精品解析：福建省三明市宁化县2025-2026学年八年级上学期三次阶段测试数学试题

2025~2026学年上学期第三阶段质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程组，下列消元过程不正确的是（ ） A. 代入法消去a，由②得代入① B. 代入法消去b，由①得代入② C. 加减法消去a， D. 加减法消去b， 3. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东，3km B. 北偏东，3km C. 东偏北 D. 东偏北，3km 4. 下表是小车沿斜面下滑过程中，不同时刻t（单位：s）与速度v（单位：）的部分实验数据，则v与t之间的表达式为（ ） 0 5 10 15 20 5 7.5 10 12.5 15 A. B. C. D. 5. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 7. 如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 9. 把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　） A. y＝﹣2x+4 B. y＝﹣2x+8 C. y＝﹣2x﹣4 D. y＝﹣2x﹣8 10. 如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个3到4之间的无理数____． 12. 点P(2，-5)关于y轴对称的点的坐标为________ . 13. 某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况：如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家________（填“A”或“B”） 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 14. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 15. 小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离和所用时间之间的关系如图所示，小明出发后距A地______． 16. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 19. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）求的面积； （3）求中边上的高． 20. 如图，已知方格中每个小正方形的边长都为1． （1）求图1中正方形的边长及面积（不需书写推理过程，只需写出计算算式及计算结果）； （2）如图2，将一段数轴与这个方格最下面的格线重合，数轴的单位长度与小正方形的边长相同．请在方格中画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上画出表示实数的点． 21. 今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 22. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 a b 80 30 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有________人，________； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：cm）如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是________cm； （3）请在下图中画出（2）中这组数据的箱线图； （4）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 23. 建系法是一种将几何问题转化为代数运算的解题方法，通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的点用坐标表示，从而利用代数方法解决几何问题． 如图，在中，，，，，，和相交于点P，求的面积．请你用建系法，通过建立适当的平面直角坐标系并解决相应问题． （1）若以BC所在直线为x轴，过A点且与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，请你在原图中画出坐标系； （2）根据你画的坐标系，直接写出A，B，C，D各点的坐标； （3）利用一次函数有关知识，求出点P的坐标； （4）求出的面积． 24. 在中，，取边的中点和平面内一点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）如图，当点在边上时，与全等吗？请说明理由； （2）如图，当点不在直线上时，设，，，请比较，，三者之间的大小关系； （3）若，且，设，，求的度数（用含，的代数式表示）． 25. 在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式移动；从点移动到点称为一次乙方式移动． （1）若原点经过两次甲方式移动，得到点；原点经过两次乙方式移动，得到点．设过点，的直线为，求直线的解析式； （2）若原点连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点都落在一条确定的直线上；设这条直线为，请求出直线的解析式； （3）将（2）中的直线向下平移30个单位，得到直线．分别在上述直线，，上取点，，，设点，，的横坐标分别为，，，且，试探究：当，，三点共线时，，，之间有何数量关系？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期第三阶段质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根以及立方根；根据实数的性质以及实数的加减，算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知方程组，下列消元过程不正确的是（ ） A. 代入法消去a，由②得代入① B. 代入法消去b，由①得代入② C. 加减法消去a， D. 加减法消去b， 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入法和加减法步骤判断即可． 【详解】解：A、代入法消去a，由②得代入①，正确，不符合题意； B、代入法消去b，由①得代入②，正确，不符合题意； C、加减法消去a，，故不正确，符合题意； D、加证法消去b，，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用代入法和加减消元法解二元一次方程组的解法，正确掌握解法是解题的关键． 3. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东，3km B. 北偏东，3km C. 东偏北 D. 东偏北，3km 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【详解】图书馆在小青家北偏东方向的3km处，或者图书馆在小青家东偏北方向的3km处， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是方向角的定义，熟练掌握概念是本题的关键． 4. 下表是小车沿斜面下滑过程中，不同时刻t（单位：s）与速度v（单位：）的部分实验数据，则v与t之间的表达式为（ ） 0 5 10 15 20 5 7.5 10 12.5 15 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列函数表达式，根据表格数据，速度随时间均匀变化，加速度恒定，利用匀加速运动速度公式求解． 【详解】解：由表格数据，时，时， ∵，， ∴加速度， 又∵初速度， ∴， 故选：D ． 5. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 6. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查上四分位数的概念，是数据排序后上半部分的中位数． 首先将数据排序，找到中位数，然后取上半部分数据计算中位数即可． 【详解】∵ 数据排序后为：96, 98, 100, 102, 104, 106, 112, 113， ∴ 上半部分数据为：104, 106, 112, 113， ∴ 上四分位数为， 故上四分位数为109． 故选：D． 7. 如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4 m，最后利用勾股定理得BC的长度即可． 【详解】解：如图，作BD⊥OC于点D， 由题意得：AO=BD=3m，AB=OD=5-3=2m， ∵OC=6m， ∴DC=6-2=4m， ∴由勾股定理得：BC==5m， ∴旗杆的高度为5+5=10m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答本题的关键． 8. 为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式分别求得正方形和正方形的边长，进而得出长方形的长和宽，最终可求得总面积． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为， ∴， 故选：B． 9. 把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　） A. y＝﹣2x+4 B. y＝﹣2x+8 C. y＝﹣2x﹣4 D. y＝﹣2x﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可． 【详解】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的， ∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变） ∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）① 把点（m，n）代入①并整理，得 y＝﹣2x+（2m+n）② ∵2m+n＝8③ 把③代入②，解得y＝﹣2x+8， 即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8． 故选B． 【点睛】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，斜率不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方程（点斜式、斜截式、两点式等）来解答． 10. 如图，一次函数与的图像交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图像的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可． 【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误，②正确， 观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确， 由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确， 故选: D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 写出一个3到4之间的无理数____． 【答案】π（答案不唯一）． 【解析】 【详解】考点：估算无理数的大小． 分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π． 答案不唯一． 12. 点P(2，-5)关于y轴对称的点的坐标为________ . 【答案】(-2,-5) 【解析】 【分析】 【详解】解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是：（-2，﹣5）． 故答案为（-2，﹣5）． 13. 某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况：如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家________（填“A”或“B”） 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的权重比例计算商家A和B的综合得分，并比较大小． 【详解】解：商家A的加权总分：， 商家B的加权总分：， ∵， ∴顾客会选择商家B． 故答案为：B． 14. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 15. 小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离和所用时间之间的关系如图所示，小明出发后距A地______． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用．解题的关键在于正确求解一次函数解析式．根据函数图象中的数据可以求得当时，y与x的函数关系式，然后将代入求得函数解析式，计算求解即可． 【详解】解：设当时，y与x的函数关系式为， 则， 解得： ∴当时，y与x的函数关系式为， ∴当时，， ∴小明出发后距A地160千米， 故答案为：160． 16. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是_______． 【答案】114 【解析】 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用分配律展开乘法，并化简根号表达式即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 18. 已知关于的函数． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）3 （2）函数图象与x轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：是的正比例函数， ， 解得． 故的值为：3． 【小问2详解】 解：当时，该函数的表达式为， 令，得， 解得， 当时，该函数图象与轴的交点坐标为． 19. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）求的面积； （3）求中边上的高． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形面积计算及勾股定理等知识点． （1）根据题中的点坐标在网格图中将点描出，再连接，即可； （2）先求出的长，作为的底边，再求出点C的横坐标，作为的高，进而利用三角形的面积公式即可求得； （3）先通过网格图利用勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式即可求得结果． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由（1）图象可知，，， ∴． 【小问3详解】 解：， 由（2）知，， ∴中边上的高为． 20. 如图，已知方格中每个小正方形的边长都为1． （1）求图1中正方形的边长及面积（不需书写推理过程，只需写出计算算式及计算结果）； （2）如图2，将一段数轴与这个方格最下面的格线重合，数轴的单位长度与小正方形的边长相同．请在方格中画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上画出表示实数的点． 【答案】（1）边长，面积 （2） 画图如下： 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，正方形的面积公式计算即可； （2）根据勾股定理，计算正方形的边长为，画图即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，基本作图，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ． 正方形的面积． 【小问2详解】 略 21. 今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 22. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 a b 80 30 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有________人，________； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：cm）如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是________cm； （3）请在下图中画出（2）中这组数据的箱线图； （4）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200， （2）182 （3） 如图所示，这组数据的箱线图即为所求：     （4）400人 【解析】 【分析】本题考查了统计表，扇形统计图，求中位数，制作箱线图及用样本估计总体． （1）根据表格和扇形统计图信息，利用参加农艺的已知人数和占比求得抽取学生的总人数，再用足球的人数除以总人数乘上即可得出m的值； （2）先将该数据从小到大排序，此时该数据个数为偶数，取第4和第5个数的平均值即为该组数据的中位数； （3）先求出该组数据的中位数，最小值，最大值，下四分位数和上四分位数，据此将求得的结果画在图中即可； （4）先求出在抽取学生中，参加舞蹈的人数占比，再用全校总人数乘以该占比即为全校参加舞蹈的人数． 【小问1详解】 解：∵在五个社团活动中，农艺的人数为30人，占比为， ∴抽取的学生总人数为（人）， ∵足球的人数为80人， ∴， 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：将这组数据从小到大排序为： 168，172，174，180，184，184，188，190， ∵这组数据共有8人， ∴身高的中位数为， 故答案为：182． 【小问3详解】 解：由（2）数据可知，中位数为，最大值为，最小值为，下四分位数为，上四分位数为， 【小问4详解】 解：在抽取学生中，参加舞蹈的人数占比为：， ∴全校参加舞蹈社团活动的学生人数为：（人）． 23. 建系法是一种将几何问题转化为代数运算的解题方法，通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的点用坐标表示，从而利用代数方法解决几何问题． 如图，在中，，，，，，和相交于点P，求的面积．请你用建系法，通过建立适当的平面直角坐标系并解决相应问题． （1）若以BC所在直线为x轴，过A点且与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，请你在原图中画出坐标系； （2）根据你画的坐标系，直接写出A，B，C，D各点的坐标； （3）利用一次函数有关知识，求出点P的坐标； （4）求出的面积． 【答案】（1） 如图，过点A作， （2），，， （3） （4）32 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系特征及一次函数与几何的综合应用． （1）过点A作，利用矩形的判定及勾股定理得出相关线段的长度，由此得出原点在的中点O处，以点O为原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，即可得出； （2）由（1）可得出相关点坐标； （3）利用待定系数法分别求得直线和直线的解析式，联立两个直线的解析式即可得出点P坐标； （4）的底为，高为点P的纵坐标，利用三角形面积公式即可求出． 【小问1详解】 ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴原点在的中点O处， 以点O为原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，如图所示为所求： 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为． 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 将点A，C代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设直线解析式为， 将点B，D代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线，得：，解得， ∴点P坐标为． 【小问4详解】 解：∵，， ∴． 24. 在中，，取边的中点和平面内一点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）如图，当点在边上时，与全等吗？请说明理由； （2）如图，当点不在直线上时，设，，，请比较，，三者之间的大小关系； （3）若，且，设，，求的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）与全等， 理由如下： ∵为中点， ∴， 在与中，， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据为中点得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，在中，利用三角形的三边关系即可得答案； （3）根据全等三角形的性质得出，，利用勾股定理的逆定理得出，分点在上方和点在下方两种情况，利用三角形外角性质即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 同（1）可证明：， ∴， ∵，，，， ∴， ∵在中，， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，当点在上方时，延长，交于， 同（1）可证明：， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当点在下方时，设交于， 同理可得：，，， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质及三角形外角性质，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 25. 在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式移动；从点移动到点称为一次乙方式移动． （1）若原点经过两次甲方式移动，得到点；原点经过两次乙方式移动，得到点．设过点，的直线为，求直线的解析式； （2）若原点连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点都落在一条确定的直线上；设这条直线为，请求出直线的解析式； （3）将（2）中的直线向下平移30个单位，得到直线．分别在上述直线，，上取点，，，设点，，的横坐标分别为，，，且，试探究：当，，三点共线时，，，之间有何数量关系？说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：将（2）中的直线向下平移30个单位，得到直线 直线的解析式为， 由题可知，，， ，，三点共线， ， 整理得． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄清定义是解题的关键． （1）根据定义分别求出、点的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设原点按甲方式移动次，则按乙方式移动次，通过平移后得到，可求得直线的解析式为； （3）由题可知，，，再由，，三点共线，可知直线解析式、直线解析式中的值相等，则有，从而可得． 【小问1详解】 原点经过一次甲方式移动得到，经过一次甲方式移动得到； 原点经过一次乙方式移动得到，经过一次甲方式移动得到； 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 设原点按甲方式移动次，则按乙方式移动次， 原点按甲方式移动次后得到点，点按乙方式移动次后得到点， 设，， ， 无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点都落在一条确定的直线上， 直线的解析式为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $