精品解析：福建三明市第八中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

三明市第八中学2026-2027学年第一学期校本作业（八年级数学） （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【详解】解：A、是分数，它不是无理数，则A不符合题意； B、是整数，它不是无理数，则B不符合题意； C、是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意； D、是无限循环小数，它不是无理数，则D不符合题意； 故选：C． 2. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是本题的考点，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键．利用勾股定理逆定理可以判断两项，利用三角形的内角和可以判断两项． 【详解】解：、， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、设， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，， ， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，故计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意， 故选：A． 4. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，最简二次根式的判定，理解最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行判定即可求解． 【详解】解：，不是最简二次根式，不符合题意； B，是最简二次根式，符合题意； C，，不是最简二次根式，不符合题意； D，，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 在如图所示的数轴上，表示无理数的点在两个点之间，则数不可能是( ) A. 10 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的取值范围确定m的取值范围即可． 【详解】解：∵表示无理数的点在A、B两个点之间， ∴2＜＜3， ∴4＜m＜9， ∴10不在以上范围内， 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴及无理数的知识，解题的关键是根据无理数的取值范围确定有理数m的取值范围，难度不大． 6. 三个正方形的面积如图，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据正方形的面积可知，，根据勾股定理可知，所以正方形的面积为． 【详解】解：如下图所示， 以为边的正方形的面积是， ， 以为边的正方形的面积是， ， ， 正方形的面积为． 故选：A． 7. 为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 9. 直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，即可求解的值． 【详解】解：根据题意得，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故． 10. 如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm,和50cm，则这个教具______________（填“合格”或“不合格”）. 【答案】合格 【解析】 【详解】因，根据勾股定理的逆定理可得这个三角形为直角三角形， 故答案为合格. 13. 比较大小：5________（填入“＞”或“＜”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简估值，实数比较大小．根据题意先将，再和实数比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 【答案】114 【解析】 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15. 当___________时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）． 【答案】 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于，列式求解得到的取值范围，任取范围内一个实数即可. 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， 因此可取任意不大于的实数，例如. 16. 规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 原式， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）利用平方差公式计算即可； （）利用完全平方公式计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 【答案】（1）是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 19. 完成以下问题 （1）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． （2）这只蚂蚁需要爬行的最短路程是          ． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【小问1详解】 解：沿点所在的竖直线切块后得到一个长方形，与点相对、离上底面的点在长方形中间竖直线上，各个选项中只有A选项符合条件； 【小问2详解】 解：如图： 由题意可得，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴这只蚂蚁需要爬行的最短路程是． 20. 下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 （1）任务一：以上步骤中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； （2）任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】（1）一；乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答； （）先运算除法，再运算乘法，最后算减法即可． 【小问1详解】 解：任务一：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算， 故答案为：一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； 【小问2详解】 解：正确的计算过程： 原式 ． 21. 某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得， 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； ∴． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为．已知点，请按要求设计，使，． （1）在图中，的长为无理数，，的长均为有理数； （2）在图中，的长为有理数，，的长均为无理数； （3）在图中，三边的长均为无理数． 【答案】（1）在图中，满足条件的如图： （2）在图中，满足条件的如图： （3）在图中，满足条件的如图： 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）已知点，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗请说明理由． （2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1）点，是线段的勾股分割点， 理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴以，，为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，是线段的勾股分割点． （2）的长为或 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴当是斜边时，，，解得； 当是斜边时，，，解得； 综上所述，的长为或． 24. 定义：若某三角形的三边长，，满足，则称该三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； （2）若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【答案】（1）等边三角形不是“类勾股三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）先设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）根据已知和“类勾股三角形”的定义可得，从而可得，进而可得是直角三角形，，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：等腰三角形是“类勾股三角形”，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市第八中学2026-2027学年第一学期校本作业（八年级数学） （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的数轴上，表示无理数的点在两个点之间，则数不可能是( ) A. 10 B. 7 C. 6 D. 5 6. 三个正方形的面积如图，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 的立方根是___________． 12. 李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm,和50cm，则这个教具______________（填“合格”或“不合格”）. 13. 比较大小：5________（填入“＞”或“＜”号）． 14. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 15. 当___________时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）． 16. 规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为_____ 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 19. 完成以下问题 （1）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． （2）这只蚂蚁需要爬行的最短路程是          ． 20. 下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 （1）任务一：以上步骤中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； （2）任务二：请写出正确的计算过程． 21. 某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程 请根据上述方案中的内容，计算的长． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为．已知点，请按要求设计，使，． （1）在图中，的长为无理数，，的长均为有理数； （2）在图中，的长为有理数，，的长均为无理数； （3）在图中，三边的长均为无理数． 23. 定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）已知点，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗请说明理由． （2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 24. 定义：若某三角形的三边长，，满足，则称该三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； （2）若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $