专题01 集合与常用逻辑用语（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦集合与常用逻辑用语专题，通过知识脑图搭建核心脉络，涵盖集合与元素、集合关系、运算、充分必要条件、全称与存在量词等基础考点，以及容斥原理应用、集合新定义问题等高阶难点，实现知识体系的系统梳理。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破设计，设有高考母题探究、技法提炼（如子集个数公式、Venn图应用）及易错剖析（空集忽视、命题否定错误）模块，通过“条件关系集合转化秒杀技法”培养数学思维，“新题对点练”强化数学语言表达，助力学生自主夯实基础、突破重难点，为教师提供精准复习指导工具。

专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件与量词命题综合判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 技法点拨05判断全称/存在量词命题的真假 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（2026·北京朝阳·一模）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）若“”是真命题，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 1．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 2．（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 1．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．39 B．48 C．57 D．59 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02 充分、必要条件与量词命题综合判定 考情定位：新高考选填中档高频考点，贴合新课标命题要求，融合不等式、函数性质命题，逻辑套路固定，区分基础逻辑思维． 核心考法：①文字、不等式、函数类命题充分必要条件判定；②全称、特称命题真假判断与命题否定；③依托量词命题、条件关系逆向求解简易参数范围． 解题要点：条件判定优先转化集合包含关系，遵循小推大逻辑；命题否定严格执行改量词、否结论、条件不变规则；恒成立、存在性问题区分最值选取逻辑，参数结果务必代回核验． 【典例1】（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点04 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试），使得成立，则实数的取值范围为_______． 【典例2】（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_______. 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【典例2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知集合，，，则的真子集共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【典例2】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（    ） A． B． C．或 D．或 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 技法点拨05 判断全称/存在量词命题的真假 全称量词命题：限定范围内全部成立则为真，存在一例不成立则为假； 特称量词命题：限定范围内存在一例成立则为真，全部不成立则为假． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若，，，，则（    ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，则（    ） A．-2 B． C． D．1 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 易错点03 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（25-26高三上·北京房山·阶段检测）已知命题：，，那么命题为（    ） A．， B．， C．， D．， 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，使为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 7．（2025·安徽·一模）已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 10．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 12．（24-25高三下·北京·阶段检测）能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是_____ 三、解答题 13．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． (1)若，判断A是否为“大表”，说明理由； (2)若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； (3)若当时，A必为“大表”，求的最小值． $专题01 集合与常用逻辑用语 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 容斥原理的应用 难点解读02 集合新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01集合基本运算综合 题型02充分、必要条件与量词命题综合判定 ▶重点突破・考法深研 重点01利用元素与集合的关系求参数 重点02利用集合间的关系求参数 重点03利用集合运算结果求参数 重点04利用全称/存在量词命题真假求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01子集的个数问题 技法点拨02集合间关系的判断 技法点拨03Venn图在集合运算中的应用 技法点拨04条件关系集合转化秒杀技法 技法点拨05判断全称/存在量词命题的真假 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对集合表示方法的理解偏差致错 易错点02忽视（漏）空集致错 易错点03对含有一个量词命题的否定理解错误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5、常见集合的含义 集合 代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点 【新题对点练】（2026·北京朝阳·一模）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，故. 考点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 【新题对点练】（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 【新题对点练】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，， 所以，故. 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作． 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 【新题对点练】（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 考点05全程量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：． （3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）若“”是真命题，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意有，由， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即实数m的最小值为，故选：B. 难点解读01 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复． 如果被计数的事物有A，B两类，那么A类和B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数，即card（A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)． 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)． 1．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 【答案】3 【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以，， 即，解得， 三项都参加的有3人，故答案为：3 2．（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【解析】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片.故选：A 难点解读02 集合新定义问题 （1）看透“新”定义：分析新定义中元素的特征，从定义中提取关键要素，明确问题本质，并将其应用到解题过程中． （2）明确“新”性质：分析题目中给出的性质，如集合中元素的特性、集合之间的关系等，并将之与集合原有性质关联，根据题目要求进行推理或计算． （3）遵循“新”法则：把握新的运算法则，将其转化到集合、不等式等相关运算中．解题提示：对于比较象的题目，可以利用特例和赋值方法解释或理解新定义，有助于排除一些选项． 1．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【解析】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．39 B．48 C．57 D．59 【答案】D 【解析】由题设，又均有5个元素且， 根据题意的最小元素必有1，最大元素必有15， 要使最小，则中最小元素为，而除15外的另两个最大元素要尽量小， 所以为最大元素为时，最小； 要使最大，则中最大元素为，而除1外的另两个最小元素要尽量大， 所以中最小元素为时，最大； 所以的可能取值范围是，结合各项不可能的值为.故选：D 素养进阶·答题技法突破 题型01 集合基本运算综合 考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查． 核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定． 解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则. 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故选：D. 题型02 充分、必要条件与量词命题综合判定 考情定位：新高考选填中档高频考点，贴合新课标命题要求，融合不等式、函数性质命题，逻辑套路固定，区分基础逻辑思维． 核心考法：①文字、不等式、函数类命题充分必要条件判定；②全称、特称命题真假判断与命题否定；③依托量词命题、条件关系逆向求解简易参数范围． 解题要点：条件判定优先转化集合包含关系，遵循小推大逻辑；命题否定严格执行改量词、否结论、条件不变规则；恒成立、存在性问题区分最值选取逻辑，参数结果务必代回核验． 【典例1】（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，，是无穷数列， 验证充分性：当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性：当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 【典例2】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A. 重点01 利用元素与集合的关系求参数 （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，若，则.故选：A 【典例2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 重点02 利用集合间的关系求参数 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【典例1】（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 【典例2】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【解析】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 重点03 利用集合运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围． 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验． 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集． 【典例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，则，故， 即的取值范围为. 【典例2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解不等式得，因此集合； 因为，所以； 已知，且，所以必须满足，即实数的取值范围是.故选：D. 重点04 利用全称/存在量词命题真假求参数 1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； 2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 【典例1】（25-26高三下·北京·开学考试），使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 【典例2】（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_______. 【答案】3（答案不唯一，满足的都可以） 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 则命题“”为真命题，， 因此命题“”是假命题，， 所以所求实数的一个值为3. 技法点拨01 子集的个数问题 求子集个数的两种方法： 1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； 2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】集合，， 所以集合的子集个数为.故选：C 【典例2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知集合，，，则的真子集共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解析】因为集合， 且，则，即集合有2个元素， 所以集合的真子集共有个.故选：A. 技法点拨02 集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法： 1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系； 2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系； 3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． 【典例1】（2025·北京大兴·三模）已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以⫋，.故选：B. 【典例2】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确，故选：D 技法点拨03 Venn图在集合运算中的应用 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【典例1】（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， ， 图中阴影部分表示的集合为， 因为，全集，所以或， 则或或，故B正确. 【典例2】（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或，故选：D 技法点拨04 条件关系集合转化秒杀技法 将命题转化为对应解集集合，依托集合包含关系快速判条件：小范围⇒大范围，为充分不必要条件；大范围⇒小范围，为必要不充分条件；集合相等，则互为充要条件． 【典例1】（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 技法点拨05 判断全称/存在量词命题的真假 全称量词命题：限定范围内全部成立则为真，存在一例不成立则为假； 特称量词命题：限定范围内存在一例成立则为真，全部不成立则为假． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题；故选：C 【典例2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若，，，，则（    ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 【答案】C 【解析】若，则命题不成立，则为假命题，故为真命题； 若，则，则命题为真命题. 易错点01 对集合表示方法的理解偏差致错 辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以， 又因为， 当时，无解，所以，此时； 当时，由可得，所以，若，则； 当时，由可得，所以，此时. 综上，.故选：C. 【典例2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，则（    ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题可得，解得，所以.故选：B. 易错点02 忽视（漏）空集致错 辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【典例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且. 若，则，满足； 若，则，此时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为.故选：A 易错点03 对含有一个量词命题的否定理解错误 辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】将命题“，”中的存在量词“”改为全称量词“”， “”否定为“”，得到“，”.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·北京房山·阶段检测）已知命题：，，那么命题为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为命题为：，， 所以为：，，故选：C 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，所以． 2．（25-26高三上·北京通州·期中）已知命题“”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是.故选：C 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 4．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题知，，等价于，即原条件可化简为， 对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立； 取满足，但，即不满足，因此必要性不成立. 综上，是的充分而不必要条件. 5．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知，使为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：解得：，故选：B. 6．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解析】由题知： ，， ，， ，，， 则故选：C 7．（2025·安徽·一模）已知全集为，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得或， 或， ， ， 或， ，，故A，B，C错误，D正确，故选：D． 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，，则，故选：A. 二、填空题 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 10．（2026·北京·三模）能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【解析】若，，，满足a，b，c均为正实数，且， 此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且， 此时，不满足，故原命题为假命题. 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 【答案】6（答案不唯一） 【解析】命题“，使”为假命题，则命题“，使”为真命题， 所以， 而在单调递减，在单调递增， 而离比离远， 所以当时，， 所以. 故答案为：6（答案不唯一）. 12．（24-25高三下·北京·阶段检测）能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是_____ 【答案】，（答案不唯一） 【解析】假设命题“若，则”为假命题，只需要找到一组正实数，满足且. 根据对数的加法公式可知：. 若，则 假设，，则 所以存在正实数：，使得“若，则”成立， 即“若，则”是假命题. 故答案为：，（答案不唯一）. 三、解答题 13．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，；(2) 【解析】（1）解不等式，得或， 故或 假设存在，使得，， 则有且，解得， 所以当时满足题意； （2）若是的充分条件，则， 则，或，解得，或， 所以的取值范围为. 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知数表，，，若存在，使得中至少有4个元素大于，则称A为“大表”． (1)若，判断A是否为“大表”，说明理由； (2)若当，时，A必为“大表”，求t的最大值； (3)若当时，A必为“大表”，求的最小值． 【答案】(1)是“大表”，理由见解析；(2)5；(3)4 【解析】（1）先定义“邻域”概念：以为中心，所有满足“行差”且“列差” 的元素组成的集合（可理解为以为中心的九宫格区域）； 以为例，它的邻域包含元素（行差，列差的所有元素）， 其中比2大的数有3，8，9，4，共4个，满足“至少4个比它大”， 所以是“大表”. （2）当时，数表是 ，共9个元素（1到9）， 是中心元素，它的邻域是整个数表的九宫格， 所以需要让这个邻域里至少有4个数比大，同时找的最大值. 当时，邻域里的数是1，2，3，4，6，7，8，9，其中比5大的有6，7，8，9共4个，满足条件. 当时，比如，邻域里比6大的数是7，8，9，只有3个，不满足“至少4个”， 所以的最大值是5. （3）当时，我们可以构造一个数表，让每个元素的邻域里比它大的数都少于4个， 比如：. 假设存在一个的数表不是“大表”，即对于每一个元素， 它的邻域中比它大的数都少于4个（最多3个），对1，2，3，4这类小数： 若1不在角落（如在边缘/中心），其邻域规模，邻域中比1大的元素（远超3个），与假设矛盾； 因此1必须在角落（邻域规模=4），此时邻域中比1大的元素=3个（恰好满足）. 同理，2，3，4也必须在另外三个角落，各自邻域中比自身大的元素均为3个. 元素5：因为时，以5为中心的邻域（行差、列差）是一个的区域（共9个元素）. 在中，现在假设5的邻域里比它大的数“最多3个”， 那意味着它的邻域里至少有9-1-3=5个数比它小，但比5小的数只有1，2，3，4这4个，矛盾！ 因此，“存在的非大表”这个假设不成立，即时所有数表都是“大表”， 故n的最小值为4. $