陕西西安市西光中学等校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

参考答案与试题解析 一、选择题：1..D.　　２.B　　３.A　　４.D 　　　　　　５.A　　６.C　　７.D　　８.B 二、填空题：９.平行 10. 1.1～1.2 11. 6 12.（—4，7） 　　　　　　13. —1或2 14. 试题解析（解答部分） 一．选择７－8题 7．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（　　） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 【解答】解：设个位数字为x， ∵十位恰小个位三， ∴十位数字为（x﹣3）， 由十位恰小个位三，个位平方与寿同得：10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x2＝52＝25＜30，不符合题意，舍去； 当x＝6时，x2＝62＝36＞30，符合题意． 故选：D． 8．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出和，根据同高三角形面积比的关系得出△PAD、△APF、△PEC面积都与△PEG的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可． 【解答】解：过E作EH∥AD，交DC于H，交AC于G，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EH∥BC， ∴， ∵DC∥AB， ∴， ∴， ∴EGEH， ∵， ∴，， ∴AFADEH，S△APDS△APF， ∵AD∥EH， ∴AF∥EG， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴S△EPCS△EPG， ∴； 故选：B． 二．填空12－14题 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 　（﹣4，7）　 ． 【解答】解：如图：连接BD、AC，交于点E，则：BD与AC垂直平分， ∵点B（8，12），D（8，2）， ∴BD∥y轴，，即E（8，7）， AC⊥y轴，BE＝DEBD（12﹣2）10＝5， ∵AB＝13， ∴， ∴A（8﹣12，7），即点A的坐标为（﹣4，7）． 故答案为：（﹣4，7）． 13．若，则k的值为　2或﹣1　 ． 【解答】解：由可知， x+y＝kz，y+z＝kx，z+x＝ky， 这几式相加可得：2（x+y+z）＝k（x+y+z）， 当x+y+z≠0时，解得k＝2； 当x+y+z＝0时，x+y＝﹣z， ∴； 综上所述，k的值为2或﹣1， 故答案为：2或﹣1． 14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，过P作PM⊥BC于点M，将正方形ABCD沿BC翻折，得到正方形BCHG，连接GM，过点Q作QN∥MG交GH于点N， ∴∠PMB＝∠PMQ＝90°， ∵四边形ABCD，四边形BCHG是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠GBC＝∠H＝90°，BC∥GH，AB＝CD＝BC＝CH＝BG＝2， ∴四边形MGNQ是平行四边形，∠A＝∠ABC＝∠PMB＝90°， ∴MG＝QN，MQ＝GN，四边形ABMP是矩形， ∴AB＝PM＝BC，AP＝BM， 在△ABP和△BGM中， ， ∴△ABP≌△BGM（SAS）， ∴BP＝MG＝QN， ∵PQ⊥BE， ∴∠BFQ＝90°， ∴∠MPQ+∠PQM＝90°＝∠EBC+∠PQM， ∴∠MPQ＝∠CBE， 在△MPQ和△CBE中， ， ∴△MPQ≌△CBE（ASA）， ∴MQ＝CE＝GN， ∵E是CD的中点， ∴， ∴MQ＝CE＝GN＝1， ∴NH＝GH﹣GN＝2﹣1＝1， ∵BP+QE＝NQ+QE， ∴要使BP+QE有最小值，则NQ+QE有最小值，则当N、Q、E三点共线时，为线段NE的长， ∵EH＝EC+CH＝1+2＝3， ∴， ∴BP+QE的最小值为． 三．解答题 15．（1）已知，且3x﹣y＝27，求x、y的值． （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 【解答】解：（1）原方程整理得3x＝2y， ∴3x﹣y＝2y﹣y＝27， 解得：y＝27， ∴3x＝2×27， ∴x＝18； （2）原方程分解因式得（x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． 16．如图，已知△ABC．请用无刻度的直尺和圆规分别在边AB，BC，AC上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图所示：四边形ADEF是所求作的菱形． 17．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售　（30+10x）　 件，每件盈利　（25﹣x）　 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？ 【解答】解：（1）若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，如果每件降价2元，则销量增加20个，则： 根据题意：设每件商品降价x元时，每天可销售（30+10x）件，每件盈利50﹣x﹣25＝（25﹣x）元， 故答案为：（30+10x）；（25﹣x）； （2）根据题意得：（30+10x）（25﹣x）＝750， 解得x1＝0，x2＝22， ∵要更有利于减少库存， ∴x＝22， 答：每件商品应降价 22元． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P（P为位似中心）成位似图形． （1）则点P的坐标为　（0，2）　 ； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求，P（0，2）； 故答案为：（0，2）； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 19．如图，在校园一面围墙AB前有一盏路灯CD．小明在阳光下借助竹竿MN测量路灯的高度，线段PN表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯CD在阳光下的影子； （2）测得MN＝1m，PN＝1.5m，围墙与路灯之间的距离BD＝3m，路灯的影子落在围墙上的高度为0.5m，求路灯CD的高度． 【解答】解：（1）如图，线段DB，BK是此刻路灯CD在阳光下的影子． （2）如图，设直线CK交BD于点J． ∵， ∴， ∴BJ＝0.75（m）， ∵BK∥CD， ∴△JBK∽△JDC， ∴， ∴， ∴CD＝2.5（m）． 20．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是a，b，若a2+b2+3ab＝1，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可得Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得k＞﹣1； （2）∵方程的两个不相等实数根是a，b， ∴a+b＝﹣2，ab＝﹣k， ∵a2+b2+3ab＝1， ∴（a+b）2+ab＝1， ∴（﹣2）2+（﹣k）＝1， 解得：k＝3． 21．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC于点F，点G在DE的延长线上，且DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝6，DG＝10，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是三角形ABC的中位线， ∴DE∥BC，， 又∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴四边形DFCG是矩形； （2）解：∵∠DFB＝90°，∠B＝45°， ∴∠BDF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BDF＝∠B， ∴BF＝DF＝6， ∵四边形DFCG是矩形， ∴CF＝DG＝10，CG＝DF＝6，∠G＝90°， ∴BC＝BF+CF＝6+10＝16， ∴， ∴EG＝DG﹣DE＝10﹣8＝2， ∴， ∴． 22．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边AB上要造一个1米宽的门，在边BC上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为y米， ∴边AB需要铁栏（x﹣1）米，边CD需要铁栏x米，边BC需要铁栏（y﹣2）米， ∴（x﹣1）+x+（y﹣2）＝23， ∴y＝26﹣2x， 由题意可得：xy＝84，即x（26﹣2x）＝84， 解得：x1＝6，x2＝7， 当x＝6时，y＝26﹣2×6＝14＞13，不符合题意，舍去； 当x＝7时，y＝26﹣2×7＝12＜13，符合题意； 即垂直于墙的一边长为7米，平行于墙的一边长为12米． 23．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A． （1）求证：FD2＝FB•FC； （2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠A，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠A， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∴∠DCB＝∠A＝∠2． 又∵∠DFB＝∠CFD， ∴△FBD∽△FDC， ∴， ∴FD2＝FB•FC； （2）解：∵FB＝4，BC＝5， ∴FC＝9． 由（1）可知FD2＝FB•FC， ∴FD2＝36， ∴FD＝6． 24．阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣8y+12＝0， 解得y1＝2，y2＝6， 当x2+x＝2时，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1； 当x2+x＝6时，即x2+x﹣6＝0， 解得x3＝2，x4＝﹣3； ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1，x3＝2，x4＝﹣3； （2）设x＝a2+b2（x≥0），则x2﹣3x﹣10＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， ∴a2+b2＝5． 25．【定义】点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”． 例：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠BAC，则△BCP∽△CAB，故点P为△ABC的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CP平分∠ACB．求证：点P为△ABC的“相似点”； （2）如图3，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE．若，求的值； （3）如图4，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，AC＝5EF，连接DE交AC于点G，连接DF，GF．若点G是△DEF的“相似点”，且点D与点F对应．若∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，探究DE与EF的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：如图2，∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵PC平分∠ACB， ∴． ∴∠BCP＝∠A． 又∵∠B＝∠B， ∴△BCP∽△BAC． ∴点P为△ABC的“相似点”； （2）解：由题意得：△BEC∽△ACB， ∴∠EBC＝∠CAB． ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠EBC＝∠CAB． ∴FA＝FB． ∵∠BCF＝∠ACB，∠CBF＝∠A， ∴△CBF∽△CAB． ∴； （3）解：，证明如下： ∵点G是△DEF的“相似点”，点D与点F对应，且∠GEF＝∠FED， ∴△GEF∽△FED． ∴∠EFG＝∠EDF． ∵∠EDF＝∠BAC＝∠FGC， ∴∠EFG＝∠FGC． ∴AC∥EF． 延长EF、DC交于点H，如图所示： 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴四边形AEHC是平行四边形． ∴AC＝EH，AE＝CH，∠EAC＝∠H． ∵∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠H． ∵∠DEF＝∠HED， ∴△DEF∽△HED． ∴ED：EH＝EF：ED． 即：ED2＝EH•EF， ∵EH＝AC＝5EF， ∴ED2＝5EF2， ∴或（舍去）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/23 17:09:47；用户：杨露露；邮箱：15771961561；学号：51131528 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学2026-2027学年第一学期10月质量检测 初三数学试卷 一．选择题（共8小题。每题3分，共24分） 1．下列选项中是一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B． C．2x2﹣y2＝1 D．x2+6x＝0 2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝88°，BA＝BE，∠BAE的度数为（　　） A．40° B．68° C．75° D．30° 3．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　） A． B． C． D． 4．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 5．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．①处可填AD＝CB B．②处可填AD⊥AB C．③处可填∠A＝90° D．④处可填AD＝AB 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝8，则AB＝（　　） A．2 B．3 C．4 D． 7．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（　　） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 8．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 第6题图 第8题图 二．填空题（共6小题，每空5分，共30分） 9．如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于_______ 投影（填“中心”或“平行”）． 10．在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是____________ ． 11．如图是杠杆示意图，支点为O，动力F1的作用线与动力臂L1垂直，阻力F2的作用线与阻力臂L2垂直．由动力臂L1、动力F1的作用线与杠杆组成△OAB，由阻力臂L2、阻力F2的作用线的反向延长线与杠杆组成△OCD，若，且杠杆平衡时动力F1＝2N，根据杠杆平衡条件F1•L1＝F2•L2，则阻力F2＝_____ N． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 ___________ ． 13．若，则k的值为_________ ． 14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为________________ ． 第11题图 第12题图 第14题图 三．解答题（共12小题，共66分） 15．（5分）已知长度分别为的四条线段成比例，且3x﹣y＝27，求x和y的值． 16．解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 17．（5分）如图，已知△ABC．请用无刻度的直尺和圆规分别在边AB，BC，AC上取点D，E，F，使得四边形ADEF是菱形． （保留作图痕迹，不写作法） 18．（6分）某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个. 设每件商品降价x元时： （1）每天可销售_____________ 件，每件盈利___________ 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？ 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P（P为位似中心）成位似图形． （1）则点P的坐标为__________ ； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． 20．（6分）如图，在校园一面围墙AB前有一盏路灯CD．小明在阳光下借助竹竿MN测量路灯的高度，线段PN表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯CD在阳光下的影子； （2）测得MN＝1m，PN＝1.5m，围墙与路灯之间的距离BD＝3m，路灯的影子落在围墙上的高度为0.5m，求路灯CD的高度． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是a，b，若a2+b2+3ab＝1，求k的值． 22（6分）．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC于点F，点G在DE的延长线上，且DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝6，DG＝10，求AC的长． 23（6分） 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边AB上要造一个1米宽的门，在边BC上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边AB和BC的长． 24（8分）．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A． （1）求证：FD2＝FB•FC； （2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长． 25（8分）．阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 26（10分）．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”． 例：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠BAC，则△BCP∽△CAB，故点P为△ABC的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CP平分∠ACB．求证：点P为△ABC的“相似点”； （2）如图3，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE．若，求的值； （3）如图4，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，AC＝5EF，连接DE交AC于点G，连接DF，GF．若点G是△DEF的“相似点”，且点D与点F对应． 若∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，探究DE与EF的数量关系，并证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $