第10讲 函数的概念及其表示（2大知识点+11大题型）讲义-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版）

第10讲 函数的概念及其表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数的表示法 4 知识点三：函数定义域的求法 4 知识点四：函数值域的求法 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：函数的基本概念 6 题型 2：解析式型函数定义域求解 8 题型 3：抽象函数定义域求解 10 题型 4：由定义域求参数范围 12 题型 5：同一函数的判定 13 题型 6：已知自变量求函数值 17 题型 7：函数值域求解 19 题型 8：函数解析式求解 22 题型 9：分段函数求值与不等式 25 题型 10：区间的定义与表示 28 题型 11：函数的图象应用 29 04 过关测试 33 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型 1：函数的基本概念 例1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解析】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 例2．（2026·高一·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【解析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 例3．（2026·高一·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 【答案】D 【解析】对于A，不等式的解集为，所以不是的函数，故A错误； 对于B，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故B错误； 对于C，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故C错误； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，故D正确. 故选：D. 变式1．（2026·高一·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解析】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 变式2．（2026·高一·江苏南京·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 【答案】C 【解析】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 变式3．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解析】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 题型 2：解析式型函数定义域求解 例4．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 例5．（2026·高一·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故选：D. 例6．（2026·高一·广西钦州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 变式4．（2026·高一·河南·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，解得. 故选：A. 变式5．（2026·高一·吉林白山·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，必须， 解得， 则函数的定义域为. 故选：A. 题型 3：抽象函数定义域求解 例7．（2026·高一·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 例8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 例9．（2026·高一·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以的定义域为. 故选：A. 变式6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 变式7．（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 变式8．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数的定义域，函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 故的定义域为. 故选：C. 题型 4：由定义域求参数范围 例10．（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 例11．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 例12．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 变式9．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】， 所以的定义域为R，即，对任意恒成立， 当时，不等式变为，符合题意； 当时，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 变式10．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由函数的定义域为，得，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型 5：同一函数的判定 例13．（2026·高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 例14．（2026·高一·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 例15．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为， 函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 变式11．（2026·高一·福建莆田·期中）下列各组函数是同一组函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A：，与的定义域不同，对应关系也不同，故A错误； B：，与的定义域都为，对应关系也相同，故是同一函数，故B正确； C：，与的定义域不同，故C错误； D：，与的对应关系不同，故D错误. 故选：B 变式12．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A：与的对应法则不相同，不是同一函数. 故 A 错误； 对于B：的定义域R，的定义域为 ， 两者的定义域不相同，不是同一函数. 故B错误； 对于C：，可化为分段函数，又， 定义域、对应法则都相同，是同一函数，故C选项正确； 对于D，的定义域为，的定义域R， 两者的定义域不相同，不是同一函数。故D错误. 故选：C. 变式13．（2026·高一·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项A错误； 选项B，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项B错误； 选项C，的定义域为，的定义域为，定义域同， 与表达式不同，不是同一函数，故选项C错误； 选项D，的定义域为，的定义域为， 定义域相同，，与表达式相同， 是同一函数，故选项D正确. 故选：D. 题型 6：已知自变量求函数值 例16．（2026·高一·广西河池·期中）函数的定义域为__________，求__________. 【答案】 【解析】由题意可得，解得，即的定义域为， . 例17．（2026·高一·湖北·期末）若函数，则_____． 【答案】0 【解析】函数， 则. 故答案为：0. 例18．（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）若对任意x，恒成立，且，则______. 【答案】 【解析】在中，令， 则， 因为， 所以. 故答案为： 变式14．（2026·高一·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 【答案】13 【解析】函数，由，得， 所以. 故答案为：13 变式15．（2026·高一·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 【答案】70 【解析】因为函数满足：对任意的实数，都有，且， 所以令，则， 所以 ， 累加可得， 同理， 所以. 故答案为：70. 变式16．已知函数，则___________ 【答案】 【解析】因为函数，且， 所以 . 题型 7：函数值域求解 例19．（2026·高一·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【解析】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 例20．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 例21．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【解析】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为. 变式17．求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 【解析】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 题型 8：函数解析式求解 例22．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【解析】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 例23．（2026·高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【解析】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 例24．（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【解析】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 变式18．（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【解析】（1）设，因为，所以， 因为， 又，所以，解得， 所以； （2）令，则，， 代入有， 所以. 变式19．（2026·高一·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【解析】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 变式20．（2026·高一·辽宁大连·期中）（1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 【解析】（1）令，则，则，所以； （2）由题设，用替换，得， 所以，则，可得； （3）当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，. 题型 9：分段函数求值与不等式 例25．（2026·高一·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 【解析】（1）因为，所以函数的图象如下所示： （2）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （3）因为， 所以，则，， 所以. 例26．（2026·高一·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由函数，，得，， 所以，. （2）当时，；当时，，则， 所以的值域为. （3）当时，，则； 当时，，， 因此， 不等式化为或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 例27．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求的值． (2)求不等式的解集． 【解析】（1）因为，所以， 当，即时，, 当，即时，， 所以. （2）当时，由，得到，即，解得或， 当，由，得到，即，解得， 综上所述，不等式的解集为或或. 变式21．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【解析】（1），由于，故，解得 故， 所以. （2）当时，，解得，舍去； 当时，，解得或-1， 其中不符合题意，舍去； 综上所述，. 变式22．（2026·高一·内蒙古包头·期中）已知函数. (1)求的值； (2)当时，求m的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 所以； （2）当时，由得， 解得， 当时，由得， 解得， 综上所述，m的取值范围为 变式23．（2026·高一·重庆江津·期中）已知函数的解析式， (1)求； (2)若，求a的值； 【解析】（1）， , 故. （2）当时,,解得,成立; 当时,,解得或(舍); 当时,,解得,不成立， 的值为0或. 题型 10：区间的定义与表示 例28．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 例29．把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） （2） （3） （4） 例30．用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 变式24．将下列集合用区间表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【解析】（1）用区间表示为； （2）用区间表示为； （3）用区间表示为； （4）或用区间表示为. 变式25．用区间表示下列集合： (1)； (2)且. 【解析】（1）由题意， （2）由题意，且且 题型 11：函数的图象应用 例31．（2026·高一·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 例32．（2026·高一·江西·期中）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由于，排除AD， 而的定义域为，排除C，故B满足题意. 故选：B 例33．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】由的图象与的对应法则表可知，所以． 变式26．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】依题意，，因此函数的图象为选项D. 故选：D 变式27．（2026·高三·海南海口·阶段检测）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为： ， ， 故选：D 变式28．（2026·高一·广西柳州·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（   ） 0    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，由表格可知． 故选：B. 1．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又因为，所以， 所以，所以A、C无法判断， 对于B、D，， 所以，即. 2．（2026·高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 3．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为， 所以可知，解得． 所以的定义域为. 故选：A. 4．（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 5．（2026·高一·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 6．（2026·高一·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【解析】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 7．已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A、B、C，由题知的定义域为， ， 的定义域为， ，，的定义域均为， 故A、B、C不符合题意； 对于D ，， ，解得：， 所以函数的定义域为．故D符合题意. 故选：D 8．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 9．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 10．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确； 若，则， 由C选项可知，函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD 11．函数的值域是______. 【答案】 【解析】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 12．（2026·高一·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【解析】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 13．求函数的值域． 【解析】由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，，故． 14．已知函数，求； 【解析】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 15．已知函数，若，求实数的取值范围． 【解析】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 16．（2026·高一·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 17．（2026·高一·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【解析】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的概念及其表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数的表示法 4 知识点三：函数定义域的求法 4 知识点四：函数值域的求法 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：函数的基本概念 6 题型 2：解析式型函数定义域求解 7 题型 3：抽象函数定义域求解 8 题型 4：由定义域求参数范围 8 题型 5：同一函数的判定 9 题型 6：已知自变量求函数值 10 题型 7：函数值域求解 11 题型 8：函数解析式求解 12 题型 9：分段函数求值与不等式 14 题型 10：区间的定义与表示 16 题型 11：函数的图象应用 17 04 过关测试 20 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型 1：函数的基本概念 例1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 例2．（2026·高一·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    例3．（2026·高一·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 变式1．（2026·高一·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 变式2．（2026·高一·江苏南京·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 变式3．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 题型 2：解析式型函数定义域求解 例4．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·广西钦州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高一·河南·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·吉林白山·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型 3：抽象函数定义域求解 例7．（2026·高一·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数的定义域，函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 题型 4：由定义域求参数范围 例10．（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 例11．（2026·高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 例12．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 变式9．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 变式10．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 题型 5：同一函数的判定 例13．（2026·高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例14．（2026·高一·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 变式11．（2026·高一·福建莆田·期中）下列各组函数是同一组函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式12．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式13．（2026·高一·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 题型 6：已知自变量求函数值 例16．（2026·高一·广西河池·期中）函数的定义域为__________，求__________. 例17．（2026·高一·湖北·期末）若函数，则_____． 例18．（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）若对任意x，恒成立，且，则______. 变式14．（2026·高一·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 变式15．（2026·高一·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 变式16．已知函数，则___________ 题型 7：函数值域求解 例19．（2026·高一·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 例20．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 例21．求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 变式17．求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 题型 8：函数解析式求解 例22．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 例23．（2026·高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 例24．（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 变式18．（2026·高一·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 变式19．（2026·高一·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 变式20．（2026·高一·辽宁大连·期中）（1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 题型 9：分段函数求值与不等式 例25．（2026·高一·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 例26．（2026·高一·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 例27．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求的值． (2)求不等式的解集． 变式21．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 变式22．（2026·高一·内蒙古包头·期中）已知函数. (1)求的值； (2)当时，求m的取值范围. 变式23．（2026·高一·重庆江津·期中）已知函数的解析式， (1)求； (2)若，求a的值； 题型 10：区间的定义与表示 例28．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 例29．把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 例30．用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 变式24．将下列集合用区间表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)或． 变式25．用区间表示下列集合： (1)； (2)且. 题型 11：函数的图象应用 例31．（2026·高一·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   例32．（2026·高一·江西·期中）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   例33．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 变式26．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   变式27．（2026·高三·海南海口·阶段检测）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 变式28．（2026·高一·广西柳州·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（   ） 0    A． B． C． D． 1．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026·高一·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 7．已知函数的定义域为，，则下列函数的定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 9．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 11．函数的值域是______. 12．（2026·高一·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 13．求函数的值域． 14．已知函数，求； 15．已知函数，若，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $