专题01 函数的概念与性质（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦函数的概念与性质专题，涵盖函数三要素、单调性、奇偶性、周期性与对称性等基础考点，深入剖析部分奇偶性应用、双对称推导周期、类周期函数等高阶难点，构建完整知识体系。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破，结合题型分类（如单调性求参数）、技法提炼（周期性快速推导）、易错剖析（忽略定义域）设计，培养数学思维与推理能力。通过“双对称推导周期”结论总结、“类周期函数分段求解”步骤分解等特色内容，助力学生自主复习，教师可据此精准指导备考。

专题01 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的相关概念 考点02函数的单调性 考点03函数的奇偶性 考点04函数的周期性与对称性 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01部分奇偶性的应用 难点解读02双对称推导函数的周期 难点解读03类周期函数 难点解读04抽象函数的性质 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01根据函数的单调性求参数 题型02函数单调性的判断及应用 题型03奇偶性、周期性、对称性综合 ▶重点突破・考法深研 重点01已知定义域恒成立求参数 重点02已知值域限定条件求参数 重点03分段函数的综合应用 重点04函数性质综合：恒成立与存在性问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数奇偶性的应用 技法点拨02函数的定义域与值域求解 技法点拨03函数解析式的常用解法 技法点拨04抽象函数不等式问题解法 技法点拨05周期性的快速推导技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 易错点02判断函数奇偶性时忽略定义域致错 易错点03忽略分段函数的分段点致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的相关概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【新题对点练】（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）若函数，则______. 【答案】 【解析】在中，令，则有. 考点02 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 【新题对点练】（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 考点03 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·期末）下列函数中，值域为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，函数，其定义域为， ，且，故为非奇非偶函数，不符合要求； B选项，函数，定义域为，，故为奇函数； 当取任意实数时，的取值范围是，当取遍任意实数时，的值域为，符合要求； C选项，函数，定义域为， ，故为偶函数，不符合要求； D选项，函数，定义域为， ，故为奇函数； 的取值范围是，值域不为，不符合要求.故选：B. 考点04 函数的周期性与对称性 1、函数的周期 （1）周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）函数关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）函数关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足下列条件：①；②；③图象关于点对称，则______． 【答案】 【解析】因为，所以图象关于对称，即 又图象关于点对称，所以，即， 令代替代入上式可得，即， 所以函数的周期为8， 所以， 又，即. 难点解读01 部分奇偶性的应用 1、函数奇偶性分解 对于一个定义域关于原点对称的函数，构建函数，，这样使得．而对于函数来说，，得到是偶函数；对于函数来说，，得到是奇函数．这样就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 2、部分奇偶性 对于一个非奇非偶函数，已知求通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． ①如果偶函数是无参或相对简单的，以奇函数桥梁构建等式，根据解决问题． ②如果奇函数是无参或相对简单的，以偶函数桥梁构建等式，根据解决问题． 值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数的解析式来完成，而非直接构造，，前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 3、奇函数的性质延伸——“常数”模型 若，其中是奇函数，是不为零的常熟，当奇函数有最大值和最小值时，也有最大值和最小值，且． 难点破解 【典例1】已知函数且，则的值为______． 【答案】 【解析】函数且， 所以，即, 所以 【典例2】已知，．求______． 【答案】 【解析】令， 因为恒成立，所以的定义域为， 且， 故为奇函数， 从而， 即，因为， 所以． 难点解读02 双对称推导函数的周期 已知函数的图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴： 已知函数的图象关于直线和直线对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为偶函数且函数的图象关于直线对称，函数是周期为的周期函数． ①两个对称中心： 已知函数的图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为奇函数且函数的图象关于点中心对称，函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴＋一个对称中心：已知函数的图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期的周期函数． 难点破解 【典例1】（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为.故选：B 【典例2】（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 【答案】①③ 【解析】由，令，即，得，等价于； 由为奇函数，得， 所以，即函数周期为2，所以③正确； 由和周期为2，可得，即，所以①正确； 由函数周期为2，可知，， 因为，所以，所以②错误； 由函数周期为2，可知， 由①可知，所以，所以④错误； 故答案为：①③. 难点解读03 类周期函数 1、类周期函数的定义：从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中的情形就是周期函数． 2、类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，往往知道其在（或）上的解析式．此时通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 难点破解 【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是.故选：D. 【典例2】定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【解析】当时，， 此时二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 综上所述，时，的最小值为. 难点解读04 抽象函数的性质 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 难点破解 【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 【答案】D 【解析】令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数，没有最小值，故D错误． 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 【答案】(1)；证明见解析;(2)函数在上为单调递减函数；证明见解析;(3) 【解析】（1）由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，. （2）函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数. （3）由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数的单调性与奇偶性 考情定位选填高频基础必考题型，是比较大小、解不等式、求最值、零点问题的核心工具，侧重图像性质辨析，弱化复杂复合函数难题，常结合抽象函数综合考查． 核心考法：①利用单调性比较函数值、自变量大小；②利用奇偶性化简函数、对称求值；③单调性与奇偶性结合解抽象函数不等式；④判断、证明简单函数单调与奇偶性． 解题要点：单调性优先图像与定义辨析，抽象函数依托性质推导；奇偶性先判定义域对称性；奇偶性+单调性综合题优先化简、再脱f符号；切忌主观臆断函数增减与对称性质． 【真题溯源】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 题型02 求函数的解析式 考情定位：基础工具类考点，极少单独命题，常作为函数综合题前置步骤，侧重方法规范，考查题型常规、无复杂变形． 核心考法：①代入法求已知函数解析式；②换元法、配凑法求抽象函数解析式；③利用奇偶性、对称性补全函数解析式；④待定系数法求基本函数解析式． 解题要点：换元必标注新元取值范围；配凑严格恒等变形；利用对称性求解析式需区分定义域区间；最终结果务必化简并标明定义域． 【真题溯源】 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误.故选：C. 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 题型03分段函数的应用 考情定位：选填中档重点题型，高频单独考查，结合求值、解方程、解不等式、最值综合命题，侧重分类讨论思想，是北京卷经典常考题型． 核心考法：①分段函数分段求值、求参数；②分段函数解方程与不等式；③分段函数单调性、最值综合分析；④结合奇偶性、周期性综合考查分段函数性质． 解题要点：分段函数必先先看自变量区间，分段列式计算；分段单调性必须兼顾各段单调与区间端点衔接；求解参数问题分类讨论不重不漏；最终结果检验区间合法性． 【真题溯源】（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增， 当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或，解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 重点01 已知定义域恒成立求参数 核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二次项系数为0的一次型特例与系数不为0的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼顾分式、对数等隐性定义域限制． 高频陷阱：忽略二次项系数为0的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域约束． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为的定义域为， 所以在上恒成立，即， 由于在上恒成立，故实数的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）. 【典例2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 重点02 已知值域限定条件求参数 核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域特征限定参数． 高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围． 【典例1】（25-26高三上·广东中山·开学考试）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【解析】． 因为，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，解得．故选：B. 【典例2】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 重点03 分段函数的综合应用 核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参性质分析等高频考法．解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型必须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路． 高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；含参问题分类讨论不全面，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性． 【典例1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数则______. 【答案】2 【解析】因为 所以. 【典例2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】当时，在上值域为，显然不存在最大值； 当时，在上，而在上最大值为，满足题设； 当时，在上值域为， 若时，在上最大值为， 此时，故存在最大值，满足题设； 若时，在上最大值为， 此时只需，则，即， 故，存在最大值，满足题设； 综上，. 重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题 核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值．恒成立属于任意性问题，遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”．存在性条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值． 高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化简后的定义域限制；区间端点等号取舍失误，造成参数范围偏大或偏小． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题设方程的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上，， 故，即的最大值为. 【典例2】（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 技法点拨01函数奇偶性的应用 判断函数奇偶性先验证定义域关于原点对称，偶函数满足f(−x)= f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f (−x)=− f (x)，图像关于原点对称，奇函数在x=0有定义时f(0)=0，可快速求参数，借助奇偶性转化自变量求值，补齐对称区间分段解析式，奇偶函数加减同性质不变，奇偶相乘除为奇函数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【解析】的定义域为，因为为奇函数， 则，即，此时，， 则此时为奇函数，满足题意，则. 【典例2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测），若，则______. 【答案】 【解析】， 则， 而，得， 故答案为： 技法点拨02 函数的定义域与值域求解 定义域求解需遵循“所有限制条件取交集”的原则； 值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则． 【典例1】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 【典例2】（2026·北京丰台·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为.故选：D 技法点拨03 函数解析式的常用解法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 【典例1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则函数的解析式为______，______． 【答案】 8 【解析】令则,故， 故， 进而， 故答案为：；8. 【典例2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】取，函数的定义域为， ，， 因为，所以，满足题意. 技法点拨04 抽象函数不等式问题解法 ①第一步：确定函数完整定义域； ②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数； ③第三步：利用单调性脱去抽象符号“f”，转化为普通自变量不等式； ④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集． 【典例1】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数，所以， 不等式等价于， ，构造函数， 因为函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以，则化为，所以，所以或， 故不等式的解集为.故选：A 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 技法点拨05 周期性的快速推导技法 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）若函数满足.且当，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，则， 所以的一个周期为，所以， 又，所以，则，故选：C. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由为定义在上的奇函数，则， 则，， 由，则， 即有，则有， 故以为周期，故， 则.故选：A. 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为： 1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围； 2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的定义域是______． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，解得且， 所以的定义域为. 故答案为：. 【典例2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】函数满足，即得，所以， 函数的定义域为. 易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，二次函数的对称轴为， 不是偶函数，故A错误； 对B，函数的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 对C，， 定义域为，所以函数是偶函数， 结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误； 对D，，定义域为， 所以函数是偶函数，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确.故选：D 【典例2】（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误； 对于 B，易知的定义为，定义域关于原点对称， 且满足，因此该函数为奇函数， 又，因此函数在上单调递减，即B正确； 对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，则, 令可得，当时，，当时，， 因此可得函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上不是单调递减的，即D错误. 易错点03 忽略分段函数的分段点致错 分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】因为在定义域上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 又，要使在上是增函数， 则，解得； 若在上不具有单调性，则或，即的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故有，画出和图象如图： 则该不等式组解集为， 故实数的取值范围是.故选：B. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．2 【答案】A 【解析】因为为奇函数， 所以， 令，得，所以.故选：A. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解析】对于A，， 设，， ，其中， 故不为奇函数，为偶函数，故A错误，B正确. ，其中， 设，则， 故 故既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误. 3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：因为在上是增函数，且时，有，所以， 即“在上是增函数”能推出“对任意，存在，使得”，充分性成立. 必要性：如函数， 当时，取， 当时，，，， 当时，，，， 所以当时，取，. 当时，，则， 此时，所以， 综上，函数满足对任意，存在，使得. 但取，时，，不满足增函数的定义， 故 “对任意，存在，使得” 不能推出 “在上是增函数”，必要性不成立. 故选：A. 4．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设在上单调递减，又为偶函数， 所以.故选：A 5．（25-26高三上·北京顺义·期中）定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为“、均为偶函数”可以推出“函数为偶函数”，所以“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分条件； 因为当、均为奇函数时，也为偶函数， 所以“、均为偶函数”不是“函数为偶函数”的必要条件. 综上“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数， 则， 又由，则, 所以， 故.故选：A. 7．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【解析】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以.故选：C 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）对于函数定义域中任意的，给出如下四个结论： ①； ②； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以是定义域内的单调递增函数. A：因为， 所以由对数的运算性质可知该函数不满足结论①； 因为， 所以由对数的运算性质可知该函数满足结论②； 函数显然是正实数集上的增函数，该函数满足结论③； ， 由基本不等式可知：当时，， 于是有，因此该函数不满足结论④，因此本选项函数不符合题意； B：因为， 所以该函数满足结论①； 因为， 所以该函数不满足结论②； 函数显然是实数集上的增函数，该函数满足结论③； ，， 由基本不等式可知：当时，， 即 因此该函数满足结论④，因此本选项函数符合题意； C：当时， 显然， 即和不成立，因此本选项函数不符合题意； D：当时， 显然不成立， 即和不成立，因此本选项函数不符合题意， 故选：B 二、填空题 9．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数满足，则__________. 【答案】8 【解析】令，得，则. 故答案为：8 10．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则____________． 【答案】0 【解析】是定义在上的偶函数，有， 由，设，则，， 得，则函数周期为2， 所以. 11．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数的值域为______________；的图象对称中心是_____________ 【答案】 【解析】因为，则，所以函数的值域为， 因为，则，所以， 即，所以的图象对称中心是， 故答案为：，. 12．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数，若，则_____． 【答案】1 【解析】函数， 若， 则 则，所以. 13．（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 14．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】因为是偶函数，所以，即， 所以关于直线对称，故①错误； 又因为是奇函数，所以， 又因为，可得， 进而，所以是以4为周期的周期函数，故②正确； 因为，因为是以4为周期的周期函数， 所以，所以， 所以，故③正确； 因为时，， 因为函数关于对称，所以时，， 因为函数的周期为4，可得时，， 时，，当时，交点横坐标为，， 且在区间，，，内各有一个交点， 当，交点在区间，，，内各有一个交点，共9个交点，故④错误. $专题01 函数的概念与性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的相关概念 考点02函数的单调性 考点03函数的奇偶性 考点04函数的周期性与对称性 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01部分奇偶性的应用 难点解读02双对称推导函数的周期 难点解读03类周期函数 难点解读04抽象函数的性质 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01根据函数的单调性求参数 题型02函数单调性的判断及应用 题型03奇偶性、周期性、对称性综合 ▶重点突破・考法深研 重点01已知定义域恒成立求参数 重点02已知值域限定条件求参数 重点03分段函数的综合应用 重点04函数性质综合：恒成立与存在性问题 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数奇偶性的应用 技法点拨02函数的定义域与值域求解 技法点拨03函数解析式的常用解法 技法点拨04抽象函数不等式问题解法 技法点拨05周期性的快速推导技法 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 易错点02判断函数奇偶性时忽略定义域致错 易错点03忽略分段函数的分段点致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的相关概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【新题对点练】（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）若函数，则______. 考点02 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示． 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性． （2）与的单调性相反． （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反． （4）若≥0，则与具有相同的单调性． （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性． （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 【新题对点练】（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 考点03 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·期末）下列函数中，值域为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 考点04 函数的周期性与对称性 1、函数的周期 （1）周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数的对称性 （1）函数关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）函数关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足下列条件：①；②；③图象关于点对称，则______． 难点解读01 部分奇偶性的应用 1、函数奇偶性分解 对于一个定义域关于原点对称的函数，构建函数，，这样使得．而对于函数来说，，得到是偶函数；对于函数来说，，得到是奇函数．这样就说明任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 2、部分奇偶性 对于一个非奇非偶函数，已知求通常采用以下步骤处理： 第一步：观察函数的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出，其中函数是偶函数，函数是奇函数． 第二步：根据函数，的奇偶性得到与的关系式，进而求出的值． ①如果偶函数是无参或相对简单的，以奇函数桥梁构建等式，根据解决问题． ②如果奇函数是无参或相对简单的，以偶函数桥梁构建等式，根据解决问题． 值得注意的是，实际操作中的第一步是通过观察函数的解析式来完成，而非直接构造，，前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的． 3、奇函数的性质延伸——“常数”模型 若，其中是奇函数，是不为零的常熟，当奇函数有最大值和最小值时，也有最大值和最小值，且． 【典例1】已知函数且，则的值为______． 【典例2】已知，．求______． 难点解读02 双对称推导函数的周期 已知函数的图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到的周期的结论． ①两条对称轴： 已知函数的图象关于直线和直线对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为偶函数且函数的图象关于直线对称，函数是周期为的周期函数． ①两个对称中心： 已知函数的图象关于点和点中心对称，则函数是周期为的周期函数． 特别的，当为奇函数且函数的图象关于点中心对称，函数是周期为的周期函数． ③一条对称轴＋一个对称中心：已知函数的图象关于点中心对称且关于直线对称，则函数是周期的周期函数． 【典例1】（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 难点解读03 类周期函数 1、类周期函数的定义：从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中的情形就是周期函数． 2、类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，往往知道其在（或）上的解析式．此时通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要，则画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 【典例2】定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 难点解读04 抽象函数的性质 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 【典例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数的单调性与奇偶性 考情定位选填高频基础必考题型，是比较大小、解不等式、求最值、零点问题的核心工具，侧重图像性质辨析，弱化复杂复合函数难题，常结合抽象函数综合考查． 核心考法：①利用单调性比较函数值、自变量大小；②利用奇偶性化简函数、对称求值；③单调性与奇偶性结合解抽象函数不等式；④判断、证明简单函数单调与奇偶性． 解题要点：单调性优先图像与定义辨析，抽象函数依托性质推导；奇偶性先判定义域对称性；奇偶性+单调性综合题优先化简、再脱f符号；切忌主观臆断函数增减与对称性质． 【真题溯源】（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 题型02 求函数的解析式 考情定位：基础工具类考点，极少单独命题，常作为函数综合题前置步骤，侧重方法规范，考查题型常规、无复杂变形． 核心考法：①代入法求已知函数解析式；②换元法、配凑法求抽象函数解析式；③利用奇偶性、对称性补全函数解析式；④待定系数法求基本函数解析式． 解题要点：换元必标注新元取值范围；配凑严格恒等变形；利用对称性求解析式需区分定义域区间；最终结果务必化简并标明定义域． 【真题溯源】 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型03分段函数的应用 考情定位：选填中档重点题型，高频单独考查，结合求值、解方程、解不等式、最值综合命题，侧重分类讨论思想，是北京卷经典常考题型． 核心考法：①分段函数分段求值、求参数；②分段函数解方程与不等式；③分段函数单调性、最值综合分析；④结合奇偶性、周期性综合考查分段函数性质． 解题要点：分段函数必先先看自变量区间，分段列式计算；分段单调性必须兼顾各段单调与区间端点衔接；求解参数问题分类讨论不重不漏；最终结果检验区间合法性． 【真题溯源】（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 重点01 已知定义域恒成立求参数 核心解题要点：核心是保证解析式限制条件对全体实数恒成立，重点针对二次型结构分类讨论：区分二次项系数为0的一次型特例与系数不为0的二次型情况，结合开口方向与判别式锁定参数范围，同时兼顾分式、对数等隐性定义域限制． 高频陷阱：忽略二次项系数为0的特殊情况；只看判别式忽略开口方向；遗漏分母、对数的隐性定义域约束． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值______． 【典例2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 重点02 已知值域限定条件求参数 核心解题要点：值域由定义域与单调性共同决定，二次函数重点分析对称轴与区间的位置关系，依托区间最值构建参数不等式；分式、根式函数通过换元法、分离常数法转化为基础函数，结合基础函数值域特征限定参数． 高频陷阱：混淆单调区间与定义域区间；忽略区间端点最值差异；换元后遗漏新元取值范围． 【典例1】（25-26高三上·广东中山·开学考试）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【典例2】（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 重点03 分段函数的综合应用 核心解题要点：题型覆盖分段函数求值、逆向求自变量、不等式求解、图象辨析、单调性与最值、含参性质分析等高频考法．解题严格遵循“先定区间、再代解析式、最后检验端点”的核心原则，含参题型必须分类讨论，复杂题型依托数形结合画图辅助分析，简化解题思路． 高频陷阱：忽略分段区间边界判定，代错解析式；未校验分段端点取值，导致最值、单调性判定失误；含参问题分类讨论不全面，出现漏解；仅凭单段区间判定整体函数性质，忽略函数整体性． 【典例1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数则______. 【典例2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，若存在最大值，则的取值范围是_____. 重点04 函数性质综合：恒成立与存在性问题 核心解题要点：先借助奇偶性、周期性化简函数，结合单调性求解区间最值．恒成立属于任意性问题，遵循“恒小取最大、恒大取最小”；存在性属于存在性问题，遵循“能小取最小、能大取最大”．存在性条件更宽松，解题最终需校验定义域与区间端点取值． 高频陷阱：混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑；忽略函数化简后的定义域限制；区间端点等号取舍失误，造成参数范围偏大或偏小． 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【典例2】（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01函数奇偶性的应用 判断函数奇偶性先验证定义域关于原点对称，偶函数满足f(−x)= f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f (−x)=− f (x)，图像关于原点对称，奇函数在x=0有定义时f(0)=0，可快速求参数，借助奇偶性转化自变量求值，补齐对称区间分段解析式，奇偶函数加减同性质不变，奇偶相乘除为奇函数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数为奇函数，则__________. 【典例2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测），若，则______. 技法点拨02 函数的定义域与值域求解 定义域求解需遵循“所有限制条件取交集”的原则； 值域求解需根据函数类型择优适配方法，其中一次、简单根式函数适用观察法+单调性法，二次函数适用配方法+区间对称轴分类讨论，一次分式函数适用分离常数法，根式复合函数适用换元法，复杂函数适用数形结合法，全程严格遵循“无定义域不讨论值域”的核心原则． 【典例1】（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【典例2】（2026·北京丰台·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 函数解析式的常用解法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 【典例1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则函数的解析式为______，______． 【典例2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，．写出满足条件的一个函数解析式_____． 技法点拨04 抽象函数不等式问题解法 ①第一步：确定函数完整定义域； ②第二步：判断奇偶性、单调性化简函数； ③第三步：利用单调性脱去抽象符号“f”，转化为普通自变量不等式； ④第四步：与定义域取交集，校验端点，得出最终解集． 【典例1】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______. 技法点拨05 周期性的快速推导技法 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 【典例1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）若函数满足.且当，则（    ） A． B．2 C． D．1 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 易错点01忽略内层值域与外层定义域关系致错 在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为： 1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围； 2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的定义域是______． 【典例2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的定义域为__________. 易错点02 判断函数奇偶性时忽略定义域致错 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 易错点03 忽略分段函数的分段点致错 分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是_______________. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．2 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京顺义·期中）定义域为的函数，，“、均为偶函数”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）对于函数定义域中任意的，给出如下四个结论： ①； ②； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高三上·北京大兴·阶段检测）已知函数满足，则__________. 10．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则____________． 11．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数的值域为______________；的图象对称中心是_____________ 12．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数，若，则_____． 13．（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 14．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． $