精品解析：福建龙岩市实验学校2026-2027学年第一学期第一次质量监测九年级数学科试题

龙岩市实验学校2026-2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学科试题 闭卷考（考试时间：120分钟满分：150分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．由得，未知数的最高次数是不是，故A选项错误，不符合题意； B．当时，方程就不是一元二次方程，故B选项错误，不符合题意； C．含两个未知数，不是一元二次方程，故C选项错误，不符合题意 D．满足一元二次方程的条件，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 5. 若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义列方程和不等式，即可求得． 【详解】解： 是关于x的一元二次方程， ，解得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 8. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 9. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小， 关于对称轴的对应点为， ， ， 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，即，则可对②进行判断；由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点位置，可对①进行判断；利用时，函数有最大值，对③进行判断；根据二次函数图象时，，可对④进行判断；由 ，整理得，因，故，结合，即可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故②正确； 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴为直线， 当时，y取最大值，， 当时， ， 当时，， 故③正确； 抛物线的对称轴为直线， 和的函数值相等， 根据图象可知对应的函数值小于0，则对应的函数值也小于0， 时，， 故④正确； ， ， 整理得 ， ， 即， 又 ， 故⑤正确， 综上所述：②③④⑤正确， 故选：D． 二、填空题（每空4分，共24分） 11. 抛物线的开口方向是________． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键． 根据的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴抛物线的开口方向是向上． 故答案为：向上． 12. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 13. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 14. 某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 15. 已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 16. 当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式判定函数图象的开口方向，和顶点坐标，从而确定单调区间即可． 【详解】∵函数的二次项系数为2＞0， ∴该二次函数的开口方向向上， 又∵函数的顶点坐标为（-m，1）， ∴该二次函数图象x＜-m时，函数值y随着x的增大而减小， ∵当x＜-1时，函数值y随着x的增大而减小， ∴-m≥-1， ∴m≤1， 故答案为：m≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 选择合适的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义直接开平方即可求解． （2）提取公因式因式分解求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 或 ∴， 18. 已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把点代入求出a的值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， 把点代入，则， 解得：； ∴这个二次函数的表达式为：． 故答案为：． 19. 已知二次函数的解析式为． x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … （1）补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是___________． ②当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）补充表格如下： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 二次函数的图象如下： （2）① ②或 【解析】 【分析】（1）将和分别代入中，求出对应的y的值；然后在坐标系中正确描点并画出平滑的曲线． （2）先求出对称轴，在对称轴处的函数值取得最大值；在自变量的取值范围内，找端点与顶点，比较得出最大值与最小值． 【小问1详解】 解：将代入中，得； 将代入中，得； 所以，对应的y值为4，对应的y值为0． 该图象是一条开口向下的抛物线，顶点为． 【小问2详解】 对称轴为 ①当时，自变量取值范围包含对称轴， ∵抛物线开口向下（）． ∴当时，y取得最大值4； 比较两端点的函数值： 当时，； 当时，； ∴y的最小值为， ∴y的取值范围是． ②当时，的取值范围 当时，，解得，； 当时，，解得（顶点）； 结合图象分析：直线与抛物线交于和，在这两点之间，图象高于，最高达到顶点； 因为要求，所以不能取到临界值． ∴x的取值范围是或． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将 代入方程， 得 ，即 ， 解得． 21. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点C． （1）求点和点以及顶点的坐标； （2）的面积． 【答案】（1），， （2）的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象与性质，求三角形面积等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． （1）分别令和即可求出点和点的坐标，再把二次函数的一般式变成顶点式，即可求出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设抛物线对称轴与线段交于点，把点的坐标写出来，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：， 令，则， ； 令，则， 解得， 由图可知，，． ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入中得， 解得， 直线的解析式为． 如图所示，设抛物线对称轴与线段交于点， 则的横坐标与的横坐标相同， 即． 把代入中得， ， ， ． 23. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600； （2）每个A商品的售价为37元 （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； 【小问2详解】 解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； 【小问3详解】 略 24. 项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料二 阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 问题解决 任务一 在材料一中，大正方形面积可以表示为（______）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程____________． 任务二 根据材料二中的构图方法，画图说明（）的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 任务三 拓展应用：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出______，______． 【答案】任务一：；100；； 任务二：证明：由，可得， 仿照材料二构图如下： 由图形面积关系，可得，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴方程的解为； ； 任务三：， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，利用不同的构图方法解一元二次方程是解题的关键． 任务一：根据题意即可求解； 任务二：由，可得，仿照材料二构图可得，再利用直接开平方法解方程即可； 任务三：一元二次方程为，即，结合图形的面积即可求出的值． 【详解】解：任务一： 在材料一中，大正方形面积可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程． 故答案为：；100；； 任务二：略 任务三： 一元二次方程为，即， 由题意得，，解得； ∵中间围成的小正方形面积为25， ∴小正方形的边长为5， 若矩形的长为，宽为，则，解得； 若矩形的长为，宽为，则，解得； ∴； 故答案为：；． 25. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； （2）已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案． 【小问1详解】 解：①当时，对称轴为直线． ， ； ②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值， 对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为， 与点重合，与点重合时，取最小值， 最小值为：． 【小问2详解】 解：， 抛物线开口下上， ，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ， 解得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市实验学校2026-2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学科试题 闭卷考（考试时间：120分钟满分：150分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 5. 若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 9. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（每空4分，共24分） 11. 抛物线的开口方向是________． 12. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 13. 已知，是方程的两个根，则__________． 14. 某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 15. 已知是关于的方程的一个根，则________． 16. 当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 选择合适的方法解方程 （1） （2） 18. 已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 19. 已知二次函数的解析式为． x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 3 … （1）补全表格，并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）根据二次函数的图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是___________． ②当时，的取值范围是___________． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 21. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点C． （1）求点和点以及顶点的坐标； （2）的面积． 23. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 24. 项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料二 阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 问题解决 任务一 在材料一中，大正方形面积可以表示为（______）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程____________． 任务二 根据材料二中的构图方法，画图说明（）的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 任务三 拓展应用：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出______，______． 25. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； （2）已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $