精品解析：辽宁大连汇文中学2025-2026学年上学期九年级学情自测数学试卷

大连汇文中学九年级数学随堂练习试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 2. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 4. 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为（ ） A. 30 B. C. 30 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 12. 在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 13. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 14. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 15. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点为一次函数与轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 18. 如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点． 求证：． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 （1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值 任务3 分析计算 （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 20. 广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔.如图，广州塔附近有一大厦高150米，张强在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高.（参考数据：，，） 21. 如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB=8，BC=6，求DE的长． 22. 【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 23. 已知抛物线 ，其中m是实数． （1）请直接写出顶点坐标为： ；（用含有m的式子表示） （2）若，请直接写出抛物线与y轴的交点坐标： ； （3）在（2）的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点D是第四象限内抛物线上一点（不与点B，C重合），连接BC、OD、CD，其中 BC、OD的交点为点E．求的最大值； （4）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，作直线GP：y=kx+b（k>0）与抛物线交于点 P，与直线 交于点 F，过点 F作y轴的平行线交抛物线于点 Q． ①点 P的坐标为 ；（用含有k的式子表示） ②取PQ的中点M，过点M作y轴的平行线交直线于点N．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连汇文中学九年级数学随堂练习试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 2. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是 故选：B 3. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的一元二次方程得： ， ， 故选：C 4. 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得直角三角形的面积为． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， ∴； 故选：D． 5. 在中，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．先根据正弦函数的定义确定的表达式，再结合已知条件得出结果． 【详解】解：在中，，的对边是，斜边是，所以， 已知，将其代入可得， 所以答案选． 6. 如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，切线的性质及直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：为的切线， ， ， ， ． ， ． 故选：B． 7. 如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选B． 8. 如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为（ ） A. 30 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形-仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用．根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在点处测得塔顶的仰角为， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：A． 10. 如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可． 【详解】连结BC，设扇形的圆心为A点， ∵∠BAC=90°， ∴BC为直径， ∴BC=4， 在Rt△BAC中，由AB=AC， 由勾股定理AB=AC=， ∴S扇形BAC=． 故选择：C． 【点睛】本题考查圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积公式，利用90°的扇形构造等腰直角三角形是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，且，那么的度数为_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该班的学生有人，则每人送出件礼物，根据共有互赠纪念品件列方程求解即可． 【详解】解：设该班的学生有人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 13. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据简单的概率计算公式计算即可． 【详解】解：随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故填：． 14. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】由旋转得所以，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将绕点旋转至的位置，点在边上， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握运算法则和灵活运用解一元二次方程的方法是解题关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）先求出各三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：（1）∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （2） ． 17. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点为一次函数与轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式是，反比例函数的解析式是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入反比例函数，一次函数，求解得出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）根据一次函数，得出点、的坐标，得出，点到轴的距离为，点到轴的距离为，根据计算即可； （3）根据，即，即求当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的范围，根据交点、的坐标，结合图象，即可写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：把分别代入反比例函数，一次函数， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式是，反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 解：∵点为一次函数与轴的交点，一次函数和反比例函数图象交于点，， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即求当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的范围， ∵交点，，结合图象， ∴不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，代入坐标求出函数的解析式、三角形的面积计算、观察函数的图象等，正确计算、数形结合是解题的关键． 18. 如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点． 求证：． 【答案】 证明：如图，连接，，，，， ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【详解】证明：略． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 素材2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米． 问题解决 任务1 建立模型 （1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值 任务3 分析计算 （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式． 任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式； 任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值； 任务3：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解． 【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为， 可设抛物线的函数表达式为， 抛物线过， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 任务2：由题意，喷泉池的半径为米， 令，则， 喷水口升高的最小值为米； 任务3：当向上平移个单位， 则， 令，， 解得：，（舍去）， 米， 建议花卉的种植宽度为米． 20. 广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔.如图，广州塔附近有一大厦高150米，张强在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高.（参考数据：，，） 【答案】广州塔的高为600米. 【解析】 【分析】设广州塔的高为米，过点作于点，可得四边形为矩形，解和， 可以得到AB、DE的值，结合图形可得到关系式，解之即可得出答案. 【详解】解：如图，过点作于点， 设广州塔的高为米， ∵在中，， ∴米， ∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴， ∵，∴， ∴，即米； 答：广州塔的高为600米. 【点睛】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角或俯角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21. 如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB=8，BC=6，求DE的长． 【答案】（1） 证明：∵AE=AB， ∴△ABE是等腰三角形， ∴， ∵∠BAC=2∠CBE，即∠CBE=∠BAC， ∴，即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）1.6 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理可得出．再根据∠BAC=2∠CBE，即可求出，即可证明； （2）连接BD，根据勾股定理可求出AC=10．由AB是⊙O的直径，即可得出∠ADB=∠ABC=90°，即易证△ABD∽△ACB，得出，代入数据可求出AD=6.4，即可求出DE=AE-AD=1.6． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADB=∠ABC， 又∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴． 在Rt△ABC中， AC==10， ∴， 解得：AD=6.4， ∵AE=AB=8， ∴DE=AE-AD=8-6.4=1.6． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及三角形相似的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 22. 【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①，理由如下： ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由旋转的性质得，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，如图， ， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 、、三点共线，即是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ， ， ，即； ② 【解析】 【分析】（1）①利用三角形外角的性质，将拆分为和，结合已知的等量关系，直接推导出； ②由得到等腰三角形底角相等，结合已知代换得到，再结合公共角，利用两角分别相等的三角形相似完成证明． （2）①先由和判定为等边三角形，结合求出的度数，利用旋转构造全等三角形，推导出为等边三角形并证得、、三点共线，结合是中点，利用三角形中位线定理推导出； ②则用倍长中线法构造全等三角形，结合旋转性质代换得到，通过角的和差计算证得，进而证出，得到与相关角的度数，延长交于，推得为等腰直角三角形，得出，作构造特殊直角三角形，设，用表示和，结合的等量关系建立方程，求解即可得到的长度． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 故答案为：； ②略 （2）①略 ②解：延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 延长交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， 设，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，解得， 即． 【点睛】本题考查三角形外角性质、等腰与等边三角形的判定和性质、相似与全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、倍长中线法及含和特殊角的直角三角形边角关系，关键是巧用旋转、倍长中线的几何变换构造全等三角形，结合特殊三角形性质完成角与线段的等量代换，灵活运用相似、全等判定定理和三角形中位线定理，搭建已知条件与所求线段的数量关系． 23. 已知抛物线 ，其中m是实数． （1）请直接写出顶点坐标为： ；（用含有m的式子表示） （2）若，请直接写出抛物线与y轴的交点坐标： ； （3）在（2）的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点D是第四象限内抛物线上一点（不与点B，C重合），连接BC、OD、CD，其中 BC、OD的交点为点E．求的最大值； （4）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，作直线GP：y=kx+b（k>0）与抛物线交于点 P，与直线 交于点 F，过点 F作y轴的平行线交抛物线于点 Q． ①点 P的坐标为 ；（用含有k的式子表示） ②取PQ的中点M，过点M作y轴的平行线交直线于点N．求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）①；② 【解析】 【分析】（1）由二次函数顶点坐标公式直接可得； （2）把代入二次函数解析式，令，求出值即可得坐标； （3）设，写出直线和直线的解析式，联立后用表示出点横坐标，由，配方后可得最大值； （4）①写出抛物线顶点坐标，设直线解析式为，代入点，得，得直线解析式为，联立抛物线解析式和直线解析式，得点横坐标，代入二次函数解析式得点纵坐标； ②利用直线解析式写出点坐标，再写出点坐标，计算的长，由点是中点推出点纵坐标，计算的长，最后利用约分计算的值． 【小问1详解】 解：是顶点式， ∴顶点坐标为. 故填. 【小问2详解】 解：当时， ， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故填． 【小问3详解】 解：∵， ∴,, 设直线解析式为，代入,, ，∴， ∴直线解析式为， 设， ∴直线的解析式为， 令， 得， 所以点横坐标， ， ∵， ∴当时，取最大值． 【小问4详解】 解：①当时， 抛物线顶点坐标为， 设直线解析式为， 代入。 得，， ∴直线解析式为， 令， ， ， ，（舍）， 把代入， 得， ∴点坐标为． 故填． ②∵直线解析式为， 令， 得， ， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数、一元二次方程、两点间距离公式和完全平方公式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $