26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质　知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象和性质（第 3 课时） 知识地图 ① 本节定位　上一节研究的是 这类已经配好方 的形式。但实际问题列出来的二次函数，往往写成一般式 的样子。本节（教材 P42—P44）就研究一般式的图象和性质，把前面学到的结论从特殊推广到一般。 ② 核心方法　配方法：把一般式 化成顶点式 ，四步口诀是「一提 · 二配 · 三化 · 四写」。配好方，开口、对称轴、顶点就全都看得见了。 ③ 两个公式　对称轴：；顶点：。把 a、b、c 代进去就能直接算出，不必每次重新配方。 ④ 看图识轴　由 、 的符号就能判断对称轴在 y 轴的哪一侧：、 同号在左，异号在右。口诀「同左异右」。 ⑤ 五个性质　开口方向由 的正负定，开口大小由 定；顶点是图象的最高点或最低点，也是最值点；以对称轴为界，一边升一边降（ 时左减右增）。 ⑥ ★ 必记　常数项 就是图象与 y 轴交点的纵坐标——因为 时 ，所以抛物线一定过点 。比较函数值大小时，两个自变量分居对称轴两侧，要先把其中一个「搬」到另一侧再比。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 会用配方法把 （）化成 的形式；② 掌握对称轴公式 和顶点公式，会求任意二次函数的对称轴和顶点；③ 会由 、 的符号判断对称轴在 y 轴的哪一侧；④ 会用对称轴和对称性比较函数值的大小，会判断点是否在图象上；⑤ 会由顶点坐标或对称轴反求解析式中的字母。 重　　点：配方法四步；对称轴公式与顶点公式；由系数看对称轴；用对称轴、对称性比较函数值大小。 难　　点：★★ 配方时「加上 就一定要再减去它」「减去的项移出括号时要乘 」，这两处最容易出错；比较函数值时两个点分居对称轴两侧，必须先转化到同一侧再用增减性。 二、为什么要配方：一般式看不出顶点 1. 一般式「藏」起了顶点 前面两节研究的 、，对称轴和顶点都写在式子里，一眼就能看出来。可是实际问题列出来的二次函数，常常写成一般式 的样子。 例如 。从式子上看，它开口朝上还是朝下？顶点在哪里？对称轴是哪条直线？都看不出来。而开口方向、顶点高低、增减性、最值这些性质，恰恰都要靠对称轴和顶点才能说清楚。 所以要做的第一件事，就是把一般式「化归」成我们已经会看的形式——也就是把 变成 。这个变形的方法，叫做配方法。 2. 看一眼效果：同一条抛物线的两种写法 把 配方，得到 。这时候对称轴 、顶点 就是明写在式子里的了。同一个函数、同一条抛物线，两种写法（图 1）：一般式看不出顶点，顶点式一眼看出。 图 1　同一条抛物线的两种写法：一般式 看不见顶点，配方成顶点式 后，对称轴 、顶点 一目了然 从图 1 还能看出：抛物线的对称轴是直线 ，顶点 是图象的最低点；因为 开口向上，图象在 时下降、 时上升，所以当 时函数取得最小值 。 三、配方法四步：一提 · 二配 · 三化 · 四写 1. 四步口诀与每一步的式子 以一般式 （）为例，配方的四步如下表： 步骤 做什么 配方式子 ① 一提 把二次项和一次项的系数 提出来（常数项 先留在括号外） ② 二配 在括号内加上一次项系数一半的平方 ，再立刻减去它（只加不减，等式就不成立） ③ 三化 把减去的 移到括号外（★ 要乘 ），括号内写成完全平方 ④ 四写 合并常数项，写成顶点式 图 2　配方法四步：① 一提（提出 ）② 二配（加 再减 ）③ 三化（移出括号要乘 ）④ 四写（合并常数，写成顶点式） ★ 两个最容易错的地方： ① 括号内加上 后，必须再减去它。加了不减，等式两边就不相等了。 ② 减去的项移出括号时要乘 ——别漏乘 ！漏乘的结果是 变成了 ，整个式子就错了。 2. 把 y = 2x2 − 8x + 5 一步一步配出来 　　← 一提：提出 2 　　← 二配：加 4 再减 4 　　← 三化：−4 移出括号要乘 2 　　← 四写：合并 其中第二步的 是怎么来的？一次项系数是 ，它的一半是 ， 就是 。第三步中 是括号里多出来的部分，移到括号外要乘 ，得 ；最后 ，正好与图 1 右边的结果一致。 ★ 验算办法：把配方结果展开回去，看能不能还原成原式——，与原式相同，说明配方没错。 3. 教材探究（教材 P42）：y = x2 − 6x + 21 教材用 作探究。照四步走一遍： 　　← 一提：提出 　　← 二配：加 36 再减 36 　　← 三化：−36 移出括号要乘 得 　　← 四写：合并 配方后得 ，于是对称轴是 、顶点是 。教材接着按「先定对称轴、再对称取值」的办法列表：以 6 为中心，左右各取三个整数 x 3 4 5 6 7 8 9 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 看这张表： 与 对应的函数值相等（都是 3.5）， 与 相等（都是 5）， 与 相等（都是 7.5）。每一对横坐标的和都是 ，正好说明它们关于直线 对称。把 7 个点描出来、用平滑曲线连接，就得到图 3 中的抛物线。 图 3　教材探究： 配方得 ，围绕对称轴 左右对称取值、描点、连线 从图 3 读出它的全部性质：开口向上；对称轴是直线 ；顶点 是最低点，所以当 时函数取得最小值 3；在对称轴左侧 ，y 随 x 增大而减小；在对称轴右侧 ，y 随 x 增大而增大。 ★ 先配方、后列表，是教材推荐的顺序：先由顶点式定出对称轴 ，再围着它左右对称地取值，只需要算一半的点（另一半点由对称性直接得到），运算量减半；如果从 3、4、5、… 一个一个硬算，既慢又容易错。 四、对称轴公式与顶点公式 1. 从配方结果里提炼两个公式 把配方第三步、第四步的结果抄下来：。把它和顶点式 对照，立刻得到两个公式： 名称 公式 怎么用 对称轴 把 、 代入即可；对称轴是一条直线，写答案时要写成「直线 」 顶点 横坐标就是对称轴的值，纵坐标是把横坐标代入解析式算出来的 y 值 有了这两个公式，任何形如 （）的二次函数，把 、、 代进去，就能直接算出对称轴和顶点，不必每次重新配方。下面的图 4 用一个具体例子说明这两个公式在图上是什么意思。 图 4　两个公式的几何意义：对称轴 就是那条虚线；顶点 是抛物线与对称轴的交点； 的几何意义是与 y 轴交点 以 为例，这里 、、。 先求对称轴：，所以对称轴是直线 。 再求顶点：横坐标就是 1；把 代入解析式，得 ，所以顶点是 。用顶点纵坐标公式验算：，与代入法结果一致。 另外， 的几何意义也清楚了：当 时 ，所以抛物线一定过 y 轴上的点 。图 4 中 ，图象与 y 轴交于 。 ★ 求顶点的两种方法，都比一比：① 公式法——直接代 ，式子长、容易算错；② 代入法——先算对称轴 ，再把 的值代回解析式求 。考试时推荐用代入法，口算就能完成，而且不容易错。 2. 教材例（教材 P42）：求 y = −x2 + x − 的对称轴和顶点 例　求抛物线 的对称轴和顶点坐标。 解：这里 ，，。 对称轴：，所以对称轴是直线 。 顶点：把 代入解析式，得 ，所以顶点是 。 验算（配方）：，括号内加 1 再减 1：，把 移出括号要乘 ，得 ，即 。顶点 ，与代入法一致。 ★ 提醒：当 是负数（如 ）时，分母 也是负数，代入公式要连负号一起算。本题中 ，两个负号相消得正，别写成 。 五、由 a、b 的符号看对称轴在哪一侧 1. 只看 的正负 对称轴 在 y 轴的哪一侧，取决于这个式子的正负。分母 的符号由 决定，所以只要比较 与 的符号就能判断： 当 、 同号时：，于是 ，对称轴在 y 轴的左侧； 当 、 异号时：，于是 ，对称轴在 y 轴的右侧。 ★ 口诀：同左异右——、 同号，轴在左；异号，轴在右。 图 5　由 、 的符号看对称轴在哪一侧：左图 ，右图 ，两边的结论都是「同左异右」 看图 5 左边（）：抛物线 中 与 异号，对称轴 在 y 轴右侧；抛物线 中 与 同号，对称轴 在 y 轴左侧。图 5 右边（）结论完全一样： 中 与 异号，轴 在右侧； 中 与 同号，轴 在左侧。 ★ 别混：判断对称轴的位置，看的是 与 的符号，与 毫无关系。 只管图象与 y 轴交在正半轴还是负半轴： 交于正半轴， 交于负半轴。 2. 例（举一反三）　由对称轴的位置反推 b 的符号 例　已知抛物线 的对称轴在 y 轴的左侧，求 的取值范围。 解：这里 。对称轴在 y 轴左侧，说明 ，而 ，所以分母为正、整个分式为负，只能是分子 ，即 。 答：。反过来，如果对称轴在 y 轴右侧，则 ，由 得 。 六、用对称轴与对称性比较函数值的大小 1. 先看一道题：三个点分居对称轴两侧 已知二次函数 ，点 、、 都在它的图象上，比较 、、 的大小。 第一步还是先找对称轴：这里 ，，所以 ，对称轴是直线 ，顶点是 （因为 ，顶点是最高点）。 图 6　比较函数值大小： 的对称轴是 ，把 用对称性「搬」成 ，三点就都在同一侧了 2. 三步比较法 ① 看两侧：对称轴是 。点 在左侧，点 、 在右侧——三个点不在同一侧，不能直接比。 ② 先转化：把左边那个点用对称性「搬」到右边。 关于对称轴 的对称点是 ——横坐标之和是 。两个对称点到对称轴的距离相等，所以函数值相等。 ③ 同侧比：现在 、、 都在对称轴右侧，都在 这个区间上，可以放心用增减性。因为 开口向下，在对称轴右侧 y 随 x 增大而减小，也就是离对称轴越远函数值越小： 距轴 ， 距轴 ， 距轴 ，所以 。 3. 回代验算：结论对不对，一算就知道 把三个横坐标分别代回 ，算一算函数值： 点 横坐标 代入算得的函数值 与顶点的远近 大小 −1 距轴 4，最远 　最小 4 距轴 1，最近 　最大 5 距轴 2 　居中 三个函数值分别是 、、，所以 ，与用对称性推出的结论一致。 ★ 两条规律记牢：开口向上（）时，距对称轴越远函数值越大；开口向下（）时，距对称轴越远函数值越小。 ★ 三个提醒：① 用增减性时必须先说清「两个点在对称轴的哪一侧」，否则结论无效；② 两个点分居两侧，先转化到同侧再比；③ 拿不准就把横坐标代入解析式算一算，慢一点，但一定不会错。 4. 例（举一反三）　判断点是否在图象上 例　判断点 、、 是否在抛物线 上。 解：判断点在不在图象上，办法只有一个——把点的横坐标代入解析式算函数值，再和点的纵坐标比较：相等就在图象上，不相等就不在。 点 横坐标 代入算得的 y 与纵坐标比较 结论 1 11 ≠ 7，不相等 不在图象上 −2 −31 = −31，相等 在图象上 0 1 = 1，相等 在图象上 ★ 一眼看出的结论：点 一定在图象上，因为 时总有 ——这就是常数项 的几何意义（本题 ，图象与 y 轴交于 ）。判断这类题时，先看纵坐标是不是 ，能省一步。 七、图象的平移：一般式先化顶点式，再看平移 左右平移、上下平移的规律上一节已经学过。当已知的二次函数写成一般式时，要先把它配方成顶点式，才能直接看出平移的方向和距离。教材 P43 的例题正好说明这一点。 1. 教材例（教材 P43）：由平移结果求原来的解析式 例　把抛物线 向右平移 4 个单位、再向下平移 6 个单位，得到抛物线 。求原来抛物线的解析式。 解：题给的是「平移后的结果」，要求「原来的式子」，所以反过来平移——把 先向上平移 6 个单位，再向左平移 4 个单位，就回到原来的抛物线。 第一步（向上平移 6 个单位的还原）：； 第二步（向左平移 4 个单位的还原）：。 所以原来抛物线的解析式是 ，也就是 。 图 7　教材例： 向右平移 4、向下平移 6，顶点由 移到 ，恰好得到 验算（展开成一般式）：。顶点也从 平移到了 ，与「向右 4、向下 6」正好吻合。 ★ 两个要点： ① 平移前一定先配方成顶点式。写成 后，顶点 一目了然，平移就是顶点的平移——图 7 中顶点由 移到 。对一般式直接「左加右减、上加下减」，很容易搞错。 ② 题目说「平移后得到」，求原来的式子时要反向平移：原来向右 4，反过去就向左 4；原来向下 6，反过去就向上 6。 八、由系数符号与顶点反求字母（举一反三） 1. 已知顶点，反求 b、c 例　已知抛物线 的顶点是 ，求 、 的值。 解：顶点在对称轴上，所以对称轴就是直线 。由 ，这里 ，得 ，所以 。 再把顶点 代入解析式： 　　， 要它等于 ，得 ，所以 。 答：，，即 。 验算：，顶点确实是 。 2. 已知对称轴和图象上的一个点，反求 a、c 例　已知抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 ，求 、 的值。 解：由对称轴公式 ，这里 ，得 ，所以 ，。 又因为图象经过点 ，而 时 ，所以 。 答：，。（顺带可知它的对称轴是直线 ，与 y 轴交于 。） 3. 看图判断 a、b、c 的符号 例　抛物线 的图象开口向下，与 y 轴交于正半轴，对称轴在 y 轴右侧。判断 、、 的符号。 看什么 怎么看出来 结论 开口向下 （开口方向由 a 定） 与 y 轴交于正半轴，即交点为 在 y 轴正半轴 （c 就是交点的纵坐标） 对称轴在 y 轴右侧，即 ，而 ，故 （a、b 异号，轴在右） ★ 三步走：① 看开口定 的符号；② 看与 y 轴交点的位置定 的符号；③ 看对称轴在哪一侧，结合 的符号定 的符号。这是中考里最常见的一类「读图题」。 九、易错清单与错解辨析 1. 八个高频失分点 ① 配方只加不减：括号内加了 却忘了减去它，等式立刻不成立。加了就必须减。 ② 移项漏乘 ：把 移出括号时要乘 ，得到 ；漏乘的结果只有 ，错了。 ③ 顶点纵坐标记错：是 ，分子是 ，不是 ，也不是 。 ④ 丢负号：代入 时要把 、 的负号一起带进去算，比如 时 。 ⑤ 分母写成 ：对称轴的分母是 ，不是 。把 当成对称轴，是常见错误。 ⑥ 判对称轴位置时只看 的符号：判据是 的正负，也就是 与 同号还是异号，不能只看 。 ⑦ 说增减性不写范围：必须写成「在对称轴左侧（），y 随 x 增大而减小」，笼统地说「y 随 x 增大而减小」是错的。 ⑧ 比较函数值直接比 的大小：两个点分居对称轴两侧时不能这样比，要么先转化到同侧，要么把横坐标代回解析式算一算。 2. 三个典型错解，逐个辨析 错解一：把 配方成 。 剖析：括号内加了 4 又减了 4，把减掉的 −4 移出括号时要乘 2，得 −8；最后合并常数是 ，正是 。再把 −8 加回去，等于「减了又不减」，式子就不等于原式了。检验办法：展开回去看能不能还原。 错解二：求 的顶点，写成 。 剖析：对称轴 算对了；错在顶点纵坐标——它要把 代回解析式算出来：，所以顶点是 。写成 −2，是把「一次项算出的 −2」当成了纵坐标。（配方验证：。） 错解三：比较 上当 与 的函数值，理由是「，所以 时的函数值大」。 剖析：这是把「 的大小」直接当成「函数值的大小」。本题对称轴是 ， 与 分居两侧，不能直接用增减性。正确做法有两种：① 回代计算， 时 ， 时 ，所以 时函数值大；② 用对称性把 换成 ，再与 同侧比较——开口向上、距轴越远值越大， 距轴 2、 距轴 3，结论相同。 十、方法总结 1. 本节知识结构 图 8　26.2.3 知识结构：一般式 —（配方）→ 顶点式 —（读）→ 性质 2. 一句话方法 见到一般式 ，先配方（或直接套对称轴、顶点两个公式），把它归成顶点式 。一旦写成顶点式，开口、对称轴、顶点、增减性、最值就全都在眼前——「看图说性质」比「盯式子想性质」快得多，也准得多。 3. 三条常用结论串一遍 ① 由 、 定轴的位置：、 同号 → 轴在 y 轴左侧；异号 → 轴在 y 轴右侧（同左异右）。 ② 由 定与 y 轴的交点：抛物线一定过 ，所以 交于正半轴， 交于负半轴， 过原点。 ③ 比函数值看距离：开口向上时距对称轴越远函数值越大，开口向下时越远越小——但前提是两个点必须在对称轴同一侧。 十一、课后巩固 1. 教材练习（教材 P43~P44） 1.　用配方法把下列二次函数化成 的形式，并写出它们的开口方向、对称轴和顶点： （1）　　（2） 解（1）：；括号内加 4 再减 4，得 ；把 移出括号要乘 ，得 。 所以 开口向下，对称轴是直线 ，顶点是 。 解（2）：；括号内加 9 再减 9，得 ；把 移出括号要乘 4，得 。 所以 开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 。 ★ 验算：，与原式一致。 2. 自编题（举一反三） 2.　求抛物线 的对称轴和顶点坐标，并求它的最大值。 解：这里 ，，对称轴 。把 代入解析式：，所以顶点是 。 因为 开口向下，顶点是最高点，所以当 时函数取得最大值 8。 3.　已知抛物线 的对称轴是直线 ，求 的值。 解：由对称轴公式得 ，所以 。 验算：，对称轴正是直线 。 4.　已知点 、、 都在抛物线 上，比较 、、 的大小。 解：对称轴 ， 开口向上。 就在对称轴上，距轴 0； 距轴 ； 距轴 。开口向上、距轴越远函数值越大，所以 。 验算： 时 ； 时 ； 时 。与结论一致。 5.　已知抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 ，求 、 的值。 解：由对称轴 ，得 ，所以 。 把点 代入 ：，即 ，所以 。 答：，。 6.　判断点 、、 是否在抛物线 上。 点 代入算得的 y 与纵坐标比较 结论 ，相等 在图象上 ，不相等 不在图象上 ，相等 在图象上 十二、技能自查 能否独立做到 自检 ① 完整说出配方法四步，独立把 化成顶点式 □ 能　□ 还不太熟 ② 默写对称轴公式与顶点公式，并说明它们是从配方结果里看出来的 □ 能　□ 还不太熟 ③ 用公式法或代入法求任意二次函数的对称轴和顶点 □ 能　□ 还不太熟 ④ 由 、 的符号判断对称轴在 y 轴的哪一侧 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 说出 的几何意义，并写出图象与 y 轴的交点 □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 用对称轴和对称性比较函数值大小，判断点是否在图象上 □ 能　□ 还不太熟 ⑦ 由顶点坐标或对称轴反求解析式中的字母，并会判断 、、 的符号 □ 能　□ 还不太熟 十三、知识追问（想清楚再合上本子） ① 配方时为什么要在括号里「加上 再减去 」？只加不减会怎么样？ ② 对称轴公式 和顶点纵坐标公式 ，分别是配方结果里哪两个位置上的式子？ ③ 求顶点时，公式法和「先求对称轴、再代回求 y」的代入法，哪一种更不容易错？为什么？ ④ 为什么 、 同号时对称轴在 y 轴左侧？请你从 的正负一步一步说清楚。 ⑤ 在 上， 与 的函数值都是 。这说明了抛物线的什么特点？它们到对称轴的距离相等吗？ ⑥ 比较两个函数值的大小时，如果两个 分居对称轴两侧，为什么必须先转化到同一侧？如果直接比 的大小，会出什么错？ ⑦ 已知平移后得到 ，为什么求原来的式子要「反向平移」？向右 4、向下 6 的反向是向左 4、向上 6，这两步的先后能交换吗？ 十四、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 26.1 二次函数的概念 认识二次函数：一般式、判定、列关系式 先有「式」，才谈得上研究「图」 26.2.1 二次函数 的图象和性质 描点法画图、抛物线、开口、对称轴、顶点、增减性、最值 本节结论在 时的特殊情形 26.2.2 二次函数 的图象和性质 研究图象左右、上下移动后的函数与性质 本节的配方目标就是化成这种形式；平移规律在它那里学过 26.2.3 二次函数 的图象和性质（本节） 配方法、对称轴与顶点公式、由 、 定轴的位置 把前两节从特殊推广到一般 26.3 二次函数与一元二次方程 二次函数的图象与一元二次方程的联系 要用到本节「对称轴、顶点、与 y 轴交点」的认识 26.4 实际问题与二次函数 用二次函数解决最优化等实际问题 最值问题求的就是本节的顶点纵坐标 2. 中考对接 本节是二次函数所有配方类、读图类题目的「总开关」，中考里以 ★ ~ ★★ 的基础题为主，常见四类：① 用配方法或公式法求对称轴、顶点；② 由 、、 的符号判断图象特征（开口方向、对称轴在哪一侧、与 y 轴的交点）；③ 比较函数值的大小、判断点是否在图象上；④ 由顶点或对称轴反求字母，以及平移与解析式之间的相互转化。这些题的共同套路是：先配方或先算对称轴，把「式」变成「形」，再回到条件里去找答案。 3. 三个必背 ① 配方四步：一提（提出 ）、二配（加 再减 ）、三化（移出括号要乘 ）、四写（合并常数，写成顶点式）。 ② 两个公式：对称轴 ；顶点 。 ③ 两条判断：、 同号轴在左、异号轴在右（同左异右）； 就是图象与 y 轴交点的纵坐标，交点为 。 4. 一句话总结 二次函数 的图象与性质，全都藏在「配方」这一步里：把 配成 （或直接套对称轴、顶点公式）， 定开口，对称轴定增减，顶点定最值——式子是死的，图象是活的，配方就是那把把「式」变「形」的钥匙。 学科网（北京）股份有限公司 $