函数的单调性与最值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2 函数的基本性质 一、知识点总结 二、题型总结 题型1、定义法判断或证明函数的单调性 题型2、利用单调性比较函数值大小 题型3、求函数单调区间 题型4、已知单调性求参数范围 题型5、复合函数的单调性 题型6、利用单调性解抽象不等式 题型7、利用函数单调性求最值或值域 题型8、根据函数的最值求参数 题型9、函数不等式恒成立问题 题型10、利用分段函数单调性求参数 3、 强化练习 1． 知识点总结 1. 函数的单调性 （1） 定义：设函数的定义域为I，区间D. ①增函数：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。 ②减函数：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。 （2） 判断方法： ① 定义法（作差法）：作差f()-f() → 变形（因式分解、配方）→ 判断正负 → 下结论。 ② 图像法：图像上升为增，下降为减 ③ 复合函数：同增异减（内外函数单调性相同则复合增，相反则复合减） (3)重要结论: ①f(x)与f(x)+C单调性相同（C为常数）. ②f(x)与kf(x)：k>0单调性不变；k<0单调性相反. ③ f(x)>0时，f(x)与单调性相反. 2、函数最值（依托单调性） 最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最大值。 最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最小值。 3、 函数单调性的运算 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 4、复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、题型总结 题型1、定义法判断或证明函数的单调性 解题必备：设<,作差f()-f()，判断正负。 典例精讲： 例1 已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，对任意，，，都有， 得在上单调递增，故，解得，即a的取值范围是， 故选：C. 举一反三： 变式1已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且，所以，在上，在上，所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 变式2 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增，则，解得，即实数a的取值范围为． 故选：B． 变式3 已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则， 因为，且，所以，故，故，所以在上单调递增. 题型2、利用单调性比较函数值大小 解题必备：自变量必须在同一个单调区间内，自变量变大，增函数函数值变大，减函数函数值变小。 典例精讲： 例2 已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 举一反三： 变式1 已知二次函数，其中.比较和的大小. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】因为的对称轴为， 所以， 因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减，所以，则 变式2 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可． 【详解】由， 又函数是区间上的减函数，所以． 故答案为：． 题型3、求函数单调区间 解题必备：①单调区间必须在定义域内。 ②多个区间不能用连接，用逗号隔开； ③二次函数看对称轴，分段函数分段分析。 典例精讲： 例3 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 举一反三: 变式1 函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是.故答案为： 变式2 已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 变式3 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 题型4、已知单调性求参数范围 解题必备： 一次函数：看一次项系数正负； 二次函数：看开口+对称轴位置 分段函数：每段单调+连接处单调。 典例精讲： 例4 若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以，故的取值范围是． 故答案为：. 举一反三： 变式1 已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 变式2 若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得，故答案为：；． 变式3 设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 题型5、复合函数的单调性 解题必备：三步：①定义域优先 ②转化f() < f() ③利用单调性去掉f,得到自变量不等式。 典例精讲： 例5 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.故选：A. 变式1 已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且，所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减.若，则， 由，得，即，这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以.由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 变式2 函数，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在单调递增 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；代入检验可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用反函数法可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， ，故为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项正确； 对于C选项，因为， 设，因为在上单调递减，内层函数在上为减函数， 所以在单调递增，故C选项正确； 对于D选项，令，可得，解得或， 函数的值域为 ，故D选项错误. 故选：ABC. 变式3 已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 题型6、利用单调性解抽象不等式 解题必备：利用单调性把函数符号f脱掉，转化成自变量的不等式。 典例精讲： 例题6 已知函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 解析： 根据题意得： 解得 ，即 。 因为 单调递增，且，解得 。 取定义域与不等式解集的交集：。 答案： 举一反三： 变式1 已知函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递减，解不等式 。 解析： 第一步：定义域不等式组 ，解得 ； 第二步： 递减，故 ，解得 ； 第三步：联立得解集 。 答案： 变式2 已知函数 的定义域为 ，在 上单调递减，在 上单调递增，解不等式 。 解析： 第一步：定义域不等式 ，解得 ； 第二步： 在 递减、 递增， 等价于 （偶函数模型迁移，因 关于 对称）； 第三步：解 得 或 ，联立定义域得 。 答案： 变式3 已知函数 的定义域为 ，单调递减，解不等式 。 解析： 第一步：定义域为 R，无额外限制； 第二步： 递减，故 ，即 ； 第三步： 无实数解，故解集为 。 答案： 题型7、利用函数单调性求最值或值域 解题必备：①求函数定义域；②判断函数的定义域上的单调性； ③找到区间端点、分段临界点；④判断这些值能不能取到；⑤写出最值或者值域。 典例精讲： 例7．已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 【分析】（1）用函数单调性的定义证明即可； （2）由的单调性得在上的值域，从而可求的值域. 【详解】(1)设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. （2）由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 举一反三： 变式1 已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】）（1）略 (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】(1)证明:因为函数，且，所以，解得， 故.任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即，故函数在上为增函数. （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 变式2 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）将 点代入 即可求得 ，进而确定 的解析式； （2）利用作差法证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性判断 在区间上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减， 证明如下：任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； （3）由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 变式3 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式，并用定义其在上证明的单调性； (2)求在上的值域. 【答案】（1）略 (2) 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知；通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性；， （2）根据的单调性以及，，可求解出在上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得，所以； 任取，则， 因为，所以，， 所以，则，即，所以在上单调递减； （2）由（1）知在上单调递减，因为，， 所以在上的值域为. 题型8、根据函数的最值求参数 解题必备：处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！ 典例精讲： 例8．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，当时，在上单调递减且的值域为， 则，，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为，所以，即， 解得，所以，综上，a的取值范围为． 故选：B． 举一反三： 变式1．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 变式2．已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为4即可得出的取值范围. 【详解】当时，， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当或时，，满足题意； 当时，在上单调递增， ，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 变式3．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数左移，函数变得简单，使得解的过程也变得简单；再分类讨论去绝对值，最后根据函数的值域算出实属a的取值范围. 【详解】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1.由，，当，时，， 此时函数的最小值为1，不合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，化简得 又由当时，根据二次函数的性质，的值域为， 当时，，必有，可得. 综上，实数a的取值范围是. 故选：B. 题型9、函数不等式恒成立问题 解题必备：恒成立问题常转化为最值问题：f(x)≥ a恒成立，则≥ a；f(x)≤ a恒成立，则 a，注意勿忘定义域与参数分类讨论。 典例精讲： 例9 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以， 故选：A. 举一反三： 变式1 已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【分析】（1）分，，三种情况讨论，从而可求得不等式的解集； （2）由题意可得在内恒成立，利用在的最大值即可. 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ，所以，所以实数n的取值范围. 变式2 已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，得到不等式，讨论当时，不等式成立；当或时，分别求解绝对值不等式，然后得到不等式解集； （2）根据整理不等式，然后解绝对值不等式，用含的代数式表示的取值范围，由恒成立转换为求代数式最值，从而求得的取值范围. 【详解】（1）由题知，，即解不等式 当时，不等式显然不成立； 当时，即解，解得或，又因，所以； 当时，即解，解得，又因，所以 综上所述， （2）由题知，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即与在上恒成立． 函数在上单调递增，所以最大值为0，所以； 函数在时，，当且仅当，即时取等号，所以最小值为4，所以； 综上所述， 题型10、根据分段函数单调性求参数 典例精讲： 例10．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 举一反三： 变式1．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可. 【详解】若函数在定义域上是减函数， 则,解得, 故选：B 变式2．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，是单调递减的，即有，解得；当时，函数是单调递减的，分界点处的值应满足，解得．综上，． 变式3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 三、强化练习 一、单选题 1．已知函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1,＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞,4] B．(－∞,4) C．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 【答案】A 【分析】由二次函数的区间单调性，结合其对称轴求参数a的范围. 【详解】若使函数2x2－ax＋5在[1,＋∞)上是单调递增函数， 由对称轴，故满足≤1，则a≤4. 故选：A 2．如果函数f（x）=x2﹣2bx+2在区间[3，+∞）上是增函数，则b的取值范围为 A．b=3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 【答案】C 【详解】试题分析：二次函数对称轴为，增区间为，由在区间[3，+∞）上是增函数可知 考点：二次函数单调性 3．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 4．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为（    ） A．1 B． C．－ D．－1 【答案】D 【分析】由题意结合函数的单调性可得函数f(x)在上为减函数，即可得解. 【详解】∵函数f(x)在上为减函数， ∴函数f(x)在上最小值. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求函数在区间上的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，然后将转化为来求得的解析式，由此求得的最小值. 【详解】， ， ， ，， 依题意，且当时，， 所以，故当时， 取得最小值. 故选：C 6．已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据f（x）的单调区间求出a的范围，利用f（x）的单调性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性计算g（a）的最小值． 【详解】：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数， ∴-a≥1，即a≤-1． ∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4， 最小值为f（1）=4+2a， ∴ ， ∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减， ∴g（a）的最小值为g（-1）=1． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题． 7．已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，即可判断的单调性，不等式，即为，结合函数的单调性解得即可. 【详解】设，则，且， 因为对任意的实数且，，则， 即，所以在上是增函数， 所以不等式，即为，即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 8．定义在上的函数满足，当时，，则函数在上有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】根据函数增减性的定义证明函数是减函数，即可求解. 【详解】设且，则， ， 因为时，，所以， 所以， 即， 所以函数在上是减函数， 所以在上有最小值. 【点睛】本题主要考查了定义法证明抽象函数的单调性及单调性的应用，属于中档题. 二、多选题 9．若x∈R，f(x)是y=2-x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)（    ） A．无最大值 B．最大值为1 C．无最小值 D．最小值为-1 【答案】BC 【解析】在同一坐标系中画出两个函数图像，数形结合即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2，y=x的图象如图所示， 根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象. 当x=1时，f(x)取得最大值，且f(x)max=1，由图象知f(x)无最小值. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的最值问题，体现了数形结合思想的应用，属于基础题. 10．函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误. 【详解】AB选项，在是减函数，且，故， ，AB正确； CD选项，因为，，所以， ，C正确，D错误. 故选：ABC 11．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若，则 D．的解集为 【答案】AC 【分析】分别计算分段函数的值域得到A正确，计算，B错误，分类考虑计算得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：当时，，当时，， 故函数值域为，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：当时，，，不成立； 当时，，或（舍），故，正确； 对选项D：，，错误. 故选：AC. 三、填空题 12．已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的图像性质即可求解. 【详解】形如的图像如图所示： 所以在 即时取得最小值 因为在严格减函数，所以时符合题意，即． 故答案为： 13．已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围. 【详解】解：由题意， 在中， ∵函数有最小值， ∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数， ∴，解得：， ∴有最小值时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．设函数 ①若且，使得成立，则实数的取值范围是______. ②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 或 【解析】①由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围； ②在上单增，在R上单增，结合图像知，或者 【详解】①由知，函数关于直线对称， 又二次函数，开口向下，对称轴为，结合图像： 由，使得，知 ②在上单增，在R上单增，结合图像知，或 【点睛】结论点睛：函数对称性常用结论： （1）函数满足，则函数图像关于直线对称； （2）函数满足，则函数图像关于点中心对称； 四、解答题 15．已知函数， (1)证明函数的单调性； (2)求函数的最小值和最大值. 【答案】(1)设， 则， ， ，∴， ∴，即， ∴在上是增函数. (2)最小值，最大值为. 【分析】（1）根据函数单调性定义，设，用作差法判断大小关系即可； （2）由函数的单调性，即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在上是增函数， ∴最小值，最大值为. 【点睛】本题考查函数单调性的证明以及应用，属于基础题. 16．判断下列函数的单调性，并求其单调区间. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）单调减区间为，无单调增区间；（2）单调增区间为，无单调减区间；（3）单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）先分离，再根据分母不为零得定义域，最后根据反比例函数单调性确定单调区间； （2）先根据分母不为零得定义域，再根据复合函数单调性确定单调区间； （3）先根据绝对值定义化简函数，再根据二次函数单调性求单调区间. 【详解】（1），定义域为，所以单调减区间为，无单调增区间； （2）， 定义域为，因为增函数-减函数=增函数，所以单调增区间为，无单调减区间； （3）由 可知单调增区间为，单调减区间为. 【点睛】本题考查函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．已知函数，，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用二次函数的顶点性质，将比较函数值转化为比较自变量到顶点的距离，进而解绝对值不等式. 【详解】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即，从而有， 即，即，即， 即，所以或． 18．设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： （1）f(0)＝1； （2）x∈R时，恒有f(x)>0； （3）f(x)在R上是减函数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）可通过赋值求f(0)； （2）可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)>0； （3）利用定义，构造f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]，可证明函数的单调性． 【详解】（1）根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)， ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. （2）由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x＝0时，f(0)＝1>0；当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，∴f(x)·f(－x)＝1， 故x∈R时，恒有f(x)>0. （3）设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]． 由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在R上是减函数． 19．已知函数. (1)求证：函数在区间上是单调增函数； (2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据函数单调性定义，令证明即可. （2）将问题化为在，上有，由分式型函数的单调性求出最小值，讨论的符号结合一次函数的单调性确定的最小值，进而求m的范围. 【详解】（1）由， 令，则， 所以，故在区间上是单调增函数. （2）令，则问题转化为在，上有， 由在上递增，故， 当时，在上递增，则， 所以，可得. 当时，则，符合题设； 当时，在上递减，则， 所以，可得. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 函数的基本性质 一、知识点总结 二、题型总结 题型1、定义法判断或证明函数的单调性 题型2、利用单调性比较函数值大小 题型3、求函数单调区间 题型4、已知单调性求参数范围 题型5、复合函数的单调性 题型6、利用单调性解抽象不等式 题型7、利用函数单调性求最值或值域 题型8、根据函数的最值求参数 题型9、函数不等式恒成立问题 题型10、利用分段函数单调性求参数 3、 强化练习 1． 知识点总结 1. 函数的单调性 （1） 定义：设函数的定义域为I，区间D. ①增函数：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。 ②减函数：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。 （2） 判断方法： ① 定义法（作差法）：作差f()-f() → 变形（因式分解、配方）→ 判断正负 → 下结论。 ② 图像法：图像上升为增，下降为减 ③ 复合函数：同增异减（内外函数单调性相同则复合增，相反则复合减） (3)重要结论: ①f(x)与f(x)+C单调性相同（C为常数）. ②f(x)与kf(x)：k>0单调性不变；k<0单调性相反. ③ f(x)>0时，f(x)与单调性相反. 2、函数最值（依托单调性） 最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最大值。 最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有； （2），使得。 那么，我们称是函数的最小值。 3、 函数单调性的运算 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 4、复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、题型总结 题型1、定义法判断或证明函数的单调性 解题必备：设<,作差f()-f()，判断正负。 典例精讲： 例1 已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三： 变式1已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式2 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3 已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型2、利用单调性比较函数值大小 解题必备：自变量必须在同一个单调区间内，自变量变大，增函数函数值变大，减函数函数值变小。 典例精讲： 例2 已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 举一反三： 变式1 已知二次函数，其中.比较和的大小. 变式2 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）． 题型3、求函数单调区间 解题必备：①单调区间必须在定义域内。 ②多个区间不能用连接，用逗号隔开； ③二次函数看对称轴，分段函数分段分析。 典例精讲： 例3 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 举一反三: 变式1 函数的单调递减区间为 . 变式2 已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 变式3 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型4、已知单调性求参数范围 解题必备： 一次函数：看一次项系数正负； 二次函数：看开口+对称轴位置 分段函数：每段单调+连接处单调。 典例精讲： 例4 若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 举一反三： 变式1 已知在上是减函数，则的取值范围是 . 变式2 若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 变式3 设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 题型5、复合函数的单调性 解题必备：三步：①定义域优先 ②转化f() < f() ③利用单调性去掉f,得到自变量不等式。 典例精讲： 例5 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 举一反三： 变式1 已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 变式2 函数，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在单调递增 D．的值域为 变式3 已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6、利用单调性解抽象不等式 解题必备：利用单调性把函数符号f脱掉，转化成自变量的不等式。 典例精讲： 例题6 已知函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 举一反三： 变式1 已知函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递减，解不等式 。 变式2 已知函数 的定义域为 ，在 上单调递减，在 上单调递增，解不等式 。 变式3 已知函数 的定义域为 ，单调递减，解不等式 。 题型7、利用函数单调性求最值或值域 解题必备：①求函数定义域；②判断函数的定义域上的单调性； ③找到区间端点、分段临界点；④判断这些值能不能取到；⑤写出最值或者值域。 典例精讲： 例7．已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 举一反三： 变式1 已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 变式2 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 变式3 已知函数的图象经过点. (1)求的解析式，并用定义其在上证明的单调性； (2)求在上的值域. 题型8、根据函数的最值求参数 解题必备：处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！ 典例精讲： 例8．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三： 变式1．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 变式2．已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9、函数不等式恒成立问题 解题必备：恒成立问题常转化为最值问题：f(x)≥ a恒成立，则≥ a；f(x)≤ a恒成立，则 a，注意勿忘定义域与参数分类讨论。 典例精讲： 例9 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 举一反三： 变式1 已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 变式2 已知，． (1)当时，求使成立的的集合； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 题型10、根据分段函数单调性求参数 典例精讲： 例10．设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 举一反三： 变式1．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、强化练习 一、单选题 1．已知函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1,＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞,4] B．(－∞,4) C．[4,＋∞) D．(4,＋∞) 2．如果函数f（x）=x2﹣2bx+2在区间[3，+∞）上是增函数，则b的取值范围为 A．b=3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 3．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为（    ） A．1 B． C．－ D．－1 5．定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，当时，，则函数在上有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 二、多选题 9．若x∈R，f(x)是y=2-x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)（    ） A．无最大值 B．最大值为1 C．无最小值 D．最小值为-1 10．函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若，则 D．的解集为 三、填空题 12．已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是________． 13．已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______. 14．设函数 ①若且，使得成立，则实数的取值范围是______. ②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．已知函数， (1)证明函数的单调性； (2)求函数的最小值和最大值. 16．判断下列函数的单调性，并求其单调区间. （1）； （2）； （3）. 17．已知函数，，求实数m的取值范围． 18．设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： （1）f(0)＝1； （2）x∈R时，恒有f(x)>0； （3）f(x)在R上是减函数． 19．已知函数. (1)求证：函数在区间上是单调增函数； (2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $