专题01 点和直线的对称问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“点和直线的对称问题”核心知识点，系统梳理点关于点对称（坐标公式及证明）、点关于直线对称（垂直平分性质及方程组求解）、直线关于点对称（两点法或平行点斜式）、直线关于直线对称（交点与对称点法）的知识脉络，构建从点到直线、由浅入深的学习支架。 该资料以定义-证明-例题-练习的完整结构，通过点关于直线对称的严谨证明培养数学思维中的推理能力，结合“将军饮马”等实例引导学生用数学眼光观察现实问题，分层练习题助力学生用数学语言精确表达对称关系，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题01 点和直线的对称问题 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）。 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）。 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程。 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）。 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出方程。 例1.已知不同的两点P（a，-b）与 Q（b+1，a-1）关于（3,4）对称，则ab= 。 例2.已知直线l：y=3x+3，则点P（4,5）关于l的对称点的坐标为 。 例3.求直线l1：3x﹣y+3＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2方程　 　． 例4.光线经过点A（1，），经直线l：x+y+1＝0反射，反射线经过点B（1，1），则入射线 所在直线方程为 ；反射点的坐标为 ． 例5.已知直线l：y＝2x+1，A（5，1），B（﹣7，2）． （1）求直线l关于点A的对称直线； （2）若点P在直线l上，求|PA|﹣|PB|的最小值及取最小值时点P的坐标． 1.点A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为　 　． 2.已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程为　 　． 3.直线2x﹣y+3＝0关于直线x﹣y+2＝0对称的直线方程是　 　． 4.点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是　 　． 5.已知直线l：y＝3x+3，那么直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线方程为 　． 6.已知光线经过点A（4，6），经x轴上的B（2，0）反射照到y轴上，则光线照在y轴上的 点的坐标为 　． 7.已知点A（1，2），B（2，2），点P在直线x﹣y﹣1＝0上，则当点P的坐标为 　 时，|PA|+|PB|取得最小值为 　． 8.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0，动点P（x，y）在直线l上． （1）若A（0，4），B（﹣2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此时点P的坐标； （2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|﹣|PA|的最大值并求此时点P的坐标． 9.已知直线l：y＝3x+7，试求： （1）直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程； （2）直线l关于A（4，2）对称的直线方程． 10.已知直线l经过直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交点P，且A（3，2）、B（﹣1， ﹣2）两点到直线l的距离相等． （1）求直线l的一般式方程； （2）若点A、B在直线l的同侧，且Q为直线l上一个动点，求|AQ|+|BQ|的最小值． 11.唐代诗人李颁的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（4，1），军营所在位置为B（3，5），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为C，在△ABC中，求BC边上的高所在直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 点和直线的对称问题 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）。 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）。 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程。 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）。 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出方程。 例1.已知不同的两点P（a，-b）与 Q（b+1，a-1）关于（3,4）对称，则ab= 。 解：由题意知：，解得：.所以ab=7.故答案为：7. 例2.已知直线l：y=3x+3，则点P（4,5）关于l的对称点的坐标为 。 解：设点P关于直线l的对称点P'（x1，y1），则线段PP'的中点为M（，）.因此点M在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，所以，解得：。所以点P'（-2，7）。故答案为：（-2，7）。 例3.求直线l1：3x﹣y+3＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2方程　 　． 解：设直线l2上任意一点为P（x，y）， 则P关于直线L：x﹣y+2＝0的对称点P′（m，n）在直线l1上， 由对称性可得 ，解得 ， 代入直线l1可得3（y﹣2）﹣（x+2）+3＝0， 化简可得所求直线方程为：x﹣3y+5＝0。 故答案为：x﹣3y+5＝0． 例4.光线经过点A（1，），经直线l：x+y+1＝0反射，反射线经过点B（1，1），则入射线 所在直线方程为 ；反射点的坐标为 ． 解：设点B关于直线x+y＝﹣1的对称点为（a，b），则， 解得a＝﹣2，b＝﹣2 即对称点（﹣2，﹣2） 则入射光线所在直线方程，即：5x﹣4y+2＝0， 则，可得， 反射点的坐标为 （）． 故答案为：5x﹣4y+2＝0；（）． 例5.已知直线l：y＝2x+1，A（5，1），B（﹣7，2）． （1）求直线l关于点A的对称直线； （2）若点P在直线l上，求|PA|﹣|PB|的最小值及取最小值时点P的坐标． 解：（1）设直线l关于点A的对称直线上一点为M（x，y）， 可得M（x，y）关于A（5，1）的对称点为M′（10﹣x，2﹣y）必在直线直线l上， 将M′（10﹣x，2﹣y）代入直线l：y＝2x+1，可得2﹣y＝2（10﹣x）+1， 可得2x﹣y﹣19＝0，即直线l关于点A的对称直线为2x﹣y﹣19＝0； （2）如图， 设A关于直线y＝2x+1的对称点为E（m，n），因为A（5，1）， 所以，解得m＝﹣3，n＝5，则E（﹣3，5）， 所以|PA|﹣|PB|＝|PE|﹣|PB|， 结合图形则当B，E，P三点共线时，此时|PE|﹣|PB|取得最小值，即P在Q点位置时，最小值为|PE|﹣|PB|＝﹣|BE|5， 则kBE，直线BQ为y﹣2（x+7），即3x﹣4y+29＝0， 于是， 解得x＝5，y＝11，即Q（5，11）， 故|PA|﹣|PB|取得最小值时点P坐标为（5，11）． 1.点A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为　 　． 解：根据题意，设要求点的坐标为（a，b），则有， 解可得a＝1，b＝4，即A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为（1，4）； 故答案为：（1，4）． 2.已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程为　 　． 解：∵已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），故直线l为线段AB的中垂线． 求得AB的中点为（﹣2，2），AB的斜率为 ，故直线l的斜率为﹣3， 故直线l的方程为 y﹣2＝﹣3（x+2），化简可得3x+y+4＝0。故答案为：3x+y+4＝0． 3.直线2x﹣y+3＝0关于直线x﹣y+2＝0对称的直线方程是　 　． 解：在所求直线上任意取一点A（x，y），则它关于直线x﹣y+2＝0对称的点B（y﹣2，x+2）在直线2x﹣y+3＝0上，故有2（y﹣2）﹣（x+2）+3＝0，化简可得x﹣2y+3＝0。 故答案为：x﹣2y+3＝0． 4.点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是　 　． 解：设点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是（a，b）， 则由，求得，故答案为（﹣1，5）． 5.已知直线l：y＝3x+3，那么直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线方程为 　． 解：在直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线上任意取一点M（x，y）， 设它关于直线l：y＝3x+3的对称点为N（a，b），则点N在直线x﹣y﹣2＝0上， 即 a﹣b﹣2＝0 ①．由 求得 ②， 再把②代入①，可得7x+y+22＝0，故答案为：7x+y+22＝0． 6.已知光线经过点A（4，6），经x轴上的B（2，0）反射照到y轴上，则光线照在y轴上的 点的坐标为 　． 解：点A（4，6）关于x轴的对称点（4，﹣6）， 由题意可得反射光线过（4，﹣6）和（2，0），所以反射光线的斜率3， 所以反射光线的方程为：y＝﹣3（x﹣2），令x＝0，可得y＝6。故答案为：（0，6）． 7.已知点A（1，2），B（2，2），点P在直线x﹣y﹣1＝0上，则当点P的坐标为 　 时，|PA|+|PB|取得最小值为 　． 解：如图， 设B关于直线x﹣y﹣1＝0的对称点为A′（m，n）， ∵B（2，2），∴，解得，则A′（3，1）， 连接AA′，交直线x﹣y﹣1＝0于P，则AA′：，即x+2y﹣5＝0． 联立，解得．∴P（），|PA|+|PB|． 故答案为：（），． 8.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0，动点P（x，y）在直线l上． （1）若A（0，4），B（﹣2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此时点P的坐标； （2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|﹣|PA|的最大值并求此时点P的坐标． 解：（1）如图所示， 设点A关于直线l的对称点A′（x，y），则，解得A′（4，2）． 连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求． 否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则BP′+AP′＞A′B＝BP+AP． ∴|PA|+|PB|的最小值＝|BA′|2． 直线BA′：，化为x﹣3y+2＝0．联立，解得P（1，1）． （2）如图所示， 由（1）可知：点A关于直线l的对称点A′（4，2）， 连接CA′并延长交直线l于点P（4，7）， 则点P满足使得|PC|﹣|PA|取得最大值|A′C|＝1． 否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则|P′C|﹣|P′A|＜|A′C|． ∴P（4，7）满足使得|PC|﹣|PA|取得最大值|A′C|＝1． 9.已知直线l：y＝3x+7，试求： （1）直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程； （2）直线l关于A（4，2）对称的直线方程． 解：（1）已知直线l：y＝3x+7，直线y＝x+3，由可得， 则直线y＝x+3与直线l：y＝3x+7的交点为E（﹣2，1）， 再在直线y＝x+3上取一点M（0，3）， 设点M（0，3）关于直线l：y＝3x+7的对称点为N（m，n）， 则由，解得，即， 由题意可得E、N两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 根据点斜式方程可得直线方程为y﹣1＝﹣7（x+2），化简为7x+y+13＝0， 则直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程为7x+y+13＝0； （2）在直线l：y＝3x+7上任意取出两个点C（0，7），D（﹣1，4）， 求出这两个点关于点A（4，2）对称点分别为Q（8，﹣3），H（9，0）， 由题意可得Q（8，﹣3），H（9，0）是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线l关于A（4，2）对称的直线方程为y＝3（x﹣9），即3x﹣y﹣27＝0． 10.已知直线l经过直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交点P，且A（3，2）、B（﹣1， ﹣2）两点到直线l的距离相等． （1）求直线l的一般式方程； （2）若点A、B在直线l的同侧，且Q为直线l上一个动点，求|AQ|+|BQ|的最小值． 解：（1）已知P为直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：x+y﹣3＝0的交点，联立， 解得所以P（1，2），又A（3，2）、B（﹣1，﹣2）两点到直线l的距离相等， ①当所求直线与直线AB平行时，直线AB的斜率为， 则所求直线的方程为y﹣2＝1•（x﹣1），即x﹣y+1＝0； ②当所求直线过AB的中点时，线段AB的中点坐标为（1，0），则所求直线垂直于x轴， 故所求直线方程为x＝1，即x﹣1＝0； 综上所述，所求直线方程为x﹣y+1＝0或x﹣1＝0． （2）因为点A、B在直线l的同侧，所以直线l的方程为x﹣y+1＝0， 设点A关于直线l的对称点为C（x0，y0），则，解得， 即点C（1，4），因为，当Q、B、C三点共线时取等号，故|AQ|+|BQ|的最小值为． 11.唐代诗人李颁的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（4，1），军营所在位置为B（3，5），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为C，在△ABC中，求BC边上的高所在直线的方程． 解：（1）由题意可知A，B在x+y﹣3＝0的同侧， 设点B关于直线x+y﹣3＝0的对称点为B1（a，b）， A，C，B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即B1（﹣2，0）， 此时“将军饮马”走过的总路程为； （2）由（1）知，故直线方程为，故直线AB1的方程是x﹣6y+2＝0，联立，解得， 即将军在河边饮马的地点的坐标为，此时直线BC的斜率为6， 根据两直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率为， 则BC边上的高所在直线的方程为y﹣1（x﹣4），即x+6y﹣10＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $