精品解析：辽宁大连市第七十六中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

初三数学 （考试时间120分钟，满分100分） 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 5. 已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A. 1m B. 1.5m C. 2.5m D. 2m 9. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为______． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 13. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 14. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 三．解答题（共6小题，共55分） 16. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 17. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 18. 如图抛物线经过点，， （1）求抛物线的表达式及C点坐标； （2）当时，求x的取值范围． 19. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 21. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． （1）若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； （2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （考试时间120分钟，满分100分） 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选B． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴是是直线， 故选：B． 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数的最小值是； 故选D 4. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 5. 已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把函数解析式整理出顶点式形式，然后根据顶点在x轴上，纵坐标等于0列方程求解即可．本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点式形式求解是解题的关键． 【详解】解：， ∵抛物线顶点在x轴上， ∴， 解得． 故选：B． 6. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 y … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时，x的另一个取值；然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时，x的取值范围． 【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 当x=0时，y=5；当x=4时，y=5， ∴当时，x的取值范围为x<0或x>4 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键． 7. 如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，求得点A、B的坐标成为解题的关键． 先求得抛物线的对称轴为，再根据坐标与图形以及平行四边形的性质可得，根据二次函数图像的对称性可得点的横坐标分别为：2，6；然后确定点的纵坐标，最后将点A的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵x轴上的有两点， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, 由二次函数的对称性可得：点的横坐标分别为：2，6， ∵直线与轴交于，轴， ∴点的纵坐标8， ∴点的坐标分别为、， 将点代入可得：，解得：． 故选：C． 8. 如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A. 1m B. 1.5m C. 2.5m D. 2m 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 9. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”写出即可． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为， 故答案为：． 12. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 13. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 14. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是利用二次函数的对称性解题． 根据二次函数的对称性，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称这一性质求解即可． 【详解】解：∵此炮弹在第秒和第秒时的高度相等， ∴由对称性可知，此炮弹飞行第秒时的高度是最高的． 故答案为：． 15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 三．解答题（共6小题，共55分） 16. 已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） 顶点坐标为. （2） 当时，随的增大而减小. 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合二次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 17. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式； （2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴. 试题解析： (1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入，得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2. (2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1. 点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：. 18. 如图抛物线经过点，， （1）求抛物线的表达式及C点坐标； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，求二次函数与y轴的交点坐标： （1）利用待定系数法求出解析式，再求出当时y的值即可得到答案； （2）根据函数图象找到二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴当时，． 19. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 20. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 21. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． （1）若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； （2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围； （3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，抛物线与直线的交点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. （1）把点代入解析式即可求出抛物线为，由轴即可求出点； 过点D作，垂足为H，由角平分线性质得，求出点。进而求得直线解析式为，联立抛物线和直线解析式即可求出点的坐标； （2）由点，求得，进而求出； （3）分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在上方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点； ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即，解得：，； ∴点 过点D作，垂足为H， ∵轴， ∴轴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，（不合题意舍去）， ∴点 【小问2详解】 ∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：，解得：； 【小问3详解】 ∵抛物线 ， ∴抛物线对称轴为，顶点为 ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， I.当抛物线的顶点在线段上时， 即：，解得：， II. 当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴ 解得：， 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $