第9讲 函数的概念及其表示讲义—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第9讲 函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点一、函数的概念 1. 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集. 2. 函数的三要素 定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 3. 函数的四个特征 ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二、同一函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 【特别提醒】 两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三、区间的概念及表示 1. 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： （1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； （3）满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 2. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 【注意】 （1）无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． （2）以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四、函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式. （2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法. （3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法. 【特别提醒】 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0，2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2，0]． 知识点五、分段函数 定义 在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数 是一个函数，而不是几个函数 定义域 各段函数的自变量的取值范围的并集 值域 各段函数在对应自变量的取值范围内的值域的并集 【题型归纳】 题型一、函数关系的判断 【函数关系的判断方法】 1. 判断一个对应关系是否是函数的两个条件 （1）A，B必须是非空数集． （2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2. 根据图形判断对应关系是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于x轴的直线l. （2）在定义域内平行移动直线l. （3）若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 【典型例题】 1. 给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确；对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误；对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确.故选：C 2. 下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象，对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象.故选：C. 3. 【多选】以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（    ） A． B． C． D．   【答案】AD 【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项． 【详解】对于A，满足函数的定义，故A正确； 对于B，由对应关系可知，不满足函数的定义，一个对应两个不同的的值，故B错误； 对于C，，一个对应两个不同的的值不满足函数的定义，故C错误； 对于D，由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确．故选：AD． 4. 【多选】下列对应关系能表示从集合到集合的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：，又，所以，，， 所以满足从集合到集合的函数，故A正确； 对于B：，又，因为，所以当时，在集合中对应两个元素、，不符合函数的定义，故B错误；对于C：，又，所以，，， 所以满足从集合到集合的函数，故C正确； 对于D：，又，当时，所以不满足从集合到集合的函数，故D错误；故选：AC 5. 【多选】下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应，时，集合有唯一元素与之对应，时，集合有唯一元素与之对应，故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有，即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确；故选：BCD. 6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【解析】解：函数的定义域为 ，值域为 ，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，不是函数的图象；故选：C． 题型二、函数求值 【函数求值的方法】 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【典型例题】 7. 若f(x)＝，则f（3）＝（    ） A．2 B．4 C．2 D．10 【答案】A 【分析】根据函数解析式，将代入即可求解. 【详解】解析：因为f(x)＝，所以f（3）＝＝2.故选：A 8. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 9. 若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 10. 已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 【答案】D 【分析】先应用已知得出函数值关系，再结合多次应用计算求解. 【详解】由得，计算得，因此， 11. 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算，代入验证即可. 【详解】因为，所以，， ，，，，， 故选项C正确. 12. 【多选】定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有，令，得，因为，所以，即，故A正确； 令，得，即，所以，所以，故B错误；，，所以，故C正确； ，故D正确 题型三、求函数的定义域 【函数定义域的求解方法】 1. 已知函数解析式求定义域 根据函数解析式的运算特点列出使函数有意义的不等式（组），不等式（组）的解集就是函数的定义域.几类常见函数的定义域如下： （1）分式型要满足f(x)≠0（依据：分式的分母不为0)； （2）根式型要满足f(x)≥0（依据：偶次根式的被开方数非负） ； （3）零指数幂型要满足f(x)≠0（依据：任何不为0的数（式）的0次幂都等于1)． 此外，由实际背景确定的函数，其定义域不仅要使解析式有意义，还要使自变量满足实际意义. 2. 求抽象函数的定义域 （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域. 【归纳总结】 1. f(φ(x))的定义域是指x的范围，而不是φ(x)的范围. 2．在同一对应关系“f ”下，括号里的整体的地位相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))中的t，φ(x)，h(x)的取值范围相同。 【典型例题】 13. （1）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （2）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）C；（2）C；（3）C 【详解】（1）由，解得且，则函数的定义域为且. （2）要使函数有意义，则 ，得且，即， 所以函数的定义域为. （3）由 得且.所以函数的定义域为． 14. （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． （3）若函数的定义域为[－2,1]，则的定义域为________，的定义域为________． 【答案】（1）B；（2）A；（3）， 【详解】（1）因为函数的定义域为，对于函数，有或，解得或.故函数的定义域为． （2） 函数的定义域为，即，，则的定义域为，由，得．的定义域为． （3） 满足，解得，即，即函数的定义域为. 由，得，即函数的定义域为.故答案为：；. 15. （1）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数，，则函数的定义域为______. 【答案】（1）D；（2） 【详解】（1）因为函数的定义域是，即，所以，所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得，所以函数的定义域为. （2）解法1：由函数，则满足，可得，即函数的定义域为， 对于函数，令，即，解得，即函数的定义域为. 解法2：由，，可得， 令，解得，所以的定义域为.故答案为：. 16. （1）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为，求实数的值 【答案】（1）A；（2）C；（3） 【分析】（1）利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. （2） 根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． （3） 根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解 【详解】（1）由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得，解之得，综上，实数的取值范围是。故选：A. （2）由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得．综上，实数的取值范围为．故选：C． （3）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此，解得， 题型四、求函数的值域 【函数值域的求法】 （1）直接法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征，由自变量的范围逐步运算求出函数值的范围得到值域. （2）图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域． （3）配方法：与二次函数有关的函数，通常把函数式通过配方转化成完全平方式与常量的和（差）的形式，进而求出函数的值域（注意函数的定义域）. （4）换元法：形如的无理函数，可用换元法，即令，用t表示出x，然后代回原解析式中，转化成我们熟悉的关于t的函数再求值域. （注意新元的取值范围） （5）分离常数法：型函数（形如，ac≠0，cx+d≠0）型函数（形如0，）可用分离常数法，即将分子中含x的项分离，使分子不含x，再借助反比例函数的图象与性质确定分离后的函数的值域，即原函数的值域. （6）基本不等式法：对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求值域． （7）判别式法：形如中至少有一个不为0）或的函数可用判别式法（注意自变量的取值范围），即对解析式进行变形，整理为关于x的方程，利用方程有解求值域．若整理后的方程二次项系数不为0，则利用判别式Δ≥0得到函数的值域；若二次项系数为0，则利用一次方程有解得出函数的值域． （8）反表示法：将函数的自变量用因变量表示，结合原函数的定义域解不等式，从而求出函数的值域. 【特别提醒】 1．利用分离常数法求值域时，若分离较为困难，则可将分子或分母看作一个整体，用一个字母代替，即换元后再分离常数. 2．利用判别式法求分式型函数的值域时要注意三点： ①若分母对应的Δ<0，则可直接使用判别式法求解； ②若分母=0有解，且分子、分母不能约分，则也可直接使用判别式法求解； ③若分母＝0有解，且分子、分母有可以约掉的因式，则一定要先约去相同因式再利用判别式法求解，此时要注意自变量的取值范围为原函数中自变量的取值范围. 【典型例题】 17. （1）函数的值域为（   ） A． B． C． D． （2）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． （3）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 （4） 函数的值域为 ． （5） 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】（1）A；（2）B；（3）B；（4）；（5）D 【分析】（1）利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. （2） 根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． （3） 直接用判别式法求函数的最大值和最小值． （4） 求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域. （5） 换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）由题意得，因为，所以，所以，所以，所以，即函数的值域为． （2）函数的定义域为，则或，当时，， 当时，，综上，此函数的值域为． （3）设，，，时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． （4）对于函数，有，可得，所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立，故函数的值域为.故答案为：. （5）令，则，则，故当时，取得最大值，最大值为，所以的值域为.故选：D 18. 【多选】下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】本题考查了函数值域的求法，配方法、分离常数法和换元法的应用，掌握根据函数类型选择合适方法求值域的技巧是解题的关键． 对每个选项，使用配方法、分离常数法或换元法，结合函数单调性求值域，逐一判断正误． 【详解】对于A，（配方法），由，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值域为． 对于B，（分离常数法），显然，．故函数的值域为． 对于C，（换元法）设，则，且，，由，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为． 对于D，函数的定义域为，与在上均单调递增，在上为增函数，当时，，即函数的值域为．故选：ACD． 19. （1）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）B；（2）A 【分析】（1）根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. （2）由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解．所以，解得．故选：B． （2）：，当时，在上单调递增，所以，此时， 当时，由，当且仅当，即 时取等号， 因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则， 综上，，所以实数的取值范围为故选：A. 题型五、同一函数的判断 【判断是否是同一函数的方法】 （1）判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （2）函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 【典型例题】 20. 下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】分别求出两个函数的定义域，根据定义域不同排除BCD，对于A再分析解析式即可判断. 【详解】对于选项A：函数、的定义域均为，且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得，可知函数的定义域为， 由函数可得，解得，可知函数的定义域为，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 21. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 22. 【多选】下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为，又因为，这两个函数的对应法则不一样，A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且，函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同，B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得，对于函数，有，解得或，所以函数的定义域为，函数的定义域为或，这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，，这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 题型六、确定函数的解析式 【确定函数解析式的方法】 1．当函数类型已知或可判断时，一般用“待定系数法”求函数解析式，解题思路是：先设出含有待定系数的解析式，再将已知条件代入列出含待定系数的方程（组），利用恒等式的性质或解方程（组）得到待定系数的值，最后将所求待定系数的值代回原式并化简整理，得到函数的解析式. 2．当函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式． （1）代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x. （2）换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，用t表示出x，然后代入f(g(x))中，求得 注意新元l的取值范围即为函数f(t)的解析式，再用x替换t，便可得到f(x)的解析式.+f(x)的定义域 （3）配凑法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，可将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后用x代替g(x)，便可得到f(x)的解析式. （4）消元法（方程组法）：已知有关f(x)与f，或f(1-x)等的关系式，可根据已知条件，用 或1-x等替换x，再构造出另外一个关系式，组成方程组，通过解方程组求出f(x). （5）赋值法：已知抽象函数满足某些性质或等式，求f(x)的解析式，可通过给变量赋特殊值（如0，1，-x，x 等），将抽象等式转化为关于f(x)的具体方程，通过解方程得到f(x)的解析式.另外，有时需要多次赋值构造方程组（如用-x替换x，或用y替换x)，通过消元得到f(x)的解析式. 【特别提醒】 1．利用待定系数法求函数的解析式时，要根据已知灵活选择解析式的形式，比如二次函数，不要每次都设成一般式，还可以设成顶点式或交点式 2．利用赋值法求抽象函数的解析式时，要遵循“赋的值能向有利条件转化”的原则，可利用“倒推思想”赋值． 3．以选择题形式出现的求函数解析式的题目，可把选项代入验证，判断是否满足题设条件，若不满足，则排除；若满足，则选它． 【典型例题】 23. （1）若是一次函数，且，则______． （2）已知二次函数满足．求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可. （2）利用待定系数法，先设出二次函数一般式，代入展开合并，再利用多项式恒等对应系数相等列方程组即可求解. 【详解】（1）设，则， 故，解得或，故或． （2）由题意，设，则， ， 则， 又，则，解得，所以． 24. （1）已知，则______. （2）已知，则=___________. （3）若，则的定义域为______，______. （4）已知函数满足，则______. 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）3 【详解】（1）因为， 所以.所以； （2）因为，所以，所以，其中. . （3）设，因为，所以，故的定义域为； 因为 ，所以 ，故. （4）令，得，代入，得， 即的解析式为． 25. （1）已知函数满足，则________. （2）若，满足，且，则_______． （3）已知函数满足，则__________． （4）函数 _____， _____。 【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）， 【分析】（1）先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. （2） 利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. （3） 根据方程组法解抽象函数解析式即可． （4） 赋值解方程组即可求，令每个式子有意义则可求定义域. 【详解】（1）由①，可得②， 联立①②，解得，所以. （2）由，得，联立上述两式解得，， 即，而，则，即， 所以. （3） ，，解方程组得．故答案为：． （4）由于①，则，整理得②， 则，整理得③，得， 设，则，则④，则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为.故答案为：；. 26. 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x，y，都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式. 【答案】 【分析】函数为抽象函数，用赋值法求解析式． 【详解】解法一：令y=x，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1).因为f(0)=1，所以f(x)-x(x+1)=1，即 解法二：令x=0，得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，即f(-y)=1-y(-y+1).令-y=x，得 题型七、分段函数 1．求分段函数的函数值 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式，直到求出值为止. 2．已知分段函数的解析式求参数的值 （1）按照分段函数的“分段”对参数分类讨论，分别利用函数解析式解方程求得参数的值． （2）先判断每一段上的函数值的范围，确定使用哪段解析式，再求解． 3．解与分段函数有关的不等式 （1）与2中的（1）同理，分段利用函数解析式解不等式求得参数的取值范围． （2）在同一平面直角坐标系中作出分段函数与另一函数的图象，数形结合求解． 【特别提醒】 1．研究分段函数时，应注意“先分后合”，即先由定义域分段考虑，再合并整体把握． 2．当出现f(f(a)）的形式时，应从内到外逐个求解，有时候要利用换元法. 3．作分段函数的图象时，要注意每段函数图象的端点是空心圈还是实心点，保证不重不漏． 27. （1）已知函数，则（ ） A． B． C．2 D．1 （2）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）C；（2）A 【详解】（1）因为函数 ，所以 （2）因为函数 ，则，所以. 28. 已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得，则或； 综上：或. 29. 已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域对的取值范围分类讨论，同时验证解是否符合对应区间的取值要求. 【详解】当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得（舍去）；所以或. 30. 已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值 【详解】当时，，当时，， 因为，所以，即，所以， 所以，即，解得．故选： 31. 已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断. 【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个. 故选：B. 32. 设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故，而，故，故， 而即为或，故或，故不等式的解集为. 33. 设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或；若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，；当时，可得，因此则的值域是. 34. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以当时，即； 要使函数的值域为，所以当时的值域需包含， 又，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D 35. 已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值，则只需，即可，故的最大值为.故选：C. 36. 定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得，当时，可得，解得； 当时，，不满足题意；当时，可得，解得； 综上可知实数的取值范围是. 37. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则，当时，，则， 当时，，综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或，由图可知，要使函数的值域为， 则，解得，所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：； 38. 已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据在上无最大值，判断出时的值域，分类讨论，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】当时，，故. 由于在上无最大值， 所以时，的值域, 当时，. 注意到，对称轴为. 当时，如图（a）所示，的最大值为； 当时，如图（b）所示，的最大值为. 结合函数的大致图象可知或. 解得或，∴. 故实数的取值范围是. 【课后训练】 一、单选题 1. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误；故选：B. 2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得或， 所以所求定义域为.故选：B 3. 若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得，解得， 所以的定义域为.故选：D 4. 下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R，的定义域为，即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：和的定义域均为R，且，即函数的对应关系相同，所以函数是同一个函数，故B正确； 对于选项C：的定义域为，的定义域为R，即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故C错误； 对于选项D：的定义域为，的定义域为R，所以函数不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 5. 已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为，当时，，不合题意； 当时，，不等式可得，解得，所以； 当时，，所以不等式等价于，即得解得，所以.综上可得.故选：A 6. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则，可得， 所以.故选：B. 7. 已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论自变量a的范围，选择正确的解析式带入，并解不等式求a范围. 【详解】，若，则，即，解得，所以； 若，则，即，解得，所以； 综上，实数的取值范围为．故选：D. 二、多选题 8. 下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【分析】根据抽象函数定义域与函数括号内的范围一致即可判断A；对函数进行分离常数的变形即可判断B；根据具体函数的定义域可判断C；根据二次函数在闭区间上的值域可判断D. 【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数， 则有，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，由于， 所以，故B错误； 对于C，要使函数有意义，则有且， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D，，，， 所以函数在上的值域为，故D错误. 故选：AC 9. 下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则，所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①，所以②， 由①+②，得，所以，故D正确.故选：AD. 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】AD 【分析】对于AB：直接代入运算即可判断；对于CD：分和两种情况，结合题意解方程或不等式即可判断. 【详解】因为，对于选项AB：，，故A正确，B错误； 对于选项C：当时，，解得；当时，，解得；所以的解集为，故C错误； 对于选项D：当时，，解得；当时，，解得； 综上，的解集为，故D正确；故选：AD. 三、填空题 11. 已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再求所给的复合函数的定义域. 【详解】因为在上单调递减，且当时，；当时，， 所以，即函数的定义域为.由. 故答案为： 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【解析】的定义域为是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且,即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意，所以 综上,即实数a的取值范围是.故填: . 13. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解. 【详解】由，得，又，则，，因此，解得， 所以实数的取值范围是.故答案为： 四、解答题 14. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求m的值； （3）求解集． 【答案】(1)，；(2)或1或；(3). 【分析】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得. （2）根据给定分段函数，分类讨论求得值. （3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集. 【详解】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 15. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得.所以函数的解析式为. （2）(配凑法)，又，当且仅当即时等号成立. 设则，∴，∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，①∴，② 由得，∴.∴函数的解析式为. 16. 分别求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1），，所以，故函数的值域为． （2）令（），则，则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4，所以函数的值域为. （3）∵，则，即原函数值域为， （4），因为,即函数值域为(-1,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点一、函数的概念 1. 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集. 2. 函数的三要素 定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 3. 函数的四个特征 ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二、同一函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 【特别提醒】 两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三、区间的概念及表示 1. 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： （1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； （3）满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 2. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 【注意】 （1）无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． （2）以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四、函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式. （2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法. （3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法. 【特别提醒】 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0，2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2，0]． 知识点五、分段函数 定义 在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数 是一个函数，而不是几个函数 定义域 各段函数的自变量的取值范围的并集 值域 各段函数在对应自变量的取值范围内的值域的并集 【题型归纳】 题型一、函数关系的判断 【函数关系的判断方法】 1. 判断一个对应关系是否是函数的两个条件 （1）A，B必须是非空数集． （2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2. 根据图形判断对应关系是否为函数的方法 （1）任取一条垂直于x轴的直线l. （2）在定义域内平行移动直线l. （3）若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 【典型例题】 1. 给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 3. 【多选】以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（    ） A． B． C． D．   4. 【多选】下列对应关系能表示从集合到集合的函数是（    ） A． B． C． D． 5. 【多选】下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　） A． B． C． D． 题型二、函数求值 【函数求值的方法】 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【典型例题】 7. 若f(x)＝，则f（3）＝（    ） A．2 B．4 C．2 D．10 8. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 9. 若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 10. 已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 11. 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 12. 【多选】定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、求函数的定义域 【函数定义域的求解方法】 1. 已知函数解析式求定义域 根据函数解析式的运算特点列出使函数有意义的不等式（组），不等式（组）的解集就是函数的定义域.几类常见函数的定义域如下： （1）分式型要满足f(x)≠0（依据：分式的分母不为0)； （2）根式型要满足f(x)≥0（依据：偶次根式的被开方数非负） ； （3）零指数幂型要满足f(x)≠0（依据：任何不为0的数（式）的0次幂都等于1)． 此外，由实际背景确定的函数，其定义域不仅要使解析式有意义，还要使自变量满足实际意义. 2. 求抽象函数的定义域 （1）已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围. （2）已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域. （3）已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域. 【归纳总结】 1. f(φ(x))的定义域是指x的范围，而不是φ(x)的范围. 2．在同一对应关系“f ”下，括号里的整体的地位相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))中的t，φ(x)，h(x)的取值范围相同。 【典型例题】 13. （1）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （2）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14. （1）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 15. （1）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数，，则函数的定义域为______. 16. （1）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）函数的定义域为，求实数的值 题型四、求函数的值域 【函数值域的求法】 （1）直接法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征，由自变量的范围逐步运算求出函数值的范围得到值域. （2）图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域． （3）配方法：与二次函数有关的函数，通常把函数式通过配方转化成完全平方式与常量的和（差）的形式，进而求出函数的值域（注意函数的定义域）. （4）换元法：形如的无理函数，可用换元法，即令，用t表示出x，然后代回原解析式中，转化成我们熟悉的关于t的函数再求值域. （注意新元的取值范围） （5）分离常数法：型函数（形如，ac≠0，cx+d≠0）型函数（形如0，）可用分离常数法，即将分子中含x的项分离，使分子不含x，再借助反比例函数的图象与性质确定分离后的函数的值域，即原函数的值域. （6）基本不等式法：对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求值域． （7）判别式法：形如中至少有一个不为0）或的函数可用判别式法（注意自变量的取值范围），即对解析式进行变形，整理为关于x的方程，利用方程有解求值域．若整理后的方程二次项系数不为0，则利用判别式Δ≥0得到函数的值域；若二次项系数为0，则利用一次方程有解得出函数的值域． （8）反表示法：将函数的自变量用因变量表示，结合原函数的定义域解不等式，从而求出函数的值域. 【特别提醒】 1．利用分离常数法求值域时，若分离较为困难，则可将分子或分母看作一个整体，用一个字母代替，即换元后再分离常数. 2．利用判别式法求分式型函数的值域时要注意三点： ①若分母对应的Δ<0，则可直接使用判别式法求解； ②若分母=0有解，且分子、分母不能约分，则也可直接使用判别式法求解； ③若分母＝0有解，且分子、分母有可以约掉的因式，则一定要先约去相同因式再利用判别式法求解，此时要注意自变量的取值范围为原函数中自变量的取值范围. 【典型例题】 17. （1）函数的值域为（   ） A． B． C． D． （2）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． （3）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 （2） 函数的值域为 ． （3） 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 18. 【多选】下列函数中，值域正确的是（     ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 19. （1）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、同一函数的判断 【判断是否是同一函数的方法】 （1）判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （2）函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 【典型例题】 20. 下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 21. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 22. 【多选】下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六、确定函数的解析式 【确定函数解析式的方法】 1．当函数类型已知或可判断时，一般用“待定系数法”求函数解析式，解题思路是：先设出含有待定系数的解析式，再将已知条件代入列出含待定系数的方程（组），利用恒等式的性质或解方程（组）得到待定系数的值，最后将所求待定系数的值代回原式并化简整理，得到函数的解析式. 2．当函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式． （1）代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x. （2）换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，用t表示出x，然后代入f(g(x))中，求得 注意新元l的取值范围即为函数f(t)的解析式，再用x替换t，便可得到f(x)的解析式.+f(x)的定义域 （3）配凑法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，可将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后用x代替g(x)，便可得到f(x)的解析式. （4）消元法（方程组法）：已知有关f(x)与f，或f(1-x)等的关系式，可根据已知条件，用 或1-x等替换x，再构造出另外一个关系式，组成方程组，通过解方程组求出f(x). （5）赋值法：已知抽象函数满足某些性质或等式，求f(x)的解析式，可通过给变量赋特殊值（如0，1，-x，x 等），将抽象等式转化为关于f(x)的具体方程，通过解方程得到f(x)的解析式.另外，有时需要多次赋值构造方程组（如用-x替换x，或用y替换x)，通过消元得到f(x)的解析式. 【特别提醒】 1．利用待定系数法求函数的解析式时，要根据已知灵活选择解析式的形式，比如二次函数，不要每次都设成一般式，还可以设成顶点式或交点式 2．利用赋值法求抽象函数的解析式时，要遵循“赋的值能向有利条件转化”的原则，可利用“倒推思想”赋值． 3．以选择题形式出现的求函数解析式的题目，可把选项代入验证，判断是否满足题设条件，若不满足，则排除；若满足，则选它． 【典型例题】 23. （1）若是一次函数，且，则______． （2） 已知二次函数满足．求的解析式。 24. （1）已知，则______. （2）已知，则=___________. （3）若，则的定义域为______，______. （4）已知函数满足，则______. 25. （1）已知函数满足，则________. （2）若，满足，且，则_______． （3）已知函数满足，则__________． （4）函数 _____， _____。 26. 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x，y，都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式. 题型七、分段函数 1．求分段函数的函数值 先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式，直到求出值为止. 2．已知分段函数的解析式求参数的值 （1）按照分段函数的“分段”对参数分类讨论，分别利用函数解析式解方程求得参数的值． （2）先判断每一段上的函数值的范围，确定使用哪段解析式，再求解． 3．解与分段函数有关的不等式 （1）与2中的（1）同理，分段利用函数解析式解不等式求得参数的取值范围． （2）在同一平面直角坐标系中作出分段函数与另一函数的图象，数形结合求解． 【特别提醒】 1．研究分段函数时，应注意“先分后合”，即先由定义域分段考虑，再合并整体把握． 2．当出现f(f(a)）的形式时，应从内到外逐个求解，有时候要利用换元法. 3．作分段函数的图象时，要注意每段函数图象的端点是空心圈还是实心点，保证不重不漏． 27. （1）已知函数，则（ ） A． B． C．2 D．1 （2）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 28. 已知函数，若，则______. 29. 已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 30. 已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 31. 已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 32. 设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33. 设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 34. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35. 已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 36. 定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 38. 已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 【课后训练】 一、单选题 1. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3. 若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 4. 下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 5. 已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6. 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8. 下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 9. 下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．的解集为 三、填空题 11. 已知函数的定义域为，则的定义域为 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 13. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求m的值； （3）求解集． 15. （1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 16. 分别求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）． 学科网（北京）股份有限公司 $