组成集合P,则BUP 40-8=32。由BUP\=|B|+|P1-|BnP1得|B∩P1=17+20-32=5,所以喜爱乒乓球 运动但不喜爱篮球运动的人数为20-5=15。 7.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式(ax+b)(bx+c)<0的解集是 【答案】（心》uB+x 【解析】由图像可设y=a(x-1)(x-2),且a>0,所以b=-3a,c=2a。于是(ax+b)(bx+c) (ax-3a)(-3ax+2a)=a2(c-3)2-3x),其中a2>0。所以原不等式等价于(x-3)(2-3x)<0, 即任-3列(c-)>0,解得正<号或>即解笑为 -o,3U8,+o). 8.己知集合A={x|aac=6},满足ACZ,则整数a的所有可能取值有 个。 【答案】7。 【解析】当a=0时，A=⑦，而⑦CZ,符合；当a≠0时，A a 要使ACZ,须 6∈Z,即a6,所以a=士1，±2，±3，士6。综上，整数ū的可能取值为0，士1，士2，士3,6，共 9个. 9.设关于x的方程2+kc+n=0有两个不同实根、2，且1十1=2，则实数n的取值范 T1 T2 围是 【答案】（-∞，0)U(1,+∞) 【解析】由韦达定理，1十2=-k,2=。因】、】有意义，故n=12≠0。由 1+1=1+2=-k=2得k=-2m。方程有两个不同实根，△=k2-4n=4n2-4n>0, 即n(n-1)>0,解得n<0或n>1。故n的取值范围是(-∞，0)U(1,+∞)。 10.某船从甲码头顺流航行75km到达乙码头，停留30min后再逆流航行126km到达丙码头。如 果水流速度为4km/h,该船要在5h内（包含5h)完成整个航行任务，那么船的速度至少达 到km/h。 【答案】46。 【解析】设船在静水中的速度为kmh(。>4)。依慰意得75+126+ 0+4+=4+2≤5，即 75,1269 0+4+)-4≤2 去分母整理得32-134v-184≥0，即(u-46)(3+4≥0，解得v≥46。故船的速度至少达 到46km/h。 11.设实数a,b,c满足a2+2≤c<1,则a+b+c的最小值为 。 【答案】-品 【解折1因为e之2+，所以a+-e之a+分a2+82-(e+)-(+”6≥亮 当a=多多=冬。=心2+2-品（时e<1成立）时取到等号：放最小信为品 12.已知集合A={x∈N*|1≤x≤2026}。设集合B={b1,b2,bg,.,bn}满足BCA,且对任意 的b,bj,bk∈B(i,j,k∈{1,2,3，.，n}),存在m∈N*,使得b+bj+b=39m,则n的最大 值为 【答案】52 【解析】任取a,b∈B。由条件，2a+b与a+2b都是39的倍数，两式相减得a-b也是39 的倍数，故B中任意两个元素模39同余。又3a是39的倍数，故13|a,于是B中所有元素 除以39的余数必为0、13、26之一。 在12026中，除以39余0、余13、余26的数分别有51个、52个(13到2002)、52个(26 到2015)。 当B取全体除以39余13（或余26)的数时，共有52个元素，且任意三个元素之和仍是39 的倍数，满足条件。故n的最大值为52。 二、单选题（本题满分12分，共有4题，每小题3分) 13.已知a,b∈R,则“|a>b”是“a>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B。 【解析】若a>bl,则a>bl≥0，从而lal=a>bl,即“a>b”能推出“la>bl”;反之， 取a=-5,b=3,满足a>b,但不满足a>b。故“|a>b”是“a>b”的必要不充分 条件，选B。 14.如果关于x的一元二次方程x2+2mx+(m+2)=0有一正根一负根，那么m的取值范围为 () A.(-2,-1) B.(-1,2) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-0,-2) 【答案】D。 【解析】设两根为x1,x2。方程有一正根一负根，则x1c2=m+2<0,即m<-2;此时 △=4m2-4(m+2)=4(m-2)(m+1)>0自动成立，方程确有两个不同实根。故选D。 15.若不等式3x-a≤x+2的解集包含集合0,1，则实数a的取值范围为() A.[0,2 B.0,1] C.[1,2 D.(1,2) 【答案】A。 3 【解析】[0,1包含于解集，等价于对任意x∈[0,1都有l3x-a≤x+2,即-x-2≤3x-a≤x+2, 亦即2x-2≤a≤4x+2对一切x∈[0,1]成立。 于是a≥max(2x-2)=0,且a≤min(4r+2)=2,故a∈[0,2，选A。 zE/0,1 ∈0,1] 16.数学组Y老师在白纸上写下以下四个命题： ①这四个命题中至少有一个是真的： ②这四个命题中至少有两个是真的： ③这四个命题中至少有两个是假的： ④这四个命题中至少有一个是假的。 每个命题非真即假。问Y老师在纸上写的假命题有几个？() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B。 【解析】设四个命题中真命题的个数为t,则①真←→t≥1，②真←→t≥2，③真→t≤2， ④真←→t≤3。 逐一检验：t=0时③④为真，应为t=2,矛盾；t=1时①③④为真，应为t=3,矛盾：t=2 时四个命题全为真，应为t=4,矛盾：t=3时①②④为真、③为假，恰有3个真命题，符合： t=4时①②为真，应为t=2,矛盾。 