精品解析：福建省宁德市福安市第六中学2025-2026学年上学期数学学科 素养监测测试题（12月 ）

2025-2026（上）福安六中初三数学学科素养监测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. tan30°的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 5. 下列哪种影子是平行投影（ ） A. 皮影戏中的影子 B. 太阳光下房屋的影子 C. 路灯下行人的影子 D. 在手电筒照射下纸片的影子 6. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 的值随值的增大而减小 C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 当时，的值随值的增大而减小 8. 若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为______________． 12. 已知一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体可能是__________. 13. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 14. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 15. 我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是__________． 16. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 19. 三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． （1）根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置； （2）画出影子为的竹竿（用线段表示）； （3）若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题） A．变长 B．不变 C．变短 D．无法确定 20. 小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． （1）小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； （2）小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 21. 如图，已知矩形，点E为BC边上一点． （1）尺规作图：在CD边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求CF的长． 22. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． （1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元． （2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． 23. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 24. 如图1，为正方形的边上一动点（与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图2），连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度． 25. 已知，抛物线经过、两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于第一象限时，连接，，得到，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）福安六中初三数学学科素养监测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. tan30°的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】tan30°=. 故选D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可. 【详解】解:根据左视图的定义可知: 该几何体的左视图为: 故选:B. 【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是直接根据顶点式的特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选A． 4. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 5. 下列哪种影子是平行投影（ ） A. 皮影戏中的影子 B. 太阳光下房屋的影子 C. 路灯下行人的影子 D. 在手电筒照射下纸片的影子 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A．皮影戏中的影子是中心投影； B．太阳光下房屋的影子是是平行投影； C．路灯下行人的影子是中心投影； D．在手电筒照射下纸片的影子是中心投影； 故选B． 6. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 7. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 的值随值的增大而减小 C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性逐一分析即可. 【详解】解：在反比例函数中，﹣4＜0 ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大 ∴A选项缺少条件：在每一象限内，故A错误； B选项说法错误； C选项当时，反比例函数图象在第四象限，y随x的增大而增大，故C选项正确； D选项当时，反比例函数图象在第二象限，y随x的增大而增大，故D选项错误. 故选C. 【点睛】此题考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键. 8. 若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 9. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 10. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．设交于点P，根据正方形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点P， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对拆分变形， 得， ， 代入得． 12. 已知一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体可能是__________. 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】根据主视图和俯视图的特征判断即可. 【详解】解：根据主视图可知：此几何体前表面应为长方形 根据俯视图可知，此几何体的上表面为三角形 ∴该几何体可能是三棱柱. 故答案为：三棱柱. 【点睛】此题考查的是根据主视图和俯视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解决此题的关键. 13. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 14. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有个，可得，解之即可． 【详解】解：设盒子中白球大约有个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计盒子中白球大约有15个， 故答案为：15． 【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 15. 我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是__________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， ∴、、、在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数，则： ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 16. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】； 【解析】 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， ∴， 直接开方得：， ∴； 18. 如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 【答案】∵四边形是平行四边形． ， ，， ， 在和中： ， ， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】先证明得出，再结合菱形的判定定理即可得证． 【详解】略． 19. 三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． （1）根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置； （2）画出影子为的竹竿（用线段表示）； （3）若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题） A．变长 B．不变 C．变短 D．无法确定 【答案】（1） 如图所示，点为光源的位置； （2）如图所示，为所求； （3）C 【解析】 【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． （1）作射线与射线，交点G即为所求； （2）作射线，作交于点C，即为所求； （3）画出升高后的光源，再作出的影子即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，影子的长度变短． 故选：C． 20. 小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． （1）小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； （2）小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明和小莉两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体中，将石蕊溶液滴入食用碱溶液呈现蓝色，小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； 【小问2详解】 解：将装有蒸馏水，白醋溶液，食用碱溶液，柠檬水溶液的个烧杯分别记为列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表知，共有种等可能的结果，将石蕊溶液滴入溶液中，食用碱溶液呈现蓝色，白醋溶液、柠檬水溶液呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果，一杯变红、一杯变蓝的概率为 21. 如图，已知矩形，点E为BC边上一点． （1）尺规作图：在CD边上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求CF的长． 【答案】（1） 解：过点E作，交于F，点F就是所求作的点． （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作，交于F即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了作图−相似变换，矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出点F． 22. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． （1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 顶头盔，每月销售利润为 元． （2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． 【答案】（1）， （2）每顶元 【解析】 【分析】（1）等量关系式：销售量由降价多销售的量，每月销售利润每顶头盔的利润销售量；据此即可求解； （2）设每顶头盔降价元，根据等量关系式：每月销售利润每顶头盔的利润销售量，列方程，求解，再根据实际意义检验，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 （顶）， （元）； 故答案：，． 【小问2详解】 解：设每顶头盔降价元，由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 商店为了减少库存， 舍去， 售价单价为（元）． 答：头盔的销售单价为每顶元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在销售问题中的应用，掌握销售问题中典型等量关系式：销售利润单价利润销售量是解题的关键． 23. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）99米 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 24. 如图1，为正方形的边上一动点（与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图2），连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：在正方形ABCD中有：AB=BC，∠ABP=∠BCQ=90°， ∵BP=CQ， ∴， ∴∠PAB=∠QBC， ∵∠QBC+∠ABQ=90°， ∴∠PAB+∠ABQ=90°， ∴∠AEB=90°， ∴AP⊥BQ． （2） AD=DE，理由如下： 如图，延长BQ、AD交于一点F， 当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ=DQ， ∵∠FQD=∠BQC，∠FDQ=∠C， ∴， ∴FD=BC， ∴FD=AD， 由（1）得：∠FEA=90°， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）证明即可得出答案； （2）延长BQ、AD交于一点F，证明DF=AD，在中利用直角三角形斜边中线定理即可得出答案； （3）通过角度的推导证明和均为等腰三角形，设QM=MN=x，在中利用勾股定理即可列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得：AP⊥BQ， ∴∠ANE+∠NAE=90°， ∵∠NAE+∠AEH=90°， ∴∠ANE=∠AEH， 设∠ANE=∠AEH=α， ∵DE=DA， ∴∠DAE=∠AEH=α， ∵， ∴∠APB=∠DAE=α， ∵， ∴∠CQB=∠APB=α， ∵∠QNM=∠ANE=α， ∴∠CQB=∠QNM， ∴QM=MN， ∵， ∴∠ABQ=∠CQB=α， ∴∠ABQ=∠ANE， ∴AN=AB=2， 设QM=MN=x，则DM=DQ+QM=1+x，AM=AN+MN=2+x， ∵AD2+DM2=AM2， ∴22+（x+1）2=（x+2）2， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的边角性质及全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定及性质是解题关键． 25. 已知，抛物线经过、两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于第一象限时，连接，，得到，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式； 【答案】（1） （2） （3）直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）过点P作轴，交于点H，由题意易得直线的解析式为，设点，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）设与x轴的交点为E，过点E作于点F，由题意易得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点H，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，点C与点B的水平距离为3， ∴， ∵且， ∴当时，的面积最大，最大值即为，此时 ∴； 【小问3详解】 解：设与x轴的交点为E，过点E作于点F，如图所示： 由（1）及题意可得：，当时，则有， 解得：， ∴为等腰直角三角形，即，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $