专题01 平面向量及其应用（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（25-26高三上·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，，点为和的交点.若为钝角，写出符合条件的一组的值为__________，__________. 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 【典例1】（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【典例2】（2026·北京海淀·三模）已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 【典例1】M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的______（填“五心”中的一个） 【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（    ） A． B． C． D． 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 【典例1】（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 【典例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 【典例2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量及其应用 考情定位：北京高考选择、填空高频考点，难度跨度大，基础题考查向量运算，中档题常与三角函数、解析几何、不等式综合；向量是几何与代数的桥梁，既可以单独命题，也作为工具嵌入解答题． 核心考法：①向量线性运算：加减、数乘，平行向量判定；②平面向量数量积：定义式、坐标公式，求夹角、模长；③向量平行与垂直的充要条件；④向量几何意义，利用基底法、坐标法处理几何问题；⑤向量与三角函数、解三角形综合应用． 解题要点：优先判断题型特征，灵活选择基底法或坐标法；坐标法建系时注意坐标轴选取简化计算；数量积计算区分投影定义与坐标运算；向量平行、垂直条件不要记混符号；几何类向量题可画图辅助分析，注意向量方向． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最大值为4 【典例2】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）在四边形 中， ，设 ，则 （    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，点在边上，．记，则（    ） A． B． C． D． 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（2026·北京顺义·一模）在中，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知共面向量，，满足：，且．若（m，）．请写出一组符合条件的m，n的值__________． 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（2026·北京石景山·二模）设向量与不共线，向量与共线，则__． 【典例2】（2026·北京朝阳·一模）已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知向量，，满足，，且，则=（     ） A．0 B． C． D． 【典例2】（2026·北京·三模）已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知向量，，.若()，则实数______. 【典例2】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知向量，．若向量与垂直，则_______． 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为__________. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且； (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 【典例2】下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）向量，在单位正方形网格中的位置如图所示，则（    ） A．5 B．-5 C．0 D．1 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（    ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期中）已知向量满足，，且，则________. 【典例2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则在上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）是所在平面内的一点，满足，则（    ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 4．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ） A．13 B．14 C．20 D．25 7．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京丰台·模拟预测）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二、填空题 13．（25-26高三上·北京西城·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______． 14．（26-27高三上·北京·期中）若向量满足，且的夹角为，则____，___. 15．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知向量，，且，则______. 16．（26-27高三上·北京西城·开学考试）在中，，，，，为边的三等分点，则=________． 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为__________. 18．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 19．（2026·北京房山·二模）已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 20．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，，．若，则的最大值为______． $专题01 平面向量及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01平面向量的有关概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标运算 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三点共线的结论与推论 难点解读02奔驰定理与三角形的“四心” 难点解读03极化恒等式 难点解读04平面向量的最值与范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平面向量及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01向量基底线性表示与拆分变形 重点02向量基本定理及其应用 重点03向量共线与三点共线问题 重点04向量数量积与夹角 重点05向量平行与垂直的判定与应用 重点06向量平面几何综合应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01解决向量概念问题的关键点 技法点拨02向量的坐标运算 技法点拨03平面向量数量积的求解方法 技法点拨04求向量模的常用方法 技法点拨05投影向量及其应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01向量概念模糊，零向量认知疏漏 易错点02忽视两个向量成为基底的条件 易错点03错误使用向量平行的等价条件 易错点04混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【新题对点练】（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 考点02 平面向量的运算 1、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： 2、平面向量的数量积 （1）向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】①数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． ②在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． （3）向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： ①. ②. ③，同向⇔；，反向⇔. 特别地或. ④若θ为，的夹角，则. （4）向量数量积的运算律 ① (交换律)． ② (结合律)． ③ (分配律)． 【新题对点练】（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 考点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理： 平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 4、向量的坐标运算 （1）向量线性运算坐标表示 ①已知，则，． ②若，则； （2）向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 （3）向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 【新题对点练】（25-26高三上·北京朝阳·期中）如图，在正方形中，，点为和的交点.若为钝角，写出符合条件的一组的值为__________，__________. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以 ， 因为为正方形，所以， 所以， 因为为钝角，且与互补， 所以， 所以，所以符合条件的一组的值为，. 故答案为：；（答案不唯一） 难点解读01 三点共线的结论与推论 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 【典例1】（25-26高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】， 又，故，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为，故选：D. 【典例2】（2026·北京海淀·三模）已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 .故选：A. 难点解读02 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 【典例1】M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的______（填“五心”中的一个） 【答案】重心 【解析】因为，， 则，， 设G为的重心，则， 又因为，且，即，可得， 所以G，M，N三点共线，故MN恒过的重心． 【典例2】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 难点解读03 极化恒等式 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 【典例1】（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 【典例2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取AB的中点O， 则， 又因为|，所以，所以， 则的取值范围为. 难点解读04 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 【典例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 【典例2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以.故选：C 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量及其应用 考情定位：北京高考选择、填空高频考点，难度跨度大，基础题考查向量运算，中档题常与三角函数、解析几何、不等式综合；向量是几何与代数的桥梁，既可以单独命题，也作为工具嵌入解答题． 核心考法：①向量线性运算：加减、数乘，平行向量判定；②平面向量数量积：定义式、坐标公式，求夹角、模长；③向量平行与垂直的充要条件；④向量几何意义，利用基底法、坐标法处理几何问题；⑤向量与三角函数、解三角形综合应用． 解题要点：优先判断题型特征，灵活选择基底法或坐标法；坐标法建系时注意坐标轴选取简化计算；数量积计算区分投影定义与坐标运算；向量平行、垂直条件不要记混符号；几何类向量题可画图辅助分析，注意向量方向． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最大值为4 【答案】D 【解析】因为，且 ，则， 所以， 当且仅当反向时，等号成立，则的最大值为4； ， 当且仅当同向时，等号成立，则的最小值为2； 所以的最小值为2，最大值为4. 【典例2】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. 重点01 向量基底线性表示与拆分变形 平面内任意向量，均可被唯一拆解为一组不共线基底的线性组合． 解题思路：优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 【典例1】（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）在四边形 中， ，设 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，在四边形 中， 因为 ，所以 ， 可得 ，所以 . 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，点在边上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出符合题意的图形，且， ∵，∴， 则， 故B正确.故选：B 重点02 向量基本定理及其应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例1】（2026·北京顺义·一模）在中，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得， 整理为，即，，即. 【典例2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知共面向量，，满足：，且．若（m，）．请写出一组符合条件的m，n的值__________． 【答案】（答案不唯一，，，即可） 【解析】由，得， 又，因此，即， 将代入上式，结合， 可得，得到， 由，可知与夹角为， 因此， 故，得，因此. 取，此时， 如图，四边形为菱形，且， ，， 则满足且，满足条件. 重点03 向量共线与三点共线问题 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【典例1】（2026·北京石景山·二模）设向量与不共线，向量与共线，则______． 【答案】 【解析】向量与不共线，由向量与共线， 得，所以. 【典例2】（2026·北京朝阳·一模）已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】，， 若，，三点共线，则，解得. 重点04 向量数量积与夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 【典例1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知向量，，满足，，且，则=（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 而，，因此，解得， 所以. 【典例2】（2026·北京·三模）已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则， 展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 重点05 向量平行与垂直的判定与应用 解题分两类标准化判定： （1）坐标结构题型，直接套用平行交叉相等、垂直数量积为0的专属公式，快速求值定参； （2）几何图形题型，依托共线向量定理、垂直向量数量积为0的性质推理判定． 【典例1】（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知向量，，.若()，则实数______. 【答案】 【解析】已知，，所以， 因为且，所以， 整理得， 解得． 【典例2】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知向量，．若向量与垂直，则_______． 【答案】7 【解析】因为，，又因为向量与垂直， 所以， 所以. 重点06 向量平面几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为__________. 【答案】 【解析】由题得， 所以， 所以即， 如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即， 又和高相等， 所以. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且； (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以, 又，则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 技法点拨01 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【典例1】（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点相同 【答案】D 【解析】对于A，因为零向量有任意方向，故A错误； 对于B，因为单位向量就是模长为1的向量，方向任意， 故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，两个向量不相等时，当它们的方向不同，模长可以相等，故C错误； 对于D，两个向量相等指两个向量方向相同，且模长相等， 故当两个相等向量的起点相同时，终点一定相同，故D正确，故选：D. 【典例2】下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误.故选：D 技法点拨02 向量的坐标运算 首先根据图形结构建立合适的平面直角坐标系，精准求解各点坐标，换算出对应向量坐标；其次熟练套用向量加减、数乘的坐标运算公式，快速化简向量表达式；依托坐标公式完成模长求解、夹角余弦计算、平行与垂直判定．坐标运算通用性极强，可规避几何法思路卡顿、角度误判、图形分析复杂等问题，是解决向量综合题、动态最值题的保底解题方法． 【典例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）向量，在单位正方形网格中的位置如图所示，则（    ） A．5 B．-5 C．0 D．1 【答案】B 【解析】建立如图的平面直角坐标系，则，所以. 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·期中）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以.故选：A. 技法点拨03 平面向量数量积的求解方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（    ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【解析】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以．故选：C 技法点拨04 求向量模的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【典例1】（25-26高三上·北京昌平·期中）已知向量满足，，且，则________. 【答案】 【解析】. 【典例2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 技法点拨05 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则在上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量，可得，且， 所以在上的投影的数量为.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【解析】∵向量在向量上的投影向量相同， ，则，得， 而，得， 得，得，得.故选：D 易错点01 向量概念模糊，零向量认知疏漏 辨析：一是混淆向量与数量，只通过模长相等判定向量相等，忽略向量模长、方向双重属性；二是零向量认知模糊，不清楚零向量模长为0、方向任意，常错误认为其方向固定、不与任意向量平行；三是忽略零向量与任意向量共线、平行的特殊结论，导致位置关系判定失误；四是单位向量概念理解片面，误认为方向固定，忽略单位向量仅限定模长、方向不唯一的特点． 【典例1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解析】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A 易错点02 忽视两个向量成为基底的条件 辨析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件． 【典例1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式， 故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在， 故这组向量可作为一组基底，D错误. 【典例2】（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 易错点03 错误使用向量平行的等价条件 辨析：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性． 【典例1】（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解析】已知向量，，则，， 若与平行，则，即. 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得，又因为与平行， 所以，即，解得． 易错点04 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果 辨析：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开．尤其使用数量积的运算时不可约公因式． 【典例1】（25-26高三下·吉林·阶段检测）“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则或或， 故“”是“或”的必要不充分条件. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】已知， 则原式可化为：. 2．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， ，可以看出AB选项错误； ，故C正确，D错误. 3．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）是所在平面内的一点，满足，则（    ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上.故选：D. 4．（25-26高三上·北京·开学考试）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以．故选：D． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，且， 即，解得，此时， 则. 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ） A．13 B．14 C．20 D．25 【答案】D 【解析】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，， 所以. 取边中点，连接，则，所以. 所以. 同理可得，. 所以. 7．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设单位向量、的夹角为，则， 充分性验证：若，根据向量垂直的充要条件可得 ，展开得， 因为是单位向量，即，代入得， 因为，且， 所以，则，充分性成立； 必要性验证：若，则， 所以，所以，必要性成立. “”是“、夹角为”的充要条件. 8．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 9．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 10．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 11．（2026·北京丰台·模拟预测）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 二、填空题 13．（25-26高三上·北京西城·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______． 【答案】 【解析】由图及网格纸上小正方形的边长为1， 可得. 则. 则. 14．（26-27高三上·北京·期中）若向量满足，且的夹角为，则____，___. 【答案】 1 【解析】； . 15．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】由题意，， 由可得，解得. 16．（26-27高三上·北京西城·开学考试）在中，，，，，为边的三等分点，则=________． 【答案】 【解析】由，为边的三等分点， 有， ， 则； . 由，，，得：， 因此 . 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为__________. 【答案】 【解析】过点作直线，交于点，，如图， ， 其中是在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 观察图形知，当点在线段上时在直线上投影的数量最大， 而，由对称性知，， 在中，，由，解得， 则，所以的最大值为. 18．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 【答案】 2； 4 【解析】由题可得， 因为共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 19．（2026·北京房山·二模）已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，则， 可得：； 因为，则，， ， 所以的取值范围是 20．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，，，．若，则的最大值为______． 【答案】3 【解析】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系， 因为，所以， 则， 因为，所以， 又，即， 所以， 因为，即， 平方化简为， 设，则， 所以的最大值为. $