所以恰有1个假命题，选B。 三、解答题（本题满分52分，共有5小题） 17.(本题满分8分)已知x∈R,a=x2-1,b=4x+5。求证：a,b中至少有一个大于等于0。 【答案】证明见解析。 【解】（反证法）假设a<0且b<0。由a=x2-1<0得x2<1,即-1<x<1。于是 b=4x+5>4×(-1)+5=1>0,与b<0矛盾。所以a,b中至少有一个大于等于0。 18.(本题满分10分)己知集合A={x|4≤x≤12}，B={ca≤x≤2a+1}。 (1)若a=2,求A∩B; (2)已知AUB=A,求实数a的取值范围。 【答案】g:2(x4, 【解】(1)当a=2时，B={c|2≤x≤5}。而A={a|4≤x≤12}，其在R中的补集 A=(-00,4)U(12,+∞)，所以AnB=2,4)。 (2)AUB=A即BCA。 ①当B=g时，a>2a+1,即a<-1,符合： ☑时，需a≤2n+1且a24且2a+1≤12，即4 综上，。的取值范国是(-心，u[4号， 19.(本题满分10分) (1)若关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集不是空集，求实数a的取值范围： (2)求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集。 【答案】（山0<是（包）见解新。 【解】(1)当a=0时，-3x+2<0的解集为 2 不是空集，符合；当a>0时，需 △=9-8a>0,即0<0<)当a<0时，抛物线开口向下，0a2二3x士2<0必有解。综 a<是 (2)原不等式即aa2-(a+3)x+3>0,即(ax-3)(x-1)>0。 ①当a<0时，原不等式等价于(e-)e-)<0,又&<0<1，所以解集为 ②当a=0时，原不等式即-3(x-1)>0,解集为(-∞，1)： ®当0<a<3时，县>1，解集为(-0，U(层+∞)月 ④当a=3时，原不等式即3(x-1)2>0,解集为(-∞，1)U(1,+∞)： 回当a>3时，0<<1，解集为（心 3)U(1,+0) 20.(本题满分12分)设命题p:对任意x∈R,不等式mx2-mx+2>0恒成立；命题q:存在 0≤x≤3，不等式2x-2≥m成立。 (1)若p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围。 【答案】(1)[0,8)：(2)[-4,0)U(4,8)。 【解】(1)当m=0时，2>0恒成立，符合；当m≠0时，需m>0且△=m2-8m<0, 即0<m<8。综上，p为真时0≤m<8。 (2)命题g为真，等价于存在x∈[0,3)使|ml≤2x-2,即lml≤max(2x-2)=4,即 x∈0,3 -4≤m≤4. 所以p真时m∈[0,8)，q真时m∈-4,4。“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：m∈[0,8)，且m<-4或m>4,得4<m<8: ②p假g真：m<0或m≥8，且-4≤m≤4，得-4≤m<0。 综上，m∈[-4,0)U(4,8)。 21.（本题满分12分)已知集合A={a,a2,,a}(k≥2)，其中a∈N*(i=1,2,,k)。若对 于任意的a∈A,总有二主A,则称集合A具有性质P。由A中的元素构成两个相应的集合： S={(a,b)|a∈A,b∈A,ab∈A}, T={a,b)1a∈4，b∈A,8∈4， 其中(a,b)是有序数对。集合S和T中的元素个数分别为m和n。 (1)检验集合{2,3,6}与{1,2,4}是否具有性质P,并对其中具有性质P的集合，写出相应的 集合S和T; 5 (2)对任何具有性质P的集合A,n的最大值为多少？（直接写出答案，无需写出理由） (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论。 【答案】(1){2,3,6}具有性质P,此时S={(2,3),(3,2)},T={(6,2),(6,3)}:{1,2,4}不具 有性质P。2),。3)m=,证明见解析。 2 【解1①对集合2,36：}专都不属于该集合，故它具有性质P,此时满足E4的 有序数对为(2,3趴(3,2)：满足6∈A的有序数对为(6,2)(6,3)。所以S={(2,3),(3,2}, T={(6,2),(6,3)} 对集合12,4：因为1←A,且引-1eA,不满是“对任意a∈4、点有日A故它不具 有性质P。 ②)m的最大值为，少。（简证：任取A中两个不同元素a,6若号∈A,则由性质P知 2 兰走A,故每一对不同的元素至多产生T中一个有序数对：又1手4，故形如(。，0)的数 对都不计入，所以n≤，D。当A=24,8,2)时，对任意>了有易 2 =2-5∈A, 此时n=k低-.) 2 (3)m=n。证明：定义映射p:S→T,p(a,b)=（ab,b)。 ①定义合理：若a,∈s,则a,beA且ab∈小，于是abe小i∈4且会-aCA,放 (ab,b)∈T。 ②p是单射：若(a1b1,b1)=(a2b2,b2),则b1=b2,从而a1b1=a2b1,由b1卡0得a1=a2, 故(a1,b1)=(a2,b2)。 @e是满射。任取（明E工则玉yEA且eA令a= 二，b=y,则ab=x∈A,故 (a,b)∈S,且p(a,b)=(c,y)。 综上，p是S到T的一一对应，所以m=n。