精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段练习数学试题

华东师范大学附属东昌中学 2026-1高一年级第一次阶段练习数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据常用数集，用列举法写出集合. 【详解】由集合且，得. 故答案为： 2. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法直接求解即可. 【详解】等价于，即，所以解集为. 3. 若，则“”是“”的________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空） 【答案】充分非必要 【解析】 【详解】等价于或. 由能推出，但由推不出（还可能）， 所以“”是“”的充分非必要条件. 4. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令即可得到，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 5. 已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【解析】 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 6. 已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，，即真包含于，所以，即a的取值范围为. 7. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】，则， ，解得， 所以解集为． 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过韦达定理将根的平方和转化为关于m的方程，求解后结合判别式检验得到结果． 【详解】由韦达定理，得，， ， 由，得，即，解得或， 检验判别式，当时，，舍去；当时，，符合条件． 故答案为： 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为________. 【答案】126 【解析】 【详解】依题意，，，. 图中阴影部分表示在中的补集，即，共7个元素，其非空真子集的个数为. 10. 若不等式的解集是，则不等式的解集是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，且，结合韦达定理可求出、的值，再利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 则、为关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，，故，， 故不等式即为，即，解得或， 因此不等式的解集为或. 故答案为：或. 11. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分一次方程与二次方程两种情况讨论；二次方程情形先由判别式保证实根存在，再结合根与系数关系判断根的正负。 【详解】当时，方程化为，得，满足； 当时，需，得. 若，则两根之积（两根异号），必有一负根； 若，则两根之和、两根之积，两根均为负. 综上，. 12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①由条件2知正确； 对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾. 对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾； 【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确； 对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误. 对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素. 当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故. 当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾. 综上，，故②正确，③错误. 故答案为：①②. 【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明不等式，先假设结论不成立，即命题的否定. 【详解】用反证法证明“若，则或”，应假设结论不成立，即“或”的否定“且”，故选C. 14. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】A.当时，满足，但，故错误； B. 当时，满足，但，故错误； C. 当时，满足，但，故错误； D. 因为，所以，则，故正确. 故选：D 15. 现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，某粮食收购站有两种收购方案．方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦元/kg，二级小麦元/ kg（）；方案二：以方案一两种价格的平均数收购．收购方式更加优惠的是（ ） A. 方案一 B. 方案二 C. 同样优惠 D. 以上均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出方案一和方案二的收购总价格表达式，作差，通过讨论m和n的大小，来确定哪种方案更优惠. 【详解】解：由题意，， 方案一： ， 方案二：， 两种方案的差值：， 当时，，方案一更优惠， 当时，，方案二更优惠， 当时，，两种方案都优惠， 综上，方案一、二均有可能更优惠 故选：D. 16. 用表示非空集合中的元素个数.对于集合，，定义若，，设实数的所有可能取值组成的集合是，则下列选项不正确的是（ ） A. 的可能值为1，2，3，4 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，对集合中的实数分和两种情况分类讨论，并结合判别式即可判断出方程根的情况，最后结合新定义即可判断每个选项的正误． 【详解】，解方程： 当时，； 当且时，； 当时；当时． A：的可能值为1、2、3、4，正确； B：等价于，即， 所以，正确； C：等价于或3，即或， 此时的取值集合，，正确； D：等价于，即且， 所以，而选项给出的范围多含了（此时），错误． 三、解答题（52分，共5题） 17. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）代入题给参数值求B，再作并集、补集与交集运算。 （2）分B为空集与非空两种情况；B非空时比较区间端点，求k的范围。 【小问1详解】 （1）当时，. 又，所以. 在中的补集为，所以. 【小问2详解】 （2）①当为空集，即（）时，是的子集； ②当非空，即时，要使是的子集，需且，即，结合得. 综上，的取值范围为. 18. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素，，求.（用a表示） 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【小问1详解】 . 由得，代入得，即， 解得或. 检验：时，，时，，均有，符合题意. 【小问2详解】 B有两个元素，则，得. 由韦达定理得， 所以 ， 故. 19. 已知关于的不等式. （1）若时，不等式成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时解集为，当时解集为空集，当时解集为 【解析】 【小问1详解】 将代入得.因为恒成立，所以，即. 【小问2详解】 不等式即.分子零点是，分母零点是，且. ①当时，，解集为； ②当时，，此时恒成立，解集为空集； ③当时，，解集为. 20. 已知关于的不等式的解集为； （1）若存在实数，使得，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意，，都有；对于任意，，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或； （3）存在，，理由如下， 根据题意，得出解集，； 当时，解得或， 时，不等式的解集为，满足条件； 时，1＞0恒成立，不满足条件； 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 综上，满足条件的值为3. 【解析】 【分析】（1），即不等式解集仅去掉点，对应二次项系数大于0且判别式Δ=0； （2）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围； （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【小问1详解】 记. 表示对一切成立，且，故需二次项系数大于0且. 由得或. 当时，二次项系数，，符合； 当时二次项系数为0，，，不符合.故. 【小问2详解】 即对一切恒成立. ①当（即或）时，需，即，得或，故或； ②当时，得不恒正，不符合题意，舍去， 当得恒成立，符合题意； ③当时，抛物线开口向下，不能恒正. 综上，或. 【小问3详解】 略 21. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”. （1）判断集合是否为“和积平衡集”，并说明理由； （2）若，是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以，为根的一个一元二次方程（系数可用，表示），并证明，至少有一个大于2； （3）若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”. 【答案】（1）是.因为，，元素之和等于元素之积，所以该集合是“和积平衡集”. （2）由，得以、为根的一元二次方程为，即. 证明：由得.若、都不大于2，则，，相加得，等号当且仅当时成立，这与矛盾.所以、中至少有一个大于2. （3）只有 【解析】 【分析】(1) 直接按定义算出集合元素的和与积，比较是否相等即可. (2) 由根与系数关系写出以为根的方程，再由 化为倒数关系 ；反证比较：若 ，则，等号仅当 时取到，与＂两个不同＂矛盾. (3)先按大小排序并利用互异性放缩： 若，则，而， 于是，矛盾，故. 同理可得（时）.于是， 然后按元素的个数讨论：时，，得； 时，左边在、、…时取最小值，无解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，各元素为互不相同的正整数，且. 若，则，而， 于是，矛盾，故. 同理可得（时）.于是. 当时，，得，即； 当时，左边在、、…时取最小值，无解； 当时，由得，只能，与元素互异矛盾. 综上，符合条件的“和积平衡集”只有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属东昌中学 2026-1高一年级第一次阶段练习数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 2. 不等式的解集为________. 3. 若，则“”是“”的________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空） 4. 已知集合，，则______． 5. 已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 6. 已知，，且是的充分不必要条件，则a的取值范围为____________. 7. 不等式的解集为________. 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数m的值为______. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为________. 10. 若不等式的解集是，则不等式的解集是_______. 11. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是________. 12. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 且 14. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 现有一级小麦m kg，二级小麦n kg，某粮食收购站有两种收购方案．方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦元/kg，二级小麦元/ kg（）；方案二：以方案一两种价格的平均数收购．收购方式更加优惠的是（ ） A. 方案一 B. 方案二 C. 同样优惠 D. 以上均有可能 16. 用表示非空集合中的元素个数.对于集合，，定义若，，设实数的所有可能取值组成的集合是，则下列选项不正确的是（ ） A. 的可能值为1，2，3，4 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 三、解答题（52分，共5题） 17. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 18. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素，，求.（用a表示） 19. 已知关于的不等式. （1）若时，不等式成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式. 20. 已知关于的不等式的解集为； （1）若存在实数，使得，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意，，都有；对于任意，，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 21. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”. （1）判断集合是否为“和积平衡集”，并说明理由； （2）若，是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以，为根的一个一元二次方程（系数可用，表示），并证明，至少有一个大于2； （3）若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $