圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题讲义 圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题讲义 考点目录 定点到圆上点的最值问题 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 考点一 定点到圆上点的最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 平面内，定点与圆上任意一点的距离的最大值、最小值，一定在定点与圆心的连线与圆的两个交点处取得。 由三角形三边关系可证：对圆上任意点 ，，当且仅当 在直线 上时取等号。 二、核心公式 设定点为 ，圆心为 ，圆的半径为 ，定点到圆心的距离 。 定点位置 最小距离 最大距离 对应点位置 点在圆外（） 最近点：线段 与圆的近侧交点 最远点： 延长线与圆的远侧交点 点在圆内（） 最近点：线段 延长线与圆的近侧交点 最远点： 延长线与圆的远侧交点 点在圆上（） 最近点为定点本身 最远点为直径另一端点 三、拓展应用 1. 距离平方的最值：将距离最值直接平方即可，常用于避免开方的代数运算； 1. 相关线段的最值：以定点和圆上点为端点的线段的最值，直接对应距离最值； 1. 三角形周长/面积最值：若三角形一边为定长，另两边为定点到圆上点的线段，可结合距离最值分析。 四、解题步骤 1. 确定圆心坐标与半径 ； 1. 用两点间距离公式计算定点到圆心的距离 ； 1. 根据点与圆的位置关系，代入公式得最大、最小距离； 1. 结合问题场景转化为目标量的最值。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 例4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 变式2．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 变式3．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）点和圆上的点的距离的最小值是________． 变式4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知和圆. (1)求过点圆的切线方程； (2)是圆上一动点，求的最值. 考点二 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 圆上点到定直线的距离的最值，沿过圆心且垂直于定直线的方向取得，等于圆心到直线的距离加减半径。 原理：平行线间的距离处处相等，圆心到直线的距离为定值，圆上点到直线的距离在垂线方向达到极值。 二、核心公式 设圆心 到定直线 的距离为 ，圆的半径为 。 直线与圆的位置关系 最小距离 最大距离 备注 相离（） 距离始终为正 相切（） 切点处距离为 相交（） 交点处距离为 三、经典应用：三角形面积最值 若三角形的底边在定直线上且长度固定，第三个顶点在圆上运动，则三角形面积的最值由高的最值决定： · 底边长为定值 ，高的最值 = 圆上点到直线的距离最值； · 最大面积： · 最小面积： 四、拓展：圆上点到定图形的最值 1. 到定线段的最值： 先求圆心到线段的最短距离（注意：若垂足不在线段上，则最短距离为到较近端点的距离），再结合半径得到圆上点到线段的最值。 1. 到定多边形的最值： 分别计算圆上点到各条边、各个顶点的距离，取所有结果中的最大值和最小值。 五、解题步骤 1. 确定圆心坐标与半径 ； 1. 用点到直线距离公式计算圆心到定直线的距离 ； 1. 判断直线与圆的位置关系，代入对应公式得距离最值； 1. 结合面积、长度等问题场景，求解最终结果。 【例题分析】 例1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 例2．（25-26高二上·新疆伊犁·期末·多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 例3．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B．的最大值为26 C．的最小值是 D．的最大值是 变式2．（25-26高二上·重庆·期中·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 变式3．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题讲义 圆与方程：定点到圆上点的最值问题、圆上点到定直线（图形）上的最值问题讲义 考点目录 定点到圆上点的最值问题 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 考点一 定点到圆上点的最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 平面内，定点与圆上任意一点的距离的最大值、最小值，一定在定点与圆心的连线与圆的两个交点处取得。 由三角形三边关系可证：对圆上任意点 ，，当且仅当 在直线 上时取等号。 二、核心公式 设定点为 ，圆心为 ，圆的半径为 ，定点到圆心的距离 。 定点位置 最小距离 最大距离 对应点位置 点在圆外（） 最近点：线段 与圆的近侧交点 最远点： 延长线与圆的远侧交点 点在圆内（） 最近点：线段 延长线与圆的近侧交点 最远点： 延长线与圆的远侧交点 点在圆上（） 最近点为定点本身 最远点为直径另一端点 三、拓展应用 1. 距离平方的最值：将距离最值直接平方即可，常用于避免开方的代数运算； 1. 相关线段的最值：以定点和圆上点为端点的线段的最值，直接对应距离最值； 1. 三角形周长/面积最值：若三角形一边为定长，另两边为定点到圆上点的线段，可结合距离最值分析。 四、解题步骤 1. 确定圆心坐标与半径 ； 1. 用两点间距离公式计算定点到圆心的距离 ； 1. 根据点与圆的位置关系，代入公式得最大、最小距离； 1. 结合问题场景转化为目标量的最值。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】点到圆心的距离为，且圆的半径为1， 所以，故的最大值为6. 例2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值，求出答案. 【详解】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 例3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 例4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)130 【分析】（1）由圆心在弦的中垂线上，联立方程组即可求得； （2）设，用距离公式表示，转化为圆外一点与圆上一点的距离的最值问题即可求解. 【详解】（1），，由中点坐标公式得MN的中点坐标为， ， 的中垂线方程为：，即， ， ，， 圆的方程为 （2）设， ， 即点P到原点O的距离的平方， ， ， 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 变式2．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知复数满足条件，则的最小值为 （    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】    由复数满足条件，即， 得复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上． 而的几何意义为原点到圆的点的距离． 的最小值为圆的圆心与原点的连线段的长度减去半径， 圆的圆心与原点的连线段的长度为， 则的最小值为，故选项C正确． 变式3．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 变式4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知和圆. (1)求过点圆的切线方程； (2)是圆上一动点，求的最值. 【答案】(1) (2)最小值是25，最大值是225 【分析】（1）整理圆方程，得到圆心和半径，把点代入圆的方程得点在圆上，求直线斜率，由两直线垂直得到切线斜率，即可写出切线方程； （2）求圆心到点的距离，设圆上的点，则，取直线与圆的交点，即可求得最大值及最小值. 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径. ∵，∴点在圆上， ，切线的斜率， ∴切线方程为，即 （2）如图所示，圆心到定点的距离为， 设圆上的点，则， 当为直线与圆的交点时，此时取最小值， 当为直线与圆的交点时，此时取最大值， ∴，∴， 即. 考点二 圆上点到定直线（图形）上的最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 圆上点到定直线的距离的最值，沿过圆心且垂直于定直线的方向取得，等于圆心到直线的距离加减半径。 原理：平行线间的距离处处相等，圆心到直线的距离为定值，圆上点到直线的距离在垂线方向达到极值。 二、核心公式 设圆心 到定直线 的距离为 ，圆的半径为 。 直线与圆的位置关系 最小距离 最大距离 备注 相离（） 距离始终为正 相切（） 切点处距离为 相交（） 交点处距离为 三、经典应用：三角形面积最值 若三角形的底边在定直线上且长度固定，第三个顶点在圆上运动，则三角形面积的最值由高的最值决定： · 底边长为定值 ，高的最值 = 圆上点到直线的距离最值； · 最大面积： · 最小面积： 四、拓展：圆上点到定图形的最值 1. 到定线段的最值： 先求圆心到线段的最短距离（注意：若垂足不在线段上，则最短距离为到较近端点的距离），再结合半径得到圆上点到线段的最值。 1. 到定多边形的最值： 分别计算圆上点到各条边、各个顶点的距离，取所有结果中的最大值和最小值。 五、解题步骤 1. 确定圆心坐标与半径 ； 1. 用点到直线距离公式计算圆心到定直线的距离 ； 1. 判断直线与圆的位置关系，代入对应公式得距离最值； 1. 结合面积、长度等问题场景，求解最终结果。 【例题分析】 例1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 例2．（25-26高二上·新疆伊犁·期末·多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 例3．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测·多选）已知，则（    ） A． B．的最大值为26 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】变形为，从而可得表示圆上一点与定点所在直线的斜率加上，进而可判断A；结合的范围即可判断B；表示圆上一点到直线的距离的倍，进而可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于A，， 则表示圆上一点与定点所在直线的斜率加上，    由图可知，过点与圆相切得的线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得或， 由图可知，， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 则， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 到直线的距离为， 所以， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以， 当（在两点中间）三点在一条直线上时取等， 所以的最大值是，故D正确. 故选：ABD. 变式2．（25-26高二上·重庆·期中·多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 【答案】BCD 【分析】先根据圆的一般方程配方成标准方程确定圆心、半径，再逐项分析各个式子的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以， 表示圆心为半径为的圆，设， 对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则， 所以当直线与圆相切于第一象限时，最大，此时， 所以，所以的最大值为，A错误； 对于B，表示圆上点到坐标原点距离的平方， 所以有，B正确； 对于C，设，所以，当直线与圆相切时， 取得最大或最小值，此时，圆心到直线的距离为半径，则， 解得，故，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以圆上点到直线的最大距离为, 所以，D正确. 故选：BCD 变式3．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